৪৮তম বিশেষ বিসিএস [স্বাস্থ্য] ⎯ সাধারণ অংশ [Archived]

প্রশ্ন: যদি (x + y) = 7 এবং xy = 10 হয়, তবে (x - y) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
(x + y) = 7 এবং xy = 10

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = 7² - (4 × 10)
⇒ (x - y)² = 49 - 40
⇒ (x - y)² = 9
⇒ x - y = √9
∴ x - y = 3

প্রশ্ন: যদি x² - 9x + 20 = 0 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
x² - 9x + 20 = 0
⇒ x² - 5x - 4x + 20 = 0
⇒ x(x - 5) - 4(x - 5) = 0
⇒ (x - 4)(x - 5) = 0

∴ (x - 4) = 0
⇒ x = 4

অথবা,
(x - 5) = 0
⇒ x = 5

∴ x = 4, 5

প্রশ্ন: যদি 3x² + mx + 12 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয় এবং m > 0 হয়, তাহলে m এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 3x² + mx + 12 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3, b = m, c = 12

আমরা জানি, মূলদ্বয় সমান হলে,
b² − 4ac = 0
⇒ m² = 4 × 3 × 12 
⇒ m² = 144
⇒ m = √144
∴ m = 12 (যেহেতু m > 0) 

প্রশ্ন: x² - 10x + 24 < 0 হলে-

সমাধান:
x² - 10x + 24 < 0
⇒ x² - 6x - 4x + 24 < 0
⇒ x(x - 6) - 4(x - 6) < 0
⇒ (x - 6) (x - 4) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়, অর্থাৎ x এর মান 4 ও 6-এর মাঝখানে হলে।
< দ্বারা বুঝায় x এর মান 4 এবং 6 এর মাঝখানে।
অর্থাৎ 4 < x < 6

প্রশ্ন: (y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2) হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(y - 1)(y + 2) = (y + 4)(y - 2)
⇒ y² - y + 2y - 2 = y² - 2y + 4y - 8
⇒ y² + y - 2 = y² + 2y - 8
⇒ y² + y - y² - 2y = - 8 + 2
⇒ - y = - 6
∴ y = 6

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = √5 হয়, তবে x³ + (1/x)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + (1/x) = √5

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x)³
= {x + (1/x)}³ - 3.x.(1/x){x + (1/x)}
= (√5)³ - 3 × √5
= 5√5 - 3√5
= 2√5

প্রশ্ন: x² - 3x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 28
= x² - 7x + 4x - 28
= x(x - 7) + 4(x - 7)
= (x - 7)(x + 4)

প্রশ্ন: 4xy + 15x - 27 = 0 এবং y = - 3 হলে, 3x + y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, y = - 3

এখন,
4xy + 15x - 27 = 0
⇒ 4x(-3) + 15x - 27 = 0
⇒ -12x + 15x = 27
⇒ 3x = 27
∴ x = 9

∴ প্রদত্ত রাশি = 3x + y
= (3 × 9) + (- 3) = 27 - 3
= 24

প্রশ্ন: 7x - 4 > - 18 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
7x - 4 > - 18
⇒ 7x > - 18 + 4
⇒ 7x > - 14
⇒ x > - (14/7)
∴ x > - 2


∴ নির্ণয় মান: x ∈ (- 2, ∞)

প্রশ্ন:  x² = x√2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = x√2
x² - x√2 = 0
x(x - √2) = 0

হয় 
x = 0

অথবা
x - √2 = 0
x = √2

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 45 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 9
a² + b² = 45

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 9² = 45 + 2ab
⇒ 81 = 45 + 2ab
⇒ 2ab = 81 - 45 = 36
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

প্রশ্ন: f(x) = 5x² + kx + 6 এর একটি উৎপাদক যদি (x + 2) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x + 2) একটি উৎপাদক,
তাই x = - 2 হলে f(- 2) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 5x² + kx + 6
∴ f(- 2) = 5 × (- 2)² + k × (- 2) + 6 = 0
⇒ 20 - 2k + 6 = 0
⇒ 26 - 2k = 0
⇒ 2k = 26
∴ k = 13

প্রশ্ন: |5 + 2x| < 7 হলে, কোনটি সত্য?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা: |5 + 2x| < 7
⇒ - 7 < 5 + 2x < 7
⇒ - 7 - 5 < 5 + 2x - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ - 12/2 < 2x/2 < 2/2
⇒ - 6 < x < 1

∴ - 6 < x < 1

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান টাকা চাঁদা দেওয়ায় মোট 210 টাকা চাঁদা উঠল। প্রত্যেকে কত টাকা করে চাঁদা দিলেন? 

