নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: যদি ∠С = 90°, ∠B = 30°, AB = 6, AC = АВ/2 হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
AC = АВ/2
AC = 6/2 = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
АВ² = ВС² + АС²
বা, 6² = ВС² + 3²
বা, ВС² = 6² - 3²
বা, ВС² = 36 - 9
বা, BC² = 27
বা, BC = ± √27
- √ 27 গ্রহণযোগ্য নয়। কারণ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
∴ BC = √27
⇒ BC = 3√3

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ২০টি হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2

20 = n(n - 3)/2
⇒ 40 = n(n - 3)
⇒ 40 = 8(8 - 3)
∴ n = 8

∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 8 টি 

প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিতে, sin⁡²θ + cos⁡²θ সমান কত?

সমাধান:
sin²θ + cos²θ
= (লম্ব/অতিভুজ)^২ + (ভূমি/অতিভুজ)^২
= (লম্ব^২ + ভূমি^২)/অতিভুজ^২
= অতিভুজ^২/অতিভুজ^২ 
= ১ 

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সে.মি. এবং আয়তন 96π ঘন সে.মি. হলে, উহার হেলানো তলের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
এখানে,
কোণকের ব্যাস 12 সে.মি.
কোণকের ব্যাসার্ধ, r = 6 সে.মি.
এবং উচ্চতা = h সে.মি.
হেলানো তলের দৈর্ঘ্য = l সে.মি.

আমরা জানি,
কোণকের আয়তন, V = (1/3)π × r² × h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × 6² × h = 96π
⇒ 12h = 96
∴ h = 8

∴ হেলানো তলের দৈর্ঘ্য, l = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি জাহাজ ৬ কিলোমিটার পূর্বদিকে যায় তারপর ৮ কিলোমিটার উত্তরদিকে যায়। যাত্রাস্থান থেকে জাহাজটির সর্বশেষ অবস্থানের সরাসরি দূরত্ব কত?

সমাধান:

যাত্রাস্থান থেকে জাহাজের সরাসরি দূরত্ব = √(6² + 8²) 
= √(36 + 64)
= √100
= 10 কিলোমিটার 

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি ২১৬০° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180°

প্রশ্নমতে,
(n - 2) × 180° = 2160°
⇒ n - 2 = 2160°/180°
⇒ n - 2 = 12
∴ n = 14

প্রশ্ন: cotθ এর বিপরীত অনুপাত কী?

সমাধান:
sinθ = 1/cosecθ
cosθ = 1/secθ
tanθ = 1/cotθ
cotθ = 1/tanθ
secθ = 1/cosθ
cosecθ = 1/sinθ

∴ cotθ এর বিপরীত অনুপাত tanθ

প্রশ্ন: একটি মই ৫ মিটার লম্বা। মইয়ের গোড়াটি একটি খাঁড়া দেওয়াল থেকে ৩ মিটার দূরে অবস্থিত হলে মইটি দিয়ে দেওয়ালের কত উচ্চতায় উঠা যাবে?

সমাধান:

দেওয়ালের উচ্চতা = √(5² - 3²)  মিটার
= √(25 - 9) মিটার
= √16 মিটার
= 4 মিটার

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ ৪৫° হলে, বহুভুজটির কর্ণের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণ 45°
∴ বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/45° = 8

আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
∴ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা = {8(8 - 3)}/2
= (8 × 5)/2
= 20

প্রশ্ন: sec30° এর মান কত?

সমাধান:
sec30°
= 1/cos30°
= 1/(√3/2)
= 2/√3

প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি., বেলনের আয়তন 250π ঘন সে.মি. হলে, বেলনের উচ্চতা কত?

সমাধান:
বেলনের উচ্চতা = h সে.মি.
বেলনের ভূমির ব্যাস 10 সে.মি
বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি.

বেলনের আয়তন = πr²h
⇒ π × 5² × h = 250π
⇒ 25h = 250
∴ h = 10

প্রশ্ন: পরিমল ও সালমান একটি বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করল। পরিমল যাত্রাস্থান থেকে ৪০০ মিটার পশ্চিম দিকে গেল। সালমান দক্ষিণ দিকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করল। এখন তাদের মাঝে সরাসরি দূরত্ব ৬০০ মিটার হলে, যাত্রাস্থান থেকে সালমান কত দূরত্ব অতিক্রম করে?

