১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

P সেটের উপাদান সংখ্যা 5 হলে,
উক্ত সেটের শক্তি সেটে উপাদান থাকবে
= 2⁵
= 32

মূলদ সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট। 
এই সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারন করা যায়না, তাই অসীম সেট।

শূন্য সহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে। 
ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও শূন্য নিয়ে গঠিত সেটকে পূর্ণ সংখ্যার সেট বলে।
পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
Z = { - - - - - - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,  - - - - - - }

একটা ঘরে রহিম বসে আছে। এর সেট R = {r}
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট S = {r, k}
১০ মিনিট পর রহিম ঘর থেকে বের হয়ে আসলো। এর সেট K = {k}
১৫ মিনিট পর করিমও বের হয়ে আসলো। এর সেট { } বা Φ
৫ মিনিট পর করিম ঐ ঘরে গেলো। এর সেট {r, k}। অতএব, এর শক্তি সেট = P(S)
P(S) = P({r, k}) = {{r}, {k}, {r, k}, Φ}
অতএব, ৫ মিনিট পরের ঘর এর শক্তি সেট = ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঘরের সেট
ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য ঐ ঘরটি ৫ মিনিট পরের ঘরের শক্তি সেট।

(ক) প্রক্রিয়ায়
১ম যানে : 7 জন 
২য় যানে : 2 জন 

(খ) প্রক্রিয়ায়
১ম যানে : 6 জন 
২য় যানে: 3 জন 

(গ) প্রক্রিয়ায়
১ম যানে : 5 জন 
২য় যানে: 4 জন 

এখানে (ক) প্রক্রিয়ায় ভ্রমন করার উপায় ⁹C₇ অথবা ⁹C₂ 
কারন ভ্রমনটা 9 জন একসাথে করবে ।
সুতরাং যখন 7 জন যাবে তখন বাকি 2 জন এমনিই যাবে ।

অনুরুপভাবে (খ) প্রক্রিয়ায় ভ্রমন করার উপায় ⁹C₆ বা ⁹C₃

(গ) প্রক্রিয়ায় ভ্রমন করার উপায় ⁹C₅ বা ⁹C₄

ভ্রমন করার মোট উপায় = ⁹C₇ + ⁹C₆ + ⁹C₅ = 246

৩ টি পুরষ্কার ১০ জনের মধ্যে বিতরণ করা উপায়
= ১০^৩
= ১০০০

কামাল ঢাকা থেকে রাজশাহী ৫ উপায়ে যেতে পারে
অর্থাৎ ঢাকা থেকে রাজশাহী যাওয়ার পথ বা যানবাহন  ৫ টি 

রাজশাহী থেকে রংপুর ৩ উপায়ে যেতে পারে।
অর্থাৎ রাজশাহী থেকে রংপুর যাওয়ার পথ বা যানবাহন  ৩ টি 

মোট উপায় = ৩ × ৫ = ১৫

ZIGGURAT শব্দটিতে মোট আটটি বর্ণ আছে যার মধ্যে G দুইটি। 
নির্ণেয় শব্দের সংখ্যা = 8!/2! = 40320/2 = 20160 

5 টি বইয়ের মধ্যে 2 টি বিশেষ বই একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায়
= 4!2! [ দুইটি বইকে একটা ধরলে চারটি বই পাওয়া যায় ও দুইটি বিশেষ বইকে নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে সাজানো যায় ]
= 24 × 2
= 48

আমরা জানি, ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা= অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হয় হেড না হয় টেল পড়বে 
∴ মোট ঘটনা 2 টা
হেড পড়ার সম্ভাব্যতা = 1/2

বাক্সে মোট বলের সংখ্যা
= 3 + 4 + 5
= 12 টি

একটি বল লাল হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 3/12

একটি বল সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 5/12

সুতরাং এলোমেলোভাবে তোলা বল লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 3/12 + 5/12
= 8/12
= 2/3

ছক্কায় একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা 2 যা মাত্র একবার আছে।  
ছক্কায় নমুনা বিন্দু মোট 6 টি 
অতএব, একটি ছক্কা নিক্ষেপে টানা চারবার একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা
= 1/6 × 1/6 × 1/6 × 1/6
= 1/6⁴

নমুনা ক্ষেত্রটি = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}
এখানে মোট নমুনা বিন্দু 12 টি। 
ছক্কায় 5 ও মুদ্রায় H এমন নমুনাবিন্দু মাত্র একটি (5H) আছে। 
 ছক্কায় 5 ও মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা
= P(5H)
= 1/12

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HH, HT, TH, TT}
নমুনা ক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দু 4 টি
নমুনা বিন্দুতে ১ম মুদ্রায় H ও ২য় মুদ্রায় T (HT)  মাত্র একবার আছে। 
১ম মুদ্রায় H ও ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা,
P(HT) = 1/4

