ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান: 
এখানে,
Equation শব্দটিতে 8 টি ভিন্ন অক্ষর আছে যথা,  E, Q, U, A, T, I, O, N 

সুতরাং, 8 টি বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3 টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁸P₃
= 8!/(8 - 3)!
= 8!/5!
= (8 × 7 × 6 × 5!)/5!
= 8 × 7 × 6
= 336

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

প্রশ্ন: 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SCHOOL' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 6 টি (S, C, H, O, O, L)
যেখানে, O দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (S, C, H, L) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 360
 
আবার, 
'CLASS' শব্দটিতে বর্ণ সংখ্যা 5 টি (C, L, A, S, S)
যেখানে, S দুইবার আছে, বাকি বর্ণ (C, L, A) প্রতিটি একবার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) ​= 60

∴ 'SCHOOL' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'CLASS' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 360/60 = 6 গুণ।

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 4টি লাল পতাকা 3 টি হলুদ পতাকা 2 টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 9 টি পতাকাকে একটি সারিতে
ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
লাল পতাকা (R) = 4
হলুদ পতাকা (Y) = 3
নীল পতাকা (B) = 2
∴ মোট পতাকা = 4 + 3 + 2 = 9
একই রঙের পতাকা সমান, তাই পুনরাবৃত্তি সহ permutation সূত্র ব্যবহার করি। 

সুতরাং, বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(4! × 3! × 2!) = 1260

প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
COMPUTER শব্দটিতে মোট বর্ণ = 8 টি 
স্বরবর্ণ O, U, E = 3 টি
ব্যঞ্জনবর্ণ C, M, P, T, R = 5 টি

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে COMPUTER শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, 
নামাজীর সংখ্যা = n

যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার শুভেচ্ছা জানায়, তবে মোট শুভেচ্ছার সংখ্যা হবে = ⁿC_r = ⁿC₂ = n!/2!(n - 2)!
= n(n - 1)(n - 2)!/2!(n - 2)! = n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে, 
n(n - 1)/2 = 45 
⇒ n² - n - 90 = 0
⇒ n² - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
হয়, 
n - 10 = 0
∴ n = 10

অথবা, 
n + 9 = 0
∴ n = - 9   ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন। 

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে 1 জন অধিনায়ক ও 1 জন সহঅধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
অধিনায়ক বাছাই,
20 জন সদস্যের মধ্যে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ²⁰C₁ = 20

আবার, 
সহঅধিনায়ক বাছাই,
অধিনায়ক বাছাই হয়ে গেলে বাকি সদস্য = 20 - 1 = 19  জন
সহঅধিনায়ক বাছাই করার উপায় = ¹⁹C₁ = 19

∴ মোট উপায় = 20 × 19 = 380

সুতরাং, ৩৮০ভাবে অধিনায়ক ও সহঅধিনায়ক বাছাই করা যাবে। 

প্রশ্ন: 'CIRCLE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
CIRCLE
বর্ণ সংখ্যা 6 টি (C, I, R, C, L, E)
স্বরবর্ণ I, E (2টি)
ব্যঞ্জনবর্ণ C, R, C, L (৪টি, C দুইবার)
স্থান: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬; বেজোড় স্থান: ১, ৩, ৫ (৩টি)

এখন,
বেজোড় স্থানে স্বরবর্ণ (I, E) সাজানো 3 টি স্থান থেকে 2 টি সাজানোর উপায় = ³C₂ = 3
এবং স্বরবর্ণ সাজানোর  উপায় = 2! = 2

∴ মোট সাজানো উপায় = 3 × 2 = 6

আবার, 
বাকি 3 টি স্থানে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ (C, C, R, L) সাজানোর উপায় = 4!/2! = 24/2 = 12

∴ মোট সাজানো উপায় = 6 × 12 = 72

সুতরাং, 'CIRCLE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট 72 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: ⁿP_r = 240 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 240
⇒ ⁿP_r = 120 × 2
⇒ ⁿP_r = ⁿC_r × 2
⇒ n!/(n - r)! = n!/r!(n - r)!  × 2
⇒ 1 = (1/r!) × 2
⇒ r! = 2!
∴ r = 2

প্রশ্ন: 8 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
8 জন ব্যক্তি 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে,
 (n - 1)!
= (8 - 1)!
= 7!
= 5040

প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 5 জন বালিকা থেকে কত উপায়ে 4 জন বালক ও 3 জন বালিকা নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন বালক থেকে 4 জন বালক এবং 5 জন বালিকা থেকে 3 জন বালিকা বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = 10C4 × 5C3
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়

প্রশ্ন: প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে? 

