১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক
= {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২
= ২১.৫

n(A ∪ B)
= n(A) + n(B) - (A ∩ B)
= 40 + 64 – 13
= 91

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4 টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3 টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12

‘PERMUTATION’ শব্দটিতে ১১ টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে ৫ টি স্বরবর্ণ এবং ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। স্বরবর্ণ গুলো তাদের স্থান পরিবর্তন করবে না, সুতরাং তাদের স্থান নির্দিষ্ট করে ৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা 6!/2! (T = 2) = 360

‘PERMUTATION’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1)বা, 359

যেহেতু, ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৩-২)বা ১১ টি এবং ৫ টি থেকে বাছাই করতে হবে (৫-২) বা ৩ টি।
তাহলে, ১১ টি পুস্তক থেকে ৩ টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা
¹¹C₃ = 11!/3!(11-3)!
= 11!/3!8!
= 11.10.9.8!/3.2.8!
= 165

‘RAJSHAHI’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P₁ = ৮!/২!২! (H = 2, A = 2)
‘BARISAL’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P₂ = ৭!/২! (A = 2)
P₁/P₂ = ৮!/২!২! x ২!/৭!
= 4/1
P₁ = 4 P₂

‘DEGREE’ শব্দটিতে 3 টি E সহ 6 টি বর্ণ আছে।
4 টি অক্ষর প্রত্যেক বার নিয়ে বাছাই করা যায় 4 টি অক্ষরই ভিন্ন = ^₄C₄ = 1
2 বর্ণ একই এবং 2 বর্ণ ভিন্ন = ²C₂ x ³C₂ = 3
3 টি বর্ণ একই এবং 1 বর্ণ ভিন্ন = ³C₃ x ³C₁ = 3
বর্ণগুলো বাছাই এর মোট সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫ এবং ২ দ্বারা বিভাজ্য = ২, ৪, ৬
বিজোড় সংখ্যা অথবা ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ={১, ৩, ৫} ∪ {২, ৪, ৬}
= {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
একটি ছক্কার নমুনা বিন্দু = ৬
সম্ভাব্যতা = ৬/৬ = ১

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
(1H), (1T), (2H), (2T), (3H), (3T), (4H), (4T), (5H), (5T), (6H), (6T)
ছক্কায় ৫ এবং মুদ্রায় হেড পাবার সম্ভাব্যতা ১/১২

মোট মার্বেল ২৫ টি
২টি মার্বেলই কালো হবার সম্ভাবনা ¹⁰C₂/²⁵C₂ = 3/20
২টি মার্বেলই লাল হবার সম্ভাবনা ¹⁵C₂/²⁵C₂ = 7/20
তাহলে মার্বেল দুটি একই রং হবার সম্ভাবনা 3/20 + 7/20 = 1/2

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 5/6 = 1/2 + P(B) – 1/3
বা, P(B) = 5/6 + 1/3 – 1/2
= 4/6 = 2/3

মোট বল (১০ + ১৫ + ৯) বা, ৩৪
বলটি লাল হবার সম্ভাবনা ৯/৩৪

একটি মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা বিন্দু
(HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
সর্বাধিক বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/৮

যেকোনো একদিন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ৫/৭
তাহলে, বুধবার বা যেকোনো দিন বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = (১ - ৫/৭) = ২/৭

লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26
= 7/13

মনে করি, বাংলায় পাসের ঘটনা = A এবং
ইংরেজিতে পাসের ঘটনা = B তাহলে,
P(A) = 1-(1/5) = 4/5[পূরক সূত্রানুযায়ী]
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∪B) = 7/8
P(বাংলা বা ইংরেজি) = P(A∩B) = 3/4
এখন সম্ভাবতার সংযোগ সূত্র P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
বা, 7/8 = (4/5)+P(B)-(3/4)
বা, P(B) = 7/8 + 3/4 - 4/5
= (35+30-32)/40
∴ P(B) = 33/40
অর্থাৎ ইংরেজিতে পাসের সম্ভব্যতা = 33/40.

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি ।
সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায়
= ⁴p₃ × ⁵p₅ = 24 × 120 = 2880

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল ^৬c_২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।
২য় দল বাকী (৬-২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ^৪c_২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।
৩য় দল অবশিষ্ট (৪-২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ^২c_২= ১ উপায়ে গঠন করা যায়।
∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫×৬×১ = ৯০

৩টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা ১০।
১ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_১ = ১০
২ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_২ = ৪৫
৩ জনকে নির্বাচনের উপায় ^১০c_৩ = ১২০
∴ নির্বাচনের মোট উপায় = ১০+৪৫+১২০ = ১৭৫।