ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +.............ধারাটির কোন পদ ৩৫৯?

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর d = ৮ - ৫ = ৩
ধারার n তম পদ = ৩৫৯

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

 প্রশ্নমতে,
৫ + (n - 1)৩ = ৩৫৯
বা, ৫ + ৩n  - ৩ = ৩৫৯
বা, ৩n + ২ = ৩৫৯
বা, ৩n = ৩৫৯ - ২
বা, ৩n = ৩৫৭
∴ n = ১১৯

∴ ধারাটির ১১৯ তম পদ ৩৫৯।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে, 15-তম পদটি-

সমাধান:
প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
d = 10

∴ 6 তম পদ = a + (n - 1)d
বা, 52 = a + (6 - 1)10
বা, a = 52 - 50
∴ a = 2

∴ 15 তম পদ =  a + (n - 1)d
= 2 + (15 - 1)10
= 2 + (14 × 10)
= 2 + 140
= 142

প্রশ্ন: 3, 2x + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2x + 1)/3 = 27/(2x + 1)
⇒ (2x + 1)² = 81
⇒ 2x + 1 = 9
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d 

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2){2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৭০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৭০ - ৪)/ ২}+ ১
= (৬৬/২) + ১
= ৩৩ + ১
= ৩৪

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ............ ধারাটির অষ্টম পদের মান কত? 

সমাধান:
প্রথম পদ a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 
= 1/2

ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{n - 1}
= 64 (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2)⁷
= 64 × (1/128)
= 1/2

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ হলে 18 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2
= {1 - ( - 1)¹⁸}/2
= (1 - 1)/2
= 0/2
= 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ২৫তম পদ এবং ২০তম পদের মানের পার্থক্য ৪৫ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
২৫তম পদ = a + 24d
এবং ২০তম পদ = a + 19d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 24d - a - 19d = 45
⇒ 5d = 45
∴ d = 9

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2 হলে, ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 2

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)2
= 3 + 2n - 2
= 1 + 2n

প্রশ্ন: ৪, ৭, ১৩, ২৫, ৪৯, ৯৭, ......... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
১ম পদ = ৪
২য় পদ = ৪ + ৩ = ৭
৩য় পদ = ৭ + ৬ = ১৩
৪র্থ পদ = ১৩ + ১২ = ২৫
৫ম পদ  = ২৫ + ২৪ = ৪৯
৬ষ্ঠ পদ = ৪৯ + ৪৮ = ৯৭
৭ম পদ = ৯৭ + ৯৬ = ১৯৩

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 3n . 2^{n + 1} হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 3n . 2^{n + 1}

১ম পদ = 3 . 1 . 2^{1 + 1}= 3 . 2² = 12
২য় পদ = 3 . 2 . 2^{2 + 1} = 6 . 8 = 48
৩য় পদ = 3 . 3 . 2^{3 + 1} = 144

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 12 + 48 + 144
= 204

প্রশ্ন: প্রথম ৬ টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম ৬ টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {৬(৬ + ১)/২}^২
= {(৬ × ৭)/২}^২
= (৪২/২)^২
= ২১^২
= ৪৪১

প্রশ্ন: 5 + m + n + 135  গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5 
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r 
চতুর্থ পদ = 135
ar^{4 - 1} = 135
বা, r³ = 135/5 = 27
∴ r = 3

এখানে, n হলো তৃতীয় পদ 
∴ n = ar^{n - 1}
= 5 × 3^{3 - 1}
= 45

প্রশ্ন: কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা:
সমান্তর বলতে ‘সমান অন্তর’ বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। 

যেমন: ১ + ৪ + ৭ + ১০ +...............+ ২২, একটি সমান্তর ধারা।
2 - 5 - 12 - 19 ........, একটি সমান্তর ধারা।

প্রশ্ন: 7 + 13 + 19 + ……… একটি ধারা। ধারাটির প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 13 - 7 = 6
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, ‍S = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি = (17/2) × {(2 × 7) + (17 - 1) × 6}
= (17/2) × (14 + 96)
= (17/2) × 110
= 17 × 55
= 935

প্রশ্ন: 1/4 + 1/4² + 1/4³ + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = n(n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r > 1 হলে সমষ্টির ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n - 1}
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r > 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r < 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)

প্রশ্ন: ৩, ৪, ৮, ১৭, ৩৩, ............... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ = ৩
২য় পদ = ৩ + ১^২ = ৪
৩য় পদ = ৪ + ২^২ = ৮
৪র্থ পদ = ৮ + ৩^২ = ১৭
৫ম পদ = ১৭ + ৪^২ = ৩৩
৬ষ্ঠ পদ = ৩৩ + ৫^২ = ৫৮

প্রশ্ন: 0.12 + 0.0012 + 0.000012 +............. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল- 

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 0.12
সাধারণ অনুপাত r = 0.0012/0.12
= 1/100 

অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল = a/(1 - r)
= 0.12/(1 - 1/100)
= 0.12/(99/100)
= 12/99 
= 4/33

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 12তম পদ কত?

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = 5 - 1 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 9 - 5 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (12 - 1)× 4
= 1 + 11 × 4
= 1 + 44
= 45