সমাধান: 
ধরি,
ছাত্রছাত্রী আছে x জন 
প্রত্যেকের সহপাঠীর সংখ্যা x - 1 জন 

প্রশ্নমতে, 
x (x - 1) = 210 
⇒ x² - x = 210 
⇒ x² - x - 210 = 0 
⇒ x² - 15x + 14x - 210 = 0
⇒ x(x - 15) + 14(x - 15) = 0
⇒ (x - 15)(x + 14) = 0
∴ x = 15 অথবা, x = - 14 ; [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

অতএব, ছাত্রছাত্রী আছে 15 জন। 
চাঁদা দেয়া হয়েছে = 15 - 1 টাকা 
= 14 টাকা

প্রশ্ন: 2√2x³ + 16√2 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2√2x³ + 16√2
= √2 × (2x³ + 16)
= √2 × 2(x³ + 8)
= √2 × 2(x³ + 2³)
= 2√2(x + 2)(x² - 2x + 4)

প্রশ্ন: |x - 4| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x + 4 < n হবে?

সমাধান:
|x - 4| < 5
⇒ - 5 < x - 4 < 5
⇒ - 5 + 4 < x - 4 + 4 < 5 + 4
⇒ - 1 < x < 9
⇒ - 2 < 2x < 18
⇒ - 2 + 4 < 2x + 4 < 18 + 4
∴ 2 < 2x + 4 < 22

m < 2x + 4 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 2 এবং n = 22

প্রশ্ন: কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 8 এবং বিয়োগফল 2 হলে ভগ্নাংশটি = কত? 

সমাধান: 
ধরি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 8...........(1)
y - x = 2 ..........(2)

(1) + (2) নং হতে পাই,
2y = 10
∴ y = 5

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 5 = 8
⇒ x = 8 - 5 
∴ x = 3

∴ ভগ্নাংশটি = x/y = 3/5

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: x³ - 9x² + 27x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 9x² + 27x - 28
= x³ - (3 . x². 3) + (3 . x . 3²) - 3³ - 1
= (x - 3)³ - 1³
= (x - 3 - 1){(x - 3)² + (x - 3). 1 + 1²}
= (x - 4)(x² - 6x + 9 + x - 3 + 1)
= (x - 4)(x² - 5x + 7)

প্রশ্ন: (x - 3)(x + b) = x² - 9 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x + b) = x² - 9
⇒ (x - 3)(x + b) = (x - 3)(x + 3)
⇒ x + b = x + 3
⇒ x + b - x = 3
∴ b = 3

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে মোট যাত্রী সংখ্যা ৭০ জন। কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার তিনগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ২৫ টাকা। মোট ভাড়া আদায় ২৫৫০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ক জন
তাহলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৭০ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু = ২৫ টাকা
∴ কেবিনের ভাড়া = ২৫ × ৩ = ৭৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
২৫ক + ৭৫(৭০ - ক) = ২৫৫০
⇒ ২৫ক + ৫২৫০ - ৭৫ক = ২৫৫০
⇒ - ৫০ক = ২৫৫০ − ৫২৫০
⇒ - ৫০ক = - ২৭০০
∴ ক = ৫৪

∴ ডেকের যাত্রী সংখ্যা = ৫৪ জন

প্রশ্ন: যদি x - y = 4 হয়, তবে x³ - y³ - 12xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 4

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 12xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 12xy
= 4³ + 3xy × 4 - 12xy
= 64 + 12xy - 12xy
= 64

প্রশ্ন: a³ + 3a + 36 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ + 3a + 36
= a³ + 27 + 3a + 9
= (a)³ + (3)³ + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9) + 3(a + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 9 + 3)
= (a + 3)(a² - 3a + 12)

