সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৯ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ২৩ × ৯
= ২০৭ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ৫০ সেকেন্ড ও ৪০ সেকেন্ডে যথাক্রমে ৪০০ মিটার ও ৩০০ মিটার লম্বা দুটি সেতু অতিক্রম করে। ট্রেনটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক + ৪০০)/৫০ = (ক + ৩০০)/৪০
⇒ ৫০ক + ১৫০০০ = ৪০ক + ১৬০০০
⇒ ৫০ক - ৪০ক = ১৬০০০ - ১৫০০০
⇒ ১০ক = ১০০০
∴ ক = ১০০ মিটার

অতএব, ট্রেনটির দৈর্ঘ্য ১০০ মিটার।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ৩ : ১। তিন বছর আগে তাদের বয়সের অনুপাত ছিল ৭ : ২। ১০ বছর পর পিতা ও  পুত্রের বয়সের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স যথাক্রমে ৩ক এবং ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৩ক - ৩)/(ক - ৩) = ৭/২
⇒ ৭ক - ২১ = ৬ক - ৬
⇒ ৭ক - ৬ক = ২১ - ৬
∴ ক = ১৫

১০ বছর পর পিতার বয়স হবে = (৩ × ১৫) + ১০ = ৫৫ বছর
১০ বছর পর পুত্রের বয়স হবে = ১৫ + ১০ = ২৫ বছর

অতএব, ১০ বছর পর পিতা ও  পুত্রের বয়সের অনুপাত = ৫৫ : ২৫ = ১১ : ৫

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু ৮৪ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির অন্তব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের অন্তব্যাসার্ধ= বাহু/২√৩
= ৮৪/২√৩
= ৪২/√৩
= (১৪ × √৩ × √৩)/√৩
= ১৪√৩

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন ৭ : ৪০ বাজে, ঘণ্টার কাঁটা এবং মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি তখন কত ডিগ্রি থাকে?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = | (১১M - ৬০H)/২ |
= | {(১১ × ৪০) - (৬০ × ৭)}/২ |
= | (৪৪০ - ৪২০)/২ |
= | ২০/২ |
= | ১০ |
= ১০°

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি খেলার মাঠের ক্ষেত্রফল ২৫০০ বর্গমিটার। মাঠের চারপাশে একটি দড়ি দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। দড়ির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মাঠের ক্ষেত্রফল = ২৫০০ বর্গমিটার

তাহলে,মাঠের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √২৫০০ মিটার
= ৫০ মিটার

এখন, মাঠটির পরিসীমাই হবে দড়ির মোট দৈর্ঘ্য।
∴ মাঠটির পরিসীমা = চার বাহুর সমষ্টি
= (৪ × ৫০) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ দড়ির মোট দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র G, ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ৯৩ বর্গএকক হলে, BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র ত্রিভুজকে সমান তিনভাগে ভাগ করে।
BGA ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/৩) × ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= (১/৩) × ৯৩
= ৩১ বর্গএকক

প্রশ্ন: যদি ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখন্ডকত্রয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দুগামী হয়, এই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কী বলে?

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ভরকেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দুগামী হয়, এই বিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখন্ডকত্রয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দগামী হয়, এই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

বহিঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের একটি কোণের অন্ত-সমদ্বিখন্ডক এবং অপর দুই কোণের বহি-সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত ৪ : ৫ এবং রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৬০ বর্গসে.মি. হলে, ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৪ক এবং ৫ক

প্রশ্নমতে,
(১/২) × ৪ক × ৫ক = ৩৬০
⇒ ১০ক^২ = ৩৬০
⇒ ক^২ = ৩৬০/১০
⇒ ক^২ = ৩৬
∴ ক = ৬

তাহলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হবে যথাক্রমে ৪ × ৬ = ২৪ সে.মি. এবং ৫ × ৬ = ৩০ সে.মি.
∴ ছোট কর্ণটির দৈর্ঘ্য ২৪ সে.মি.।

প্রশ্ন: ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ১২ ঘণ্টায় কয়বার সমাপতিত হয়?

সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ঘণ্টায় ১ বার সমাপতিত হয়।
তবে প্রতি ১২ ঘণ্টায় ১১ বার সমাপতিত হয়, কারণ ১১ টা থেকে ১২ টা এর মধ্যে কাঁটা দুইটি দুইবারের পরিবর্তে ১ বার সমাপতিত হয়।

[ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটি প্রতি ২৪ ঘণ্টায় সমাপতিত হয় = ১১ × ২ = ২২ বার]

প্রশ্ন: রাজু একটি কাজ একা করতে ১৫ দিন সময় নেয়। সে ৩/৪ অংশ কাজ করার পর অসুস্থ হয়ে পড়ে। বাকি কাজটি করতে সুজন ৬ দিন সময় নেয়। সম্পূর্ণ কাজের ১/২ অংশ করতে সুজনের একা কত দিন লাগবে?

সমাধান:
অবশিষ্ট কাজ = ১ - (৩/৪) অংশ
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪ অংশ

সুজন ১/৪ অংশ কাজ করে = ৬ দিনে
সুজন ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে = ৬ × ৪ দিনে
= ২৪ দিনে

∴ সুজন ১/২ অংশ কাজ করে = ২৪/২ দিনে
= ১২ দিনে

প্রশ্ন: ২০ জন ছাত্রের একটি ক্লাসে ছাত্রদের বয়সের গড় ১৫ বছর। শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় ২ বছর বেশি হলে, শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (১৫ × ২০) বছর
= ৩০০ বছর

শিক্ষকসহ তাদের বয়সের গড় = ১৫ + ২ = ১৭ বছর
শিক্ষকসহ সকলের মোট বয়স = (১৭ × ২১) বছর
= ৩৫৭ বছর
∴ শিক্ষকের বয়স = (৩৫৭ - ৩০০) বছর
= ৫৭ বছর
∴ শিক্ষকের বয়স ৫৭ বছর।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং ক্ষেত্রফল ২৮৮বর্গমিটার হলে পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘরের প্রস্থ = ক মিটার

তাহলে,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ২ক মিটার
ঘরের ক্ষেত্রফল = ক × ২ক
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ২৮৮
⇒ ক^২ = ২৮৮/২
⇒ ক^২= ১৪৪
∴ ক = ১২ মিটার

∴ পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (২ক + ক)
= ২ × ৩ক
= ২ × ৩ × ১২
= ৭২ মিটার

প্রশ্ন: ১২ জন কারিগর অথবা ১৮ জন শিক্ষানবিশ ৩৬০টি খেলনা তৈরি করতে পারে ১৫ দিনে। ১০ জন কারিগর ও ৬ জন শিক্ষানবিশ ১৫ দিনে কয়টি খেলনা তৈরি করতে পারবে?

সমাধান:
১২ জন কারিগর = ১৮ জন শিক্ষানবিশ
⇒ ১ জন কারিগর = ১.৫ জন শিক্ষানবিশ
১০ জন কারিগর = (১০ × ১.৫) = ১৫ জন শিক্ষানবিশ
∴ ১০ জন কারিগর ও ৬ জন শিক্ষানবিশ = ১৫ + ৬ = ২১ জন শিক্ষানবিশ

১৮ জন শিক্ষানবিশ ১৫ দিনে তৈরি করে = ৩৬০টি খেলনা
১ জন শিক্ষানবিশ ১ দিনে তৈরি করে = ৩৬০/(১৮ × ১৫) টি খেলনা
২১ জন শিক্ষানবিশ ১৫ দিনে তৈরি করে = (৩৬০ × ২১)/১৮ টি খেলনা
= ৪২০ টি খেলনা

∴ ১০ জন কারিগর ও ৬ জন শিক্ষানবিশ ১৫ দিনে ৪২০টি খেলনা তৈরি করতে পারবে।

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব ১২ মিটার। একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ মিটার হলে, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
∴ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (২ × ৭২)/১২
= ১২ মি.

∴ অপর বাহু = ১২ - ১০ সে.মি.
= ২ মি.