Probability tree নিম্নরূপঃ

নমুনা ক্ষেত্রটি = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
মোট নমুনা বিন্দু 8 টি।
নমুনা ক্ষেত্রে, HHH নমুনা বিন্দু মাত্র 1 টি 
তিনটাই হেড পাবার সম্ভাবনা = 1/8

পত্রিকা পড়েন মোট 
= ৬৫ + ৪০ + ৪৫ + ৫২
= ২০২ জন
যুগান্তর পত্রিকা পড়েন ৫২ জন 
যুগান্তর পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা
= ৫২/২০২
= ২৬/১০১
যুগান্তর পত্রিকা না পড়ার পরার সম্ভাবনা
= (১ - ২৬/১০১)
= (১০১ - ২৬)/১০১
= ৭৫/১০১

52 টি তাসের মধ্যে টেক্কা থাকে 4 টি।

∴ উত্তোলিত তাসটি টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যতা
= 4/52
= 1/13

জোড় সংখ্যার সেট এ বিজোড় সংখ্যা থাকবে না।
তাই এটি একটি অসম্ভব ঘটনা এবং সম্ভাব্যতা = 0
অসম্ভব ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0
নিশ্চিত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 1

A ও B দুইটি পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A∪B) = P(A) + P(B)
A ও B দুইটি পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা হলে, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

সূত্র - উচ্চ মাধ্যমিক উচ্চতর গণিত, NCTB কর্তৃক অনুমোদিত যেকোনো বই। 

35, 40, 45, 50, 60, 80, 85, 70, 80, 60

তথ্য সারির সর্বোচ্চ মান, H = 85 
সর্বনিম্ন মান, L = 35

অতএব, পরিসর,
R = H - L
=  85 - 35
= 50

পরিসরাঙ্ক, VR
= R/(H + L) × 100%
= 50/(85 + 35) × 100%
= 50/120 × 100%
= 5/12 × 100%
= (500/12)%
=41.67%

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মানের ঊর্ধক্রমে সাজিয়ে পাইঃ
5, 7, 9, 10, 12, 15, 17
n = 7

(n + 1)/4
= (7 + 1)/4
= 8/4
= 2;
দ্বিতীয় পদ = 7;
Q₁ = 7

(n + 1)/4 × 3
= 2 × 3
= 6;
ষষ্ঠ পদ = 15;
Q₃ = 15

চতুর্থক ব্যবধান
= (Q₃ - Q₁)/2
= 15 - 7/2
= 8/2
= 4
-----------------------------
সংক্ষেপে,
মানের ঊর্ধক্রমে: 5, 7, 9, 10, 12, 15, 17
চতুর্থক ব্যবধান
= {3 × (পদ সংখ্যা + 1) / 4}  তম পদ - {(পদ সংখ্যা + 1) / 4 তম পদ }/2 
= {3(7 + 1)/4 তম পদ - (7 + 1)/4 তম পদ}/2
= (6 তম পদ - 2 তম পদ)/2
= (15 - 7)/2
= 4

তথ্য সংখ্যা, n = 100 এবং N/4 = 100/4 = 25
25 তম পদ 60 - 65 শ্রেণিতে বিদ্যমান। অর্থাৎ Q₁ শ্রেণিতে আছে। 
নিচের সারণির প্রথম চতুর্থক,
Q₁
= L₁ + (N/4 - F₁) × c/f
= 60 + (25 - 21) × 5/22
= 60 + 0.91
= 60.91

এখানে, তথ্য সংখ্যা, n = 4
গাণিতিক গড় = (3 + 4 + 4 + 5)/4 = 4
ভেদাঙ্ক = {(3 - 4)² + (4 - 4)² + (4 - 4)² + (5 - 4)²}/4
= (1 + 0 + 0 + 1)/4
= 2/4
= 1/2

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}

A কোম্পানির শেয়ার মূল্যের বিভেদাঙ্ক
= 5.6/20 × 100%
= 28%

একটি দোকানে ৫০ ডজন লাল কলম আছে।
অর্থাৎ প্রত্যেকটি কলমের রং হচ্ছে লাল।
সবগুলো কলমের প্রত্যেকটি লাল কলমকে a দ্বারা সুচিত করলে, 
A = {a};
দোকানে ৫০ × ১২ বা ৬০০ টি লাল কলম থাকলেও প্রত্যেকটি একই কলম হওয়ায় A সেটের উপাদান সংখ্যা ১ হবে।

অপর দোকানে ৪০ ডজন নীল কলম আছে। 
অর্থাৎ প্রত্যেকটি কলমের রং হচ্ছে নীল। 
সবগুলো কলমের প্রত্যেকটি নীল কলমকে b দ্বারা সুচিত করলে, 
B = {b}; 
দোকানে ৪০ × ১২ বা ৪৮০ টি লাল কলম থাকলেও প্রত্যেকটি একই কলম হওয়ায় B সেটের উপাদান সংখ্যা ১ হবে।
A∪B = {a} ∪ {b} = {a, b}
n(A∪B) = 2
A∪B সেটের উপাদান সংখ্যা 2।