প্রশ্ন: 2x + y = 10 এবং 3x - y = 5 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
2x + y = 10  ........(1)
3x - y = 5  ........(2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x + y + 3x - y = 10 + 5
⇒ 5x = 15
⇒ x = 3

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2 × 3 + y = 10
6 + y = 10
⇒ y = 4

অতএব, সমাধান: (x, y) = (3, 4)

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে - 2 < x < 8 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8

এখানে,
- 2 < x < 8 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (- 2 + 8)/2
= 6/2
= 3

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 3 বিয়োগ করে পাই,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। ৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল পুত্রের বয়সের চারগুণ। পিতা এবং পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৩ক বছর

৫ বছর আগে,
পুত্রের বয়স = ক - ৫
পিতার বয়স = ৩ক - ৫

প্রশ্নমতে,
৩ক - ৫ = ৪(ক - ৫)
বা, ৩ক - ৫ = ৪ক - ২০
বা, ৪ক - ৩ক = ২০ - ৫
বা, ক = ১৫

∴ পুত্রের বর্তমান বয়স = ১৫ বছর
পিতার বর্তমান বয়স = ৩ × ১৫ = ৪৫ বছর

প্রশ্ন: যদি 

সমাধান:

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - 7x + 10 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = - 7, c = 10

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 7)² - 4 × 1 × 10
= 49 - 40
= 9 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হয়।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 63 এবং বর্গের যোগফল 130। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = x ও y

দেওয়া আছে,
xy = 63
x² + y² = 130

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
= 130 + (2 × 63)
= 130 + 126
= 256
∴ x + y = √256 = 16

প্রশ্ন: যদি x = √3 + √2 হয়, তাহলে ,  এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,

এখন,
x + (1/x) = √3 + √2 + √3 - √2
∴ x + (1/x) = 2√3

প্রদত্ত রাশি = x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3.x.(1/x){x + (1/x)}
= (2√3)3 - 3(2√3)
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: 3x³ - 4x² + 2x + 5 থেকে কত বিয়োগ করলে উক্ত রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
যে রাশিতে (x - 1) = 0 বা, x = 1 বসালে রাশিটির মান শূণ্য হয় সে রাশিটি (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

f(x) = 3x³ - 4x² + 2x + 5
∴ f(1) = 3(1)³ - 4(1)² + 2(1) + 5
= 3 - 4 + 2 + 5
= 6

∴ রাশিটি থেকে 6 বিয়োগ করলে (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কী?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, x² - x - 6 = 0 কে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1, b = -1, c = - 6

নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac = (-1)² - 4 × 1 × (- 6) = 1 + 24 = 25 > 0
তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

মূলদ্বয় নির্ণয় সূত্র অনুযায়ী,
x = {- b ± √(b² - 4ac)}/2a
=- (-1) ± √{(-1)² - 4 × 1 × (- 6)}/2.1
= 1 ± √(1 + 24)/2
= (1 ± √25)/2
= (1 ± 5)/2

∴ x₁ = 3 এবং x₂ = - 2

বিকল্প সমাধান:
x² - x - 6 = 0
⇒ x² - 3x + 2x - 6 = 0
⇒ x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
⇒(x - 3)(x + 2) = 0

∴(x - 3) = 0 
⇒ x = 3

অথবা,
(x + 2) = 0
⇒ x = - 2

∴ x = 3, - 2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৪টি বেঞ্চে খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ২ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
শ্রেণির মোট বেঞ্চ সংখ্যা = ক

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসালে ৪টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ব্যবহৃত বেঞ্চ = ক − ৪
∴ ছাত্র সংখ্যা = ৩(ক − ৪)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
প্রতি বেঞ্চে ২ জন করে বসালে ১০ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকে
∴ বেঞ্চে বসতে পারে = ২ × ক = ২ক
∴ ছাত্র সংখ্যা = ২ক + ১০

প্রশ্নমতে,
৩(ক − ৪) = ২ক + ১০
⇒ ৩ক − ১২ = ২ক + ১০
⇒ ৩ক − ২ক = ১০ + ১২
⇒ ক = ২২

∴ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা = ২২ টি