প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ৭৫° হলে অপর কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি ১৮০°

দেওয়া আছে,
সামান্তরিকের একটি কোণ = ৭৫°
∴ সামান্তরিকের অপর কোণ = ১৮০° - ৭৫°
= ১০৫°

প্রশ্ন: রাজুর বয়স সুজনের বয়সের চারগুণ। সুজনের বর্তমান বয়স ৮ বছর। যখন রাজুর বয়স সুজনের বয়সের তিনগুণ হবে তখন রাজুর বয়স কত হবে?

সমাধান:
সুজনের বর্তমান বয়স ৮ বছর হলে,
রাজুর বর্তমান বয়স = ৮ × ৪ = ৩২ বছর

ধরি,
x বছর পরে রাজুর বয়স, সুজনের বয়সের তিনগুণ হবে।
প্রশ্নমতে,
৩ × (৮ + x) = ৩২ + x
⇒ ২৪ + ৩x = ৩২ + x
⇒ ২x = ৮
∴ x = ৪
সুতরাং, যখন রাজুর বয়স সুজনের বয়সের তিনগুণ হবে,
তখন রাজুর বয়স হবে = ৩২ + ৪ = ৩৬ বছর

প্রশ্ন: একটি বাড়ি 15 ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 8 ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

সমাধান:
 

ধরি,
মইটি y ফুট লম্বা।

সমকোণী ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী,
(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, AC² = AB² + BC²
বা, y² = (15)² + (8)²
বা, y² = 225 + 64
বা, y² = 289
বা, y² = 17²
∴ y = 17 ফুট

∴ মইটি কত 17 ফুট লম্বা।

প্রশ্ন: কোনো ঘড়ির সময় আয়নায় ৫ : ৩১ টা দেখালে প্রকৃত সময় কত?

সমাধান:
প্রকৃত সময় = ১১ : ৬০ - আয়নার সময়
= ১১ : ৬০ - ৫ : ৩১
= ৬ : ২৯

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাংক চারটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৩, ৪, ৬ ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। চারটি নল একসাথে খুলে দিলে ট্যাংকটি সম্পূর্ণ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
চারটি নল দ্বারা একসাথে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = (১/৩) + (১/৪) + (১/৬) + (১/১২) অংশ
= (৪ + ৩ + ২ + ১)/১২
= ১০/১২ অংশ

১০/১২ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (১২/১০) ঘণ্টায়
= ১.২ ঘণ্টায়
= ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট
∴ ট্যাংক সম্পূর্ণ পূর্ণ হতে ১ ঘণ্টা ১২ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার খেলার মাঠের দৈর্ঘ্য ৮০ মিটার এবং প্রস্থ ৬০ মিটার হলে, মাঠটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৮০ + ৬০)
= ২ × ১৪০
= ২৮০ মিটার

প্রশ্ন: ২০০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৫০০ মিটার লম্বা একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৭২ কি.মি. হলে প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে?

সমাধান:
ট্রেনটিকে মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে = ৫০০ + ২০০ = ৭০০ মিটার
এখন,
ট্রেনটি ৭২ কি.মি. বা ৭২০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
ট্রেনটি ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৭২০০০ সেকেন্ডে
∴ ট্রেনটি ৭০০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৭০০)/৭২০০০ সেকেন্ডে
= ৩৫ সেকেন্ডে
অতএব, প্ল্যাটফর্মটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে ৩৫ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬ কি.মি. বেগে চললে কোনো স্থানে পৌঁছাতে যে সময় লাগে, ঘণ্টায় ১২ কি.মি. বেগে চললে তার চেয়ে ৩০ মিনিট কম লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি, স্থানটির দূরত্ব = ক কি.মি.
৬ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কোনো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/৬ ঘণ্টা
আবার, ১২ কি.মি./ঘণ্টায় চললে কো্নো স্থানে পৌছতে সময় লাগে = ক/১২ ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
(ক/৬) - (ক/১২) = ৩০/৬০
⇒ (২ক - ক)/১২ = ১/২
⇒ ক/১২ = ১/২
⇒ ২ক = ১২
∴ ক = ৬
∴ স্থানটির দূরত্ব ৬ কি.মি.