ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: ১৭ থেকে ৫৩ পর্যন্ত যে-সব সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য, সেই সংখ্যাগুলোর গাণিতিক মধ্যক কত? 

সমাধান: 
তাহলে ১৭ থেকে ৫৩ মধ্যে ৩ এর গুণিতক সংখ্যা:
১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১ 

এখানে মোট সংখ্যা = ১২ (জোড় সংখ্যা)
জোড় সংখ্যার মধ্যক = ৬ষ্ঠ এবং ৭ম সংখ্যার গড়
৬ষ্ঠ সংখ্যা = ৩৩
৭ম সংখ্যা = ৩৬

মধ্যক = (৩৩ + ৩৬)/২ = ৩৪.৫ 

∴ মধ্যক = ৩৪.৫

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। একটি হেড ও একটি টেল না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি মুদ্রা নিক্ষেপের সব সম্ভাব্য ফলাফল:
{HH, HT, TH, TT}
মোট ফলাফল = 4

“একটি হেড ও একটি টেল না পাওয়া”
অর্থাৎ: HH বা TT 

অনুকূল ফলাফল = {HH, TT}
সংখ্যা = 2

P = অনুকূল ফলাফল​ / মোট ফলাফল
= 2/4 
= 1/2

∴ একটি হেড ও একটি টেল না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1/2 

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3}, C = {3, 4} হলে (A ∪ C) \ B = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সেট A = {1, 2, 3, 4, 5}
সেট B = {2, 3}
সেট C = {3, 4}

A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5}

∴ (A ∪ C)\B = {1, 2, 3, 4, 5} - {2, 3} 
= {1, 4, 5}

∴ A ∪ C \ B = {1, 4, 5} 

প্রশ্ন: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সেটের উপাদান = 6 টি

আমরা জানি, 
প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1
= 2⁶ - 1
= 64 - 1
= 63

∴ প্রকৃত উপসেট = 63

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি সাদা এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। যদি ২টি বল একসাথে নেওয়া হয়, দুটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৫ + ৩ = ৮

২টি বল একত্র বাছাই করলে ফলাফল, 
= (৮ × ৭)/২ 
= ৫৬/২
= ২৮

৩টি কালো বলের মাঝে ২টি কালো বল বাছাইয়ের উপায়, 
= (৩ × ২)/২
= ৬/২
= ৩

তাহলে,
২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

∴ ২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

প্রশ্ন: ২১৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত? 

সমাধান: 
২১৬ = ২ × ১০৮
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ৫৪
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ২৭
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৯
⇒ ২১৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

২ এর সূচক = ৩
৩ এর সূচক = ৩

প্রচুরক হলো = ২, ৩ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ) ৩ 

প্রশ্ন: A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}, B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18} এবং C = {2, 4, 6, 8, 10} হয়, তাহলে A ∩ B ∩ C = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
∴ A = {4, 8, 12, 16, 20}

B = {x : x, 6 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
∴ B = {6, 12, 18}
এবং C = {2, 4, 6, 8, 10}

তাহলে,
A ∩ B = {4, 8, 12, 16, 20} ∩ {6, 12, 18} 
= {12}

প্রদত্ত রাশি, 
(A ∩ B) ∩ C = {12} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
= ∅
∴ A ∩ B ∩ C = ∅ 

প্রশ্ন: বাংলা স্বরবর্ণগুলো থেকে মাত্রাহীন বর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
বাংলা বর্ণমালায় স্বরবর্ণ ১১টি।
বাংলা বর্ণমালায় মাত্রাহীন স্বরবর্ণ ৪টি যথা এ, ঐ, ও, ঔ

∴ বাংলা স্বরবর্ণগুলো থেকে মাত্রাহীন বর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/১১

প্রশ্ন: ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
²⁵P₂ 
= 25!/(25 - 2)!
= [(25 × 24 × 23!)/(25 - 2)!]
=  (25 × 24 × 23!)/(23)!
= 25 × 24
= 600

এবং 
²⁵C₂
= [(25 × 24 × 23!)/2! × (25 - 2)!]
= [(25 × 24 × 23!)/2 × 23!]
= (25 × 24)/2
= 600/2
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂
= 600 - 300 
= 300

∴ ²⁵P₂ - ²⁵C₂ = 300

প্রশ্ন: 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে, যদি সব স্বরবর্ণ একত্রে থাকে?