সমাধান:

সালমানের অতিক্রান্ত দূরত্ব = √(600² - 400²)  মিটার
= √(360000 - 160000) মিটার
= √20000 মিটার
= 447 মিটার (প্রায়)।

প্রশ্ন: ননাগোনের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ননাগোনের বাহুর সংখ্যা = 9

অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = {(2n - 4) × 90}/n

= {(2 × 9 - 4) × 90}/9
= {14 × 90}/9
= 1260/9
= 140°

∴ ননাগোনের একটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ = 140°

প্রশ্ন: sin(- θ) সমান:

সমাধান:
sin(- θ) = - sin⁡θ
cos(- θ) = cos⁡θ
tan(- θ) = - tanθ
cot(- θ) = - cotθ
sec(- θ) = secθ
cosec(- θ) = - cosecθ

প্রশ্ন: ২১ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থ একটি বাগানের বাইরে চারদিকে ২.৫ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে । রাস্তার ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ২৬ মিটার
প্রস্থ = ১৫ মি. + (২.৫ + ২.৫) মি. = ২০ মিটার

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল (২৬ × ২০) বর্গমিটার
= ৫২০ বর্গমিটার

রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (২১ × ১৫) বর্গমিটার
= ৩১৫ বর্গমিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৫২০ - ৩১৫) বর্গমিটার
= ২০৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজ থেকে x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x² + (x - 7)² = (x + 1)²
⇒ x² + x² - 7x - 7x + 49 = x² + x + x + 1
⇒ 2x² - 14x + 49 = x² + 2x + 1
⇒ x² - 16x - 48 = 0
⇒ (x - 4)(x - 12)​=0​ 

∴ x = 4  অথবা x = 12

প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিতে tan⁡θ কে কীভাবে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
tanθ = sin⁡θ/cos⁡θ
cotθ = cos⁡θ/sin⁡θ
tanθ = 1/cotθ

প্রশ্ন: প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজ থেকে x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
x = √(16² - 12²)
= √(256 - 144)
= √112
= √(16 × 7)
= 4√7

প্রশ্ন: ১৫ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা= 15
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
এখন,
(n - 2) × 180° = 13 × 180° = 2340°

∴ প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান = 2340° ÷ 15 = 156°.

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ =3/5 হয়​, তাহলে cos⁡θ কত?

সমাধান:
cos⁡θ = √(1 - sin²θ
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √16/25
= 4/5

প্রশ্ন: গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সে.মি. হলে, গোলকটির আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গোলকের ব্যাসার্ধ r= 12/2 = 6 সে.মি.  

গোলকের আয়তন = (4/3)π × 6³ ঘন সে.মি.
= 288π ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে ৫০ মিটার দূরের কোন বিন্দু থেকে টাওয়ারের শীর্ষে একটি ক্যাবল লাগানো হলো। টাওয়ারটির উচ্চতা ২৫ মিটার হলে, ক্যাবলটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
ক্যাবলের দৈর্ঘ্য = c মিটার

c² = 50² + 25²
⇒ c² = 2500 + 625 = 3125
⇒ c = √3125 = 55.9

প্রশ্ন: যদি একটি পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ সে.মি., ৩.৫ সে.মি., ৪ সে.মি., ৫ সে.মি., এবং ৬ সে.মি. হয়, তাহলে পঞ্চভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
পঞ্চভুজটির পরিসীমা = ৩ + ৩.৫ + ৪ + ৫ + ৬ সে.মি.
= ২১.৫ সে.মি.

প্রশ্ন: tan⁡(90° - θ) এর মান কী?

সমাধান:
tan⁡(90° - θ)
= cotθ

sin⁡(90° - θ) = cosθ
cos⁡(90° - θ) = sinθ
cot⁡(90° - θ) = tanθ
sec⁡(90° - θ) = cosecθ
cosec⁡(90° - θ) = secθ

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং হেলানো উচ্চতা 10 সে.মি. হলে, কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 7 সে.মি.
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 সে.মি.

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 7 × 10
= 220 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ঝড়ে একটি গাছ 40 ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে গোড়া থেকে 9 ফুট দূরে মাটি স্পর্শ করেছে। গাছটির উচ্চতা কত ফুট?

সমাধান:

ধরি, গাছটির মচকে যাওয়া অংশ = x ফুট
তাহলে, গাছটির উচ্চতা = 40 + x ফুট

∴ x² = 40² + 9²
⇒ x² = 1600 + 81
⇒ x = √(1681)
∴ x = 41 মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা = 40 + 41 = 81 ফুট

প্রশ্ন: কোনো ষড়ভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৯০° এবং বাকি ৫টি কোণ সমান। সমান কোণগুলোর একটির পরিমাণ কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা = 6
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°
= 720°

৫টি কোণের সমষ্টি = 720° - 90° = 630°
∴ সমান কোণগুলোর একটির পরিমাণ = 630°/5 = 126°

প্রশ্ন: sin⁡120° এর মান কত?

