১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

প্রশ্ন: x ^{- 5} - 0.00001 = 0 হলে, x³ এর মান কত?

সমাধান:
x ^{- 5} - 0.00001 = 0
বা, 1/x⁵ = 0.00001
বা, 1/x⁵ = 1/100000
বা, (1/x)⁵ = (1/10)⁵
বা, 1/x = 1/10
বা, x = 10
বা, x³ = 10³
x³ = 1000

প্রশ্ন: যদি ⁷P_r = 210 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ ⁷P_r = 210
⇒ 7!/(7 - r)! = 210
⇒ (7 - r)! = 7!/210
⇒ (7 - r)! = 5040/210 = 24
⇒ (7 - r)! = 4!
⇒ 7 - r = 4
⇒ r = 7 - 4
∴ r = 3

প্রশ্ন: একটি থলিতে ১২টি নীল বল, ১৪টি সাদা বল এবং ২২টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
থলিতে মোট বল আছে = (১২ + ১৪ + ২২) টি 
= ৪৮টি 
∴ নীল বল উঠার সম্ভাবনা = ১২/৪৮ 
= ১/৪ 

∴ নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = (১ - ১/৪) 
= (৪ - ১)/৪ 
= ৩/৪

প্রশ্ন: x² = 5 + 2√6 হলে, 1/x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x² = 5 + 2√6 
⇒ x² = 3 +  2√6 + 2
⇒ x² = (√3)² + 2 (√3)(√2) + (√2)²
⇒ x² = (√3 + √2)²
∴ x = √3 + √2

এখন, 
 1/x = 1/(√3 + √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
⇒ 1/x = (√3 - √2)/{(√3)² - (√2)²}
⇒ 1/x = (√3 - √2)/(3 - 2)
∴ 1/x= √3 - √2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত মোট নম্বর থেকে 120 বাদ দেওয়ায় শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 75 থেকে 72 এ নেমে আসলো। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট কতজন শিক্ষার্থী ছিলো?

সমাধান:
মনে করি,
মোট নম্বর = a
এবং শিক্ষার্থী সংখ্যা = b

প্রশ্নমতে,
a/b = 75 .......... (1)

আবার, (a - 120)/b = 72
⇒ (a/b) - (120/b) = 72
⇒ 75 - (120/b) = 72   [ (1) নং থেকে মান বসিয়ে ]
⇒ - (100/b) = 72 - 75
⇒ 120/b = 3
⇒ 3b = 120
∴ b = 40
অর্থাৎ, মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = 40 জন

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

প্রশ্ন: 2x² + mx + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে m এর মান কত?

সমাধান:
এখানে a = 2, b = m, c = 8
সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে
∴ b² - 4ac = 0
⇒ m² - 4 × 2 × 8 = 0
⇒ m² - 64 = 0
⇒ m² = 64
⇒ m = ± 8

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: a + a^{- 1} = 2 হলে 2a/(a² - a + 1)এর মান-

সমাধান: 
a + a ^{- 1} = 2
a + 1/a = 2
(a² + 1)/a = 2
a² +1 = 2a

প্রদত্ত রাশি = 2a/(a² - a + 1)
= 2a/(a² + 1 - a )
= 2a/(2a - a)
= 2a/a
= 2

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y . 5¹
= 5^{y + 1}

প্রশ্ন: {1/।2p - 7।} > (1/5) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
1/।2p - 7। > 1/5
⇒ ।2p - 7। < 5
⇒ - 5 < 2p - 7 < 5
⇒ - 5 + 7 < 2p - 7 + 7 < 5 + 7
⇒ 2 < 2p < 12
∴ 1 < p < 6

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= ³⁰C₁ 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= ²⁹C₁
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 22 এবং ২য় পদ 27 হলে 15 তম পদ কত?

সমাধান:  
এখানে,
১ম পদ, a = 22
২য় পদ = 27
সাধারণ অন্তর, d = (27 - 22) = 5

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1)d
= 22 + (14 × 5)
= 22 + 70
= 92

প্রশ্ন: a + b + c = 11 এবং ab + bc + ca = 42 হলে a² + b² + c² এর মান কত? 

সমাধান: 
a + b + c = 11 
ab + bc + ca = 42

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² +c² + 2(ab + bc + ca)
11² = a² + b² +c² + 2 × 42
121 = a² + b² +c² + 84
121 - 84 = a² + b² + c² 
a² + b² + c² = 37 

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
= log₅5√5
= log₅(5 × 5^1/2)
= log₅5^3/2
=(3/2)log₅5
= (3/2).1
= 3/2

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x² - 4x + 3x - 12 = x² + x - 5x - 5
বা, x² - x - 12 = x² - 4x - 5
বা, x² - x - 12 - x² + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 +............ গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি,
সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1 = 5 × 3^3-1 = 45

প্রশ্ন: (3a - b, 3) = (7, 2a + b) হলে (a + b) এর মান কত?