সমাধান: 
                   গ্ৰুপ(১)- ৫                গ্ৰুপ(২)- ৫  
1)                  4                              2
2)                   3                             3
3)                   2                             4 

(5, 1) বা (6, 0) নেওয়া যাবে না কারণ শর্ত ভঙ্গ হবে।

এখন, 
১) নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₄ × ⁵C₂ = 5 × 10 = 50 
২)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = ⁵C₃ × ⁵C₃ = 10 × 10 = 100 
৩)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় =  ⁵C₂ × ⁵C₄ = 10 × 5 = 50

∴ প্রশ্ন বাছাইয়ের মোট উপায় = 50 + 100  + 50 = 200

প্রশ্ন: 'ANALOGY' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ANALOGY' শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি 
এর মধ্যে A আছে 2 টি। বাকি বর্ণগুলো একটি করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 2520

প্রশ্ন: ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂ হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP₄ = 12 × ⁿP₂
⇒ n!​/(n - 4)! = 12 × n!​/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)!
⇒ 1/(n - 4)! = 12/(n - 2)(n - 3)(n - 4)!   ; [(n - 2)! = (n - 2)(n - 3)(n - 4)!]
⇒ (n - 2)(n - 3) = 12
⇒ n² - 5n + 6 - 12 = 0
⇒ n² - 5n - 6 = 0
⇒ n² - 6n + n - 6 = 0
⇒ n(n - 6) + 1(n - 6) = 0
⇒ (n - 6)(n + 1) = 0
হয়,
n - 6 = 0
∴ n = 6
অথবা, 
n + 1 = 0
∴ n = - 1 ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, n এর মান 6

প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (12 - 3) = 9 টি

এখন,
9 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 9C6 
= 9!/{6! × (9 - 6)!}
= 9!/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7 × 6!)/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7)/(3 × 2)
= 84

সুতরাং, 84 টি উপায়ে বই বাছাই করা যাবে।

প্রশ্ন: 'IMMEDIATE' শব্দটির সব কয়টি বর্ণকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেখানে প্রথমে A এবং শেষে D থাকবে?

সমাধান:
'IMMEDIATE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 9 টি, প্রথমে A এবং শেষে D থাকলে অবশিষ্ট বর্ণ থাকে 7 টি।
সেখানে M আছে 2টি, E আছে 2টি, I আছে 2টি

∴ প্রথমে A এবং শেষে D রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2! × 2!)
= 630

সুতরাং, মোট 630 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: 'PERMUTATION' শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে t দুই বার থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা = 6!/2!
= 360 টি 
এবং
PERMUTATION শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা। 
∴  পুনরায় সাজানো যেতে পারে = 360 - 1 = 359 ভাবে।

উল্লেখ্য যে, পুনরায় সাজানো কথাটি না বলে যদি বলা হতো মোট কতভাবে সাজানো যেতে পারে, তাহলে সঠিক উত্তর হতো 360 উপায়ে।

প্রশ্ন: ⁿC₈ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₈ = ⁿC₃
⇒ ⁿC₈ = ⁿC_{n - 3} [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 8 = n - 3
⇒ n = 8 + 3
∴ n = 11

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

5 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁶P₅
= (6!)/(6 - 5)!
= 6!/1!
= 6!
= 720

∴ মোট 5 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 720 টি।

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3 টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 18 টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁸C₃
= 18!​/3!(18 - 3)!
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 ​× 15!)/(3 × 2 × 15!)
= 816

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 816 টি।

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 10 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেলবে।

∴ খেলার সংখ্যা হবে,
= ¹⁰C₂
= (10 × 9)/2
= 45

∴ মোট খেলার সংখ্যা 45 টি।

প্রশ্ন: 14 টি পুস্তক থেকে 5 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমাবেশ = ^{n - m}C_{r - m}  [যেখানে, মোট পুস্তক = n, প্রতিবার নিতে হবে = r, সর্বদা বাদ বা বর্জন থাকবে = m]
= ^{14 - 3}C_{5 - 3}
= ¹¹C₂
= 11!/2!(11 - 2)!
= (11 × 10  × 9!)/(2  × 9!)
= 55

∴ মোট 55 প্রকারে 5 টি পুস্তক বাছাই করা যাবে।

প্রশ্ন: 3 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন পুরুষ সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট পুরুষ ও মহিলা = (3 + 4) = 7 জন
তিনজন পুরুষ একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন
∴ 5 জনকে সাজানো যায় = 5!
∴ 3 জন পুরুষকে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 টি
পুনরাবৃত্তি নেই (সব বর্ণ আলাদা)।
স্বরবর্ণ হলো O, A, এবং E, অর্থাৎ 3 টি স্বরবর্ণ।

প্রথম স্থানে একটি স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা = 3 (O, A, বা E)

প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার পর, বাকি 5 টি অক্ষর সাজানোর উপায় বের করতে হবে।
যেহেতু কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, তাই বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

মোট উপায় সংখ্যা = প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ রাখার উপায় সংখ্যা × বাকি বর্ণ সাজানোর উপায় সংখ্যা
= 3 × 120
= 360

প্রশ্ন: একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 6 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?

সমাধান:
প্রার্থী সংখ্যা = 3 জন
ভোটদাতা সংখ্যা = 6 জন

∴ মোট ভোট দেওয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার}
= 3⁶
= 729

এতএব, 729 উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে।