প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৫৪ থেকে যত কম, ৪৯৮ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৬৫৪ - ক = ক - ৪৯৮
⇒ ২ক = ৬৫৪ + ৪৯৮
⇒ ২ক = ১১৫২
⇒ ক = ১১৫২/২
∴ ক = ৫৭৬
∴ সংখ্যাটি = ৫৭৬

বিকল্প সমাধান:
সংখ্যাটি = (৬৫৪ + ৪৯৮)/২ = ৫৭৬

প্রশ্ন: একটি খাতা ও একটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৫ : ৭। বইয়ের মূল্য ৯১ টাকা হলে, খাতার মূল্য কত?

সমাধান:
বইয়ের মূল্য অনুপাতের = ৯১/৭ = ১৩ গুণ

তাহলে,
খাতার মূল্য হবে = ৫ × ১৩ = ৬৫ টাকা

প্রশ্ন: a² - 3a + 1 = 0 হলে, a⁴ + a^{- 4} এর মান কত?

সমাধান: 
a² - 3a + 1 = 0
⇒ a² + 1 = 3a
⇒ (a² + 1)/a = 3
⇒ a + (1/a) = 3

এখন,
a⁴ + a^{- 4} = a⁴ + (1/a⁴)
= (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)
= [{a + (1/a)}² - 2 ⋅ a ⋅ (1/a)]² - 2
= (3² - 2)² - 2
= 7² - 2
= 47

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৩ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক/২) + ৩ = ২ক/৩
⇒ (ক + ৬)/২ = ২ক/৩
⇒ ৩ক + ১৮ = ৪ক
∴ ক = ১৮

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ……… ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = (- 4)/2 = - 2
পদসংখ্যা, n = 10

∴ গুণোত্তর ধারার সমষ্টি S_n = {a(1 - rⁿ)}/(1 - r) [যেহেতু r < 1]
⇒ S₁₀ = {2(1 - (- 2)¹⁰)}/{1 - (- 2)}
= ( - 1023 × 2)/3 
= - 682

প্রশ্ন: ৭২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ২৪%?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৪% = ৭২
বা, ক × (২৪/১০০) = ৭২
বা, ক = ৭২ × (১০০/২৪)
∴ ক = ৩০০

∴ ৭২ সংখ্যাটি ৩০০ এর ২৪%।

প্রশ্ন: ১ মাইলে কত কিলোমিটার?

সমাধান:
১ মাইল = ১.৬০৯ কিলোমিটার
১ নটিক্যাল মাইল = ১.৮৫২ কিলোমিটার
১ মাইল = ১৭৬০ গজ
১ মাইল = ৫২৮০ ফুট

প্রশ্ন: নিচে ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সে. মি. এককে দেয়া আছে। কোন ক্ষেত্রে সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২

3² + 4² = 5² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
6² + 8² = 10² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
5² + 12² = 13² [যা সমকোণী ত্রিভুজ ]
2² + 4² ≠ 8² [যা সমকোণী ত্রিভুজ নয়]

∴অপশন ঘ এর বাহুগুলোর দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: রাকিবের বয়স সামির বয়সের দ্বিগুণ অপেক্ষা ৩ বছর কম। রাকিবের বয়স ৫৭ বছর হলে সামির বয়স কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সামির বয়স = ক বছর
∴ রাকিবের বয়স = (২ক - ৩) বছর

শর্তমতে,
২ক - ৩ = ৫৭ 
⇒ ২ক = ৬০
⇒ ক = ৬০/২
∴ ক = ৩০

∴ সামির বয়স ৩০ বছর।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a⁴ + a² - 20 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a⁴ + a² - 20
= a⁴ + 5a² - 4a² - 20
= a²(a² + 5) - 4(a² + 5)
= (a² + 5)(a² - 4)
= (a² + 5)(a² - 2²)
= (a² + 5)(a + 2)(a - 2)

প্রশ্ন: একটি পুতুল ৭৫ টাকায় কিনে ৮% লাভে বিক্রয় করা হয়। পুতুলটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
ধরি, ক্রয়মূল্য = ৭৫ টাকা

৮% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ৮ = ১০৮ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৮ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০৮/১০০ টাকা
∴ ক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১০৮ × ৭৫)/১০০ টাকা
= ৮১ টাকা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 7 } হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।
• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। 
দেওয়া আছে
A = {x ∈ N : 3 < x ≤ 7 }
A = {4, 5, 6, 7}
A সেটের উপাদান = 4টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 2⁴ = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1= 15 টি

প্রশ্ন: একটি নার্সারিতে ৪৮ জাতের আম গাছ আছে। ১/৪ অংশ জাতের ৬টি করে ও ৩/৪ অংশ জাতের ৪টি করে আম গাছ আছে। নার্সারিতে সর্বমোট কতটি আম গাছ আছে?

সমাধান:
৪৮ জাতের ১/৪ অংশ = ১২ জাত

অবশিষ্ট থাকে (৪৮ - ১২) = ৩৬ জাত

∴ মোট আম গাছের সংখ্যা = {(১২ × ৬) + (৩৬ × ৪) টি
=  ২১৬ টি

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি সৈন্যদলে যদি নতুন ১৩ জন সদস্য নিয়োগ দেয়া হতো, তবে তাদেরকে ২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা কত? 

সমাধান:
সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = (২০, ৪০, ৫০ ও ৬০ এর ল. সা. গু) - ১৩

সংখ্যাগুলোর  ল. সা. গু = ৬০০

∴ সৈন্যদলের সদস্য সংখ্যা = ৬০০ - ১৩ জন 
= ৫৮৭ জন

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8 সে.মি. ও 6 সে.মি. হলে এর পরিসীমার দ্ধিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামান্তরিকের পরিসীমা = 2 × সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি
= 2 × (8 + 6)
= 28 সে.মি.

∴ পরিসীমার দ্ধিগুণ = 28 × 2
= 56 সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি এক বর্গইঞ্চির সমান?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.

∴ ১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ × ২.৫৪) বর্গ সে.মি.
= ৬.৪৫১৬ বর্গ সে.মি.
= ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কাঁথা সেলাই করতে তমার লাগে ৩০ মিনিট এবং তরীর লাগে ২০ মিনিট। উভয়ে একত্রে কাঁথাটি কত মিনিটে সেলাই করতে পারবে?

সমাধান:
তমা ১ মিনিটে সেলাই করে = ১/৩০ অংশ
তরী ১ মিনিটে সেলাই করে = ১/২০ অংশ
তমা ও তরী একত্রে ১ মিনিটে সেলাই করে = (১/৩০) + (১/২০) অংশ
= (২ + ৩)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ

তমা ও তরী  ১/১২ অংশ সেলাই করে = ১ মিনিটে
∴ তমা ও তরী ১ বা সম্পূর্ণ অংশ সেলাই করে = (১২ × ১)/১ মিনিটে
= ১২ মিনিটে

প্রশ্ন: a³ - b³ = 91 এবং a - b = 1 হয়, তবে ab = কত?

সমাধান:
a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)
⇒ 91 = 1³ + 3ab ⋅ 1
⇒ 3ab = 91 - 1
⇒ ab = 90/3
∴ ab = 30

প্রশ্ন: কোন শ্রেণির ২৬ জন ছাত্রের গড় বয়স ১৩ বছর। যদি একজন শ্রেণি শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে বয়সের গড় এক বছর বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান:
২৬ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২৬ × ১৩) বছর
= ৩৩৮ বছর

আবার, একজন শ্রেণিশিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হলে তবে বয়সের গড় এক বছর বৃদ্ধি পায়।
(২৬ + ১) বা ২৭ জনের গড় বয়স (১৩ + ১) বা ১৪ বছর
∴ ২৭ জনের মোট বয়স = (২৭ × ১৪) বছর
= ৩৭৮ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (৩৭৮ - ৩৩৮) বছর = ৪০ বছর।

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৮০% গণিত এবং ৬০% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫০%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
গণিতে পাশ = n(M) = ৮০%
বাংলায় পাশ = n(B) = ৬০%
উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∩ B) = ৫০%

যে কোনো এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∪ B)

 n(M ∪ B) = n(M) + n(B) - n(M ∩ B) 
= ৮০% + ৬০% - ৫০%
= ১৪০% - ৫০%
= ৯০%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করল = ১০০% - ৯০%
= ১০%

প্রশ্ন: একটি ঘোড়ার গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের চাকা পেছনের চাকা অপেক্ষা ১৫ বার বেশি ঘুরবে? 

সমাধান: 
সামনের চাকা পেছনের চাকার চেয়ে ১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে ২ ও ৩ এর ল. সা. গু. এর সমান। 
∴ ২ ও ৩ এর ল. সা. গু. = ৬ 

১ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৬ মিটার 
∴ ১৫ বার বেশি ঘুরলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (৬ × ১৫) মিটার 
= ৯০ মিটার

প্রশ্ন: 3a - 7b + 10 = 0 এবং b - 2a - 3 = 0 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
3a - 7b + 10 = 0 ................. (1)
এবং b - 2a - 3 = 0
⇒ b = 2a + 3 ..................... (2)

(1) নং হতে,
3a - 7 × (2a + 3) + 10 = 0
⇒ 3a - 14a - 21 + 10 = 0
⇒ - 11a = 11
∴ a = - 1

প্রশ্ন: একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে নৌকার ধার বেয়ে ২ ঘণ্টায় ১৫ মাইল যায় এবং ৩ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে । প্রতি ঘন্টায় নৌকাটির গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
মোট দূরত্ব = ১৫ + ১৫ = ৩০ মাইল
মোট সময় = ৩ + ২ = ৫ ঘণ্টা

∴ ঘন্টায় গড় গতিবেগ = ৩০/৫ মাইল/ঘণ্টা
= ৬ মাইল/ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৫, ১০, ___, ২৬, ৩৭
অনুক্রমটির লুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
২^২ + ১ = ৫
৩^২ + ১ = ১০
৪^২ + ১ = ১৭
৫^২ + ১ = ২৬
৬^২ + ১ = ৩৭

প্রশ্ন: 5√3 সংখ্যাটি কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
• যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
• পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
• যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √2 = 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
• কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

∴ 5√3 একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি 5। অঙ্ক দুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যা হতে 9 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একক স্থানীয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = 5 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(5 - x) + x = 50 - 9x

অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + 5 - x = 9x + 5

প্রশ্নমতে,
9x + 5 = 50 - 9x - 9
⇒ 9x + 9x = 41 - 5
⇒ 18x = 36
∴ x = 2

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 50 - (9 × 2) = 32

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ১৪ মিটার, প্রস্থ ১১ মিটার। ঘরের চারপাশে ২ মিটার চওড়া ১টি বারান্দা আছে। বারান্দাসহ ঘরের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বারান্দাসহ ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৪ + (২ × ২) = ১৮ মিটার
বারান্দাসহ ঘরের প্রস্থ = ১১ + (২ × ২) = ১৫ মিটার
∴ বারান্দাসহ ঘরের ক্ষেত্রফল = ১৮ × ১৫ = ২৭০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: p + q + r = 5 এবং p² + q² + r² = 11 হলে pq + qr + rp এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
2(pq + qr + rp) = (p + q + r)² - (p² + q² + r²)
⇒ 2(pq + qr + rp) = 5² - 11
⇒ 2(pq + qr + rp) = 25 - 11
⇒ pq + qr + rp = 14/2
∴ pq + qr + rp = 7

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. ও ভূমি 16 সে.মি. হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 16 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 10 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a² - b²)
= (16/4) √(4 × 10² - 16²)
= 4 × √(400 - 256)
= 4 × √144
= 4  × 12
= 48 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ১ বিলিয়ন = কত কোটি?

সমাধান:
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ কোটি = ১ বিলিয়ন
১০০০ বিলিয়ন = ১ ট্রিলিয়ন
১০০০০০ কোটি বা, ১ লক্ষ কোটি = ১ ট্রিলিয়ন

প্রশ্ন: একটি পণ্যের নির্মাতা ও খুচরা বিক্রেতা উভয়ই ২০% লাভে বিক্রয় করে, ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২০% লাভে,
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০ টাকা
∴  নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২০/১০০ টাকা
∴  নির্মাণ খরচ ৩০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০/১০০) × ৩০০ টাকা
= ৩৬০ টাকা 

খুচরা বিক্রেতার ২০% লাভে,
ক্রয়মূল্য ৩৬০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২০/১০০) × ৩৬০ টাকা
= ৪৩২ টাকা

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% হার সুদে কত টাকা বিনিয়োগ করলে ৫ বছরে তা থেকে ৮৮০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
∴ আসল = (সুদ × ১০০)/(হার × সময়)
= (৮৮০ × ১০০)/(১০ × ৫) 
= ১৭৬০ টাকা

∴ বার্ষিক ১০% হার সুদে ১৭৬০ টাকা বিনিয়োগ করলে ৫ বছরে তা থেকে ৮৮০ টাকা সুদ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: log₁₀₀₀₀p = -1/4 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀₀₀₀p = -1/4
⇒ a = (10000)^-1/4
⇒ a = 10^{4 × (-1/4)}
⇒ a = 10^{- 1}
∴ a = 1/10