সমাধান:
3a - b = 7 ..........(1)
2a + b = 3 ..........(2)

(1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
3a - b + 2a + b = 7 + 3
⇒ 5a = 10
∴ a = 2

(2) নং সমীকরণে এর মান বসিয়ে পাই,
2 × 2 + b = 3
⇒ 4 + b = 3
∴ b = - 1

অতএব, a + b = 2 + (- 1)
= 1

প্রশ্ন: । 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a + 4। < 8
⇒ - 8 < 2a + 4 < 8
⇒ - 8 - 4 < 2a + 4 - 4 < 8 - 4
⇒ - 12 < 2a < 4
⇒ - 6 < a < 2

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}, Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9} হলে, P ∩ Q এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 9}

P = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
Q = {2, 4, 6, 8}

P ∩ Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∩ {2, 4, 6, 8}
= {4, 6, 8}

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (q - 1)² - 36 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
 (q - 1)² - 36 
= (q - 1)² - 6²
= (q - 1 + 6)(q - 1 - 6)
= (q + 5)(q - 7)

প্রশ্ন: রোহান ও শাহিদের কাছে কিছু চকলেট আছে। রোহান যদি শাহিদকে 5 টি চকলেট দেয় তাহলে তাদের চকলেট সংখ্যা সমান হয় এবং শাহিদ যদি রোহানকে 10 টি চকলেট দেয় তাহলে রোহানের চকলেট সংখ্যা শাহিদের চকলেট সংখ্যার দ্বিগুণ হয়। রোহানের কাছে কয়টি চকলেট আছে?

সমাধান:
ধরি,
রোহানের কাছে চকলেট আছে = a টি
এবং, শাহিদের কাছে চকলেট আছে = b টি

প্রশ্নমতে,
a - 5 = b + 5
∴ b = a - 10 ...... (1)

আবার,
a + 10 = 2(b - 10)
⇒ a + 10 = 2(a - 10 - 10)   [যেহেতু b = a - 10]
⇒ a + 10 = 2(a - 20)
⇒ a + 10 = 2a + 40
∴ a = 50 টি

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে ২ টি বই কখনোই বাছাই করা হবে না?

সমাধান:
২ টি বই কখনোই বাছাই না করা হলে বাছাইযোগ্য বইসংখ্যা হবে = (১০ - ২) টি = ৮ টি 

∴ ৮ টি বইয়ের মধ্য থেকে ৪ টি বই বাছাই করার সংখ্যা = ^৮C_৪
= ৮!/{৪! × (৮ - ৪)!}
= ৮!/(৪! × ৪!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪!)/(৪ × ৩ × ২ × ৪!)
= ৭০ 

প্রশ্ন: q² - 37q - 650 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
q² - 37q - 650
= q² - 50q + 13q - 650
= q(q - 50) + 13(q - 50)
= (q - 50)(q + 13)

প্রশ্ন: A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {x : x, মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x ≤ 30}
তাহলে, A = {11, 13, 17, 19, 23, 29}

এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 6

আমরা জানি, কোনো সেটের প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
∴ A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

উল্লেখ্য,
• কোনো সেটের উপসেট (Subset) সংখ্যা হয় 2n যেখানে n হলো সেটের সদস্য সংখ্যা।
প্রকৃত (proper) উপসেট বলতে সেই উপসেট বোঝায়, যেটি মূল সেটটি নিজে নয়। অর্থাৎ, মোট উপসেট থেকে ১ (অর্থাৎ সম্পূর্ণ সেট) বাদ দিতে হবে।

প্রশ্ন: যদি (125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(125)^2/3 + (484)^1/2 = 5a
⇒ (5³)^2/3 + (22²)^1/2 = 5a
⇒ 5² + 22 = 5a
⇒ 25 + 22 = 5a
⇒ 5a = 47
∴ a = 47/5

প্রশ্ন: a + b = √11 এবং a = √7 + b হলে ab এর মান কত?  

সমাধান: 
a + b = √11 
a = √7 + b
a - b = √7

ab = {(a + b)/2}² -  {(a - b)/2}² 
= {(√11)/2}² -  {(√7)/2}² 
= (11/4) - (7/4)
= (11 - 7)/4
= 4/4
= 1

প্রশ্ন: 4a + 6 ≥ 2a - 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
4a + 6 ≥ 2a - 8
⇒ 4a - 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a ≥ - 8 - 6
⇒ 2a ≥ - 14
⇒ a ≥ - 7