সমাধান:
স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে রেখে সাজালে শব্দটি (TMRRWOOO) এমন হতে পারে। 

তাহলে স্বরবর্ণ ছাড়া সাজানো যাবে 6! 
R ২ বার থাকায় 2! দিয়ে ভাগ হবে।

তাহলে,
6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/ (2 × 1)
= 720/2
= 360 

স্বরবর্ণগুলোর ভিতরে তিনটি O একই হওয়ায় তাদের অভ্যন্তরীণ বিন্যাস 1 (অতিরিক্ত গুণ করার কিছু নেই)।

∴ স্বরবর্ণ একত্রে রেখে 'TOMORROW' শব্দের অক্ষরগুলো 360 ভাবে সাজানো যাবে।   

প্রশ্ন: 27 থেকে 53 পর্যন্ত সব সংখ্যাগুলোর যোগফল 1080 হলে, তাদের গড় কত?

সমাধান:
27 থেকে 53 পর্যন্ত কতগুলো সংখ্যা আছে, 
n = 53 - 27 + 1
= 27

আমরা জানি, 
গড় = মোট যোগফল/পদ সংখ্যা
= 1080/27
= 40

∴ তাদের গড় = 40 

প্রশ্ন: সেট C = {5, 10, 15, 20}, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
C = 5, 10, 15, 20
প্যাটার্ন: প্রতিপদে 5 করে বৃদ্ধি পেয়েছে। 

সাধারণ সূত্র:
x = 5n

n এর মান 1 থেকে 4 পর্যন্ত হলে:
n = 1 হলে, x = 5
n = 2 হলে, x = 10
n = 3 হলে, x = 15
n = 4 হলে, x = 20

তাহলে, C = {x : x = 5n, 1 ≤ n ≤ 4} কে সমর্থন করে। 

∴সেট গঠন: C = {x : x = 5n, 1 ≤ n ≤ 4}  

প্রশ্ন: EXTRA শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে যেন কোনো স্বরবর্ণ একত্রে না থাকে?

সমাধান:
মোট বর্ণ = 5টি
স্বরবর্ণ = 2টি

আমাদেরকে এমন ভাবে সাজাতে হবে যেন EA একত্রে না বসে। (XETAR, একটি উদাহরণ)

5টি বর্ণের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস,  5! = 120
2টি স্বরবর্ণকে একত্রে 3টি ব্যাঞ্জনবর্ণের বিন্যাস 4! = 24
2টি স্বরবর্ণের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস, 2! = 2

তাহলে বিন্যাসিত অক্ষর = 24 × 2 = 48
স্বরবর্ণ একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 120 - 48 = 72

∴ স্বরবর্ণ একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা 72 

প্রশ্ন: 7 থেকে 28 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
7 থেকে 28 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা হলো,
7, 11, 13, 17, 19, 23
মোট মৌলিক সংখ্যা = 6

7 থেকে 28 পর্যন্ত মোট সংখ্যা, 
= 28 - 7 + 1
= 22

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 6/22 
= 3/11

∴ মৌলিক সংখ্যার সম্ভাবনা = 3/11 

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০

প্রশ্ন: n(X ∪ Y) = 70, n(X ∩ Y) = 20 এবং n(Y) = 40 হলে, n(X) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(X ∪ Y) = 70
n(X ∩ Y) = 20
n(Y) = 40

আমরা জানি, 
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) - n(X ∩ Y)
⇒ 70 = n(X) + 40 - 20
⇒ 70 = n(X) + 20
⇒ n(X) = 70 - 20
∴ n(X) = 50

∴ n(X) = 50

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৭ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৭ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৭C_১ = ১৭ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৭ - ১) = ১৬ জন

১৬ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৬C_১ = ১৬ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭ × ১৬ = ২৭২ উপায়ে

প্রশ্ন: 11 টি বিন্দু থেকে 6 বাহু বিশিষ্ট কতটি ভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
একটি 6 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজ গঠনের জন্য আমাদের 6 টি বিন্দু বেছে নিতে হবে।
আমরা কেবল “11 টি বিন্দু থেকে 6 টি বিন্দু বাছাই” করছি।

তাহলে,
¹¹C₆ = (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6)/(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 462

∴ 6 বাহু বিশিষ্ট কতটি ভুজ আঁকা সম্ভব = 462 টি

প্রশ্ন: ১, ২, ৫ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ২, ৫ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩! = ৬ টি
সেগুলো হল- ১২৫, ১৫২, ২১৫, ২৫১, ৫১২, ৫২১

এখন, একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হল, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল- ১৫২ এবং ৫১২।
∴ মোট ২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৬ = ১/৩

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 25 জন ছাত্র আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ²⁵C₂
= 25!/2!(25 - 2)!
= (25 × 24 × 23!)/(2 × 23!)
= 25 × 12
= 300