Math Master

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের পরিধি ৮৮ মিটার হলে এর অর্ধাংশের পরিধির কত হবে?

সমাধান:

মনে করি,
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার,
বৃত্তের পরিধি ২πr মিটার

শর্তমতে,
২πr = ৮৮
⇒ πr = ৪৪
⇒ (২২/৭)r = ৪৪
⇒ r = (৪৪ × ৭)/২২
⇒ r = ১৪

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিধি πr + ২r একক

তাহলে,
ক্ষেত্রটির অর্ধাংশের পরিধি = (২২/৭) × ১৪ + (২ × ১৪)
= ৪৪ + ২৮
= ৭২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের সন্নিহিত দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান এবং এদের দৈর্ঘ্য ১০ মিটার, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গমিটার হলে সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
ত্রিভুজের সন্নিহিত বাহু দুটি যথাক্রমে a = ১০ মিটার এবং b = ১০ মিটার,
সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ θ 

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২)absinθ বর্গমিটার

(১/২)absinθ = ২৫
⇒ absinθ = ৫০
⇒ ১০ × ১০ × sinθ = ৫০
⇒ sinθ = ১/২
⇒ sinθ = sin৩০°
⇒ θ = ৩০°

সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ৩০°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৪ গুণ, মেঝেতে প্রতি বর্গমিটারে কার্পেট বিছাতে ২০ টাকা করে মোট ১৩৫২০ টাকা খরচ হলে মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি,
আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার
তাহলে, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ৪x মিটার
আয়তাকার ঘরের ক্ষেত্রফল = ৪x × x বর্গমিটার = ৪x^২ বর্গমিটার

২০ টাকা খরচ হয় ১ বর্গমিটারে
∴ ১৩৫২০ টাকা খরচ হয় (১৩৫২০/২০) বর্গমিটার = ৬৭৬ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
৪x^২ = ৬৭৬
⇒ x^২ = ১৬৯
⇒ x = ১৩

মেঝের দৈর্ঘ্য ৪ × ১৩ মিটার = ৫২ মিটার

প্রশ্ন: ৬ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৬ মিটার
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 


প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. এর ক্ষেত্রফল ২√৫ বর্গসে.মি. হলে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a সে.মি.
অসমান বাহুর দৈর্ঘ্য b = ৪ সে.মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল =


প্রশ্নমতে,

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ২৭ ঘনমিটার হলে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার

তাহলে,
a³ = ২৭
বা, a = ৩

ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ৬a^২ বর্গমিটার
= ৬ × ৩^২ বর্গমিটার
= ৬ × ৯ বর্গমিটার
= ৫৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২০ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের মধ্যে একটি বৃত্ত অন্তর্লিখিত হলে, বর্গক্ষেত্রের ভিতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:


দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ২০ মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ২০ × ২০ বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের ভেতরে অন্তর্লিখিত হয়েছে, সেহেতু বৃত্তটির ব্যাস ২০ মিটার,
তাহলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ১০ মিটার।
বৃত্তটির ক্ষেত্রফল π × ১০^২ বর্গমিটার = ৩.১৪ × ১০০ বর্গমিটার = ৩১৪ বর্গমিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ভেতরে বৃত্ত বহির্ভূত অংশের ক্ষেত্রফল =
(৪০০ - ৩১৪) বর্গমিটার
= ৮৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা ১২ মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১২/৩ মিটার = ৪ মিটার

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (√৩ ÷ ৪) × ৪^২  বর্গমিটার
= (√৩ ÷ ৪) × ১৬ বর্গমিটার
=৪√৩ বর্গমিটার

প্রশ্ন: সামান্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৫০ বর্গমিটার হলে সামান্তরিকটির ভূমির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:

ধরি,
সামান্তরিকের উচ্চতা h মিটার
সামান্তরিকের ভূমি ২h মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২h × h বর্গমিটার = ২h^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২h^২ = ৫০
বা, h^২ = ২৫
বা, h = ৫

সামান্তরিকের ভূমির দৈর্ঘ্য = ২ × ৫ মিটার = ১০ মিটার

প্রশ্ন: রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান: 

প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১০ × ৫ বর্গ একক = ৫০ বর্গ একক

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ১০ × ৫ বর্গ একক = ২৫ বর্গ একক

রঙিন অংশের ক্ষেত্রফল (৫০ - ২৫) বর্গ একক = ২৫ বর্গ একক

প্রশ্ন: একটি তারকে ২২ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিণত করা যায়। তারটিকে বৃত্তে পরিণত করা হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত হবে?

সমাধান:

এখানে,
তারের দৈর্ঘ্য = বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২২ × ৪ মিটার = ৮৮ মিটার

ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r মিটার

বৃত্তের পরিধি = তারের দৈর্ঘ্য
২πr = ৮৮
বা, πr = ৪৪
বা, (২২/৭)r = ৪৪
বা, r = (৪৪ × ৭)/২২
বা, r = ১৪ 

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ১৪ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার এবং প্রস্থ ৪ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪০ টাকা খরচ হলে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৮ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৪ মিটার
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (৮ + ৪) মিটার
= ২ × ১২ মিটার
= ২৪ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ৪০ টাকা
২৪ মিটারে খরচ হয় (২৪ × ৪০) টাকা = ৯৬০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার। এর কর্ণ দ্বারা গঠিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০ মিটার
বর্গক্ষেত্রটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০/৪ মিটার = ১০ মিটার

বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ১০√২ মিটার

কর্ণটি দ্বারা গঠিত বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল (১০√২)^২ বর্গমিটার
= ১০০ × ২ বর্গমিটার
= ২০০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১২ ও  ৮ সে.মি এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৪ সে.মি. হলে, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আমরা জানি,

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
= (১/২) × (১২ + ৮) × ৪ বর্গসে.মি.
= (১/২) × ২০ × ৪ বর্গসে.মি.
=৪০ বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ ২.১ মিটার। ৬০০ মিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ ২.১ মিটার
চাকার পরিধি  ২ × π × ২.১ মিটার
= ২ × (২২/৭) × ২.১ মিটার
= ২ × (২২/৭) × (২১/১০) মিটার
=৬৬/৫ মিটার
=১৩.২ মিটার

আমরা জানি,
চাকা প্রতি ঘুরায় তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

১৩.২ মিটার যায় ১ বারে
৬০০ মিটার যায় (৬০০/১৩.২) বারে
= ৪৫.৪৫ বার ≈ ৪৬ বার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে? 

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার = 


বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.

বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২^২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.