সমাধান:
sin⁡120°
= sin(90° + 30°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: সূর্যাস্তের সময় একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 4 মিটার। গাছটির শীর্ষ ও ছায়ার শীর্ষের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√5 মিটার হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
গাছটির উচ্চতা = √{(2√5)² - 4²}  মিটার
= √(20 - 16) মিটার
= √4 মিটার
= 2 মিটার

প্রশ্ন: ১৬ বাহু বিশিষ্ট বহুভুজের সকল অন্তঃকোণের সমষ্টি কত?

সমাধান:
বাহুর সংখ্যা= 16
অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (n - 2) × 180°
এখন,
(16 - 2) × 180° = 14 × 180° = 2520°

প্রশ্ন: 12 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি মাটির সাথে 30 ডিগ্রী কোণে মিলিত হলো। গাছটি কত উঁচুতে ভেঙেছিল?

সমাধান:

sin30° = AC/BC
⇒ 1/2 = h/(12 - h)
⇒ 2h = 12 - h
⇒ 3h = 12 
∴ h = 4
∴ গাছটি 4 মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ মিটার হলে, ঘনকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ 6a² = 216
বা, a² = 36
∴ a = 6

আয়তন = a³
= 6³
= 216 ঘন মি.

প্রশ্ন: cos⁡45° × sec⁡45°  সমান কত?

সমাধান:
cos⁡45° × sec⁡45°
= cos⁡45° × (1/cos⁡45°)
= 1

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার প্রিজমের ভূমিটি 14 সে.মি. দৈর্ঘ্য ও 5 সে.মি. প্রস্থ বিশিষ্ট, প্রিজমের উচ্চতা 10 সে.মি. হলে প্রিজমের সমগ্র পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দৈর্ঘ্য = 14 সে.মি.
প্রস্থ = 5 সে.মি.
উচ্চতা = 10 সে.মি.

আয়তাকার প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল, S = 2(lw + lh + wh) যেখানে, l = দৈর্ঘ্য, w = প্রস্থ, h = উচ্চতা
S = 2(lw + lh + wh) = 2(14 × 5 + 14 × 10 + 5 × 10)
= 2(70 + 140 + 50)
= 2 × 260
= 520 বর্গসে.মি.

∴ প্রিজমের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 520 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৫০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৭০ মিটার হলে, এর প্রস্থ কত?

সমাধান:

আয়তের প্রতিটি কোণ 90°.
∴ PSR একটি সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে S একটি সমকোণ
⇒ PS² + SR² = PR²
⇒ PS² + 150² = 170²
⇒ PS² = 170² - 150²
⇒ PS² = (170 + 150) (170 - 150)
⇒ PS² = 320 × 20
⇒ PS² = 6400
⇒ PS = √6400
⇒ PS = 80

∴ আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 80 মিটার

প্রশ্ন: একটি বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 6 সে.মি.। বেলনের আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
বেলনের উচ্চতা, h = 6 সে.মি. 

আমরা জানি,
বেলনের আয়তন = πr²h
= (22/7) × (7)² × 6 ঘন সে.মি.
= 22 × 7 × 6 ঘন সে.মি.
= 924 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: ২টি দালানের উচ্চতা যথাক্রমে ৩৪ মিটার ও ২৯ মিটার। দালান ২টির মধ্যবর্তী দূরত্ব ১২ মিটার হলে, দালান দুটির শীর্ষের দূরত্ব কত?

সমাধান:

AD² = AE² + ED²
⇒ AD² = 5² + 12²
⇒ AD² = 25 + 144
⇒ AD² = 169
⇒ AD = √169
⇒ AD = 13

∴ দালান দুটির শীর্ষের দূরত্ব 13 মিটার

প্রশ্ন: 2cos²θ = 1 + 2sin²θ হলে θ এর মান কত?

সমাধান: 
2cos²θ = 1 + 2sin²θ
⇒ 2(1 - sin²θ) = 1 + 2sin²θ
⇒ 2 - 2sin²θ = 1 + 2sin²θ
⇒ 2 - 1 = 2sin²θ + 2sin²θ
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sin²θ = (1/2)²
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ মি. এবং এর চারদিকে বেড়া আছে। প্রতি মিটার বেড়া ‍দিতে ২.২৫ টাকা খরচ হলে সম্পূর্ণ বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গ .মি. 
বর্গাকার বাগানের একবাহুর দৈর্ঘ্য = √৪০০ মি. 
= ২০ মি.

বর্গাকার বাগানের পরিসীমা = (২০ × ৪) মি. 
= ৮০ মি.

১ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = ২.২৫ টাকা
৮০ মিটার বেড়া ‍দিতে খরচ হয় = (৮০ × ২.২৫) টাকা
= ১৮০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সে.মি. হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান:

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা = 12 সে.মি
ত্রিভুজটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 12/3 = 4 সে.মি

∴ উচ্চতা, AD = √(AB² - BD²)
= √(4² - 2²)
= √(16 - 4)
= √12
= √(3 × 4)
= 2√3