Math Master

প্রশ্ন: x = 2siny হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
siny এর রেঞ্জ = [-1, 1]
অতএব, siny এর সর্বোচ্চ মান 1

∴x এর সর্বোচ্চ মান = 2 × 1 = 2

প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 হলে, tanθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
0 ≤ θ ≤ π/3 হলে,
এখানে sinθ এর সর্বনিম্ন মান = sin0° = 0

অতএব, tanθ = sinθ/cosθ
= 0/cosθ
= 0

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 sin(90° - θ) হলে, tanθ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
 sinθ + cosθ = √2 sin(90° - θ)
⇒ sinθ + cosθ = √2 cosθ
⇒ (sinθ + cosθ)/ cosθ = √2 
⇒ (sinθ /cosθ ) + (cosθ/ cosθ) = √2 
⇒ tanθ + 1 = √2
⇒ tanθ = √2 - 1

প্রশ্ন: cotθ = 4/3 হলে, sinθ এর মান কত?

সমাধান:
cotθ = 4/3 

আমরা জানি,
cotθ = ভূমি / লম্ব 
ভূমি = 4, লম্ব = 3
অতিভুজ = √(ভূমি^২ + লম্ব^২)
= √(3² + 4²)
= √25
= 5

∴ sinθ = লম্ব/অতিভুজ = 3 / 5

প্রশ্ন: যদি tan⁴θ + tan²θ = 1, তবে cos⁴θ + cos²θ এর মান কত?

সমাধান:
tan⁴θ + tan²θ = 1
⇒ tan²θ (tan²θ + 1) = 1
⇒ (sec²θ - 1) sec²θ = 1 [sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ sec⁴θ - sec²θ = 1
⇒ (1/cos⁴θ) - (1/cos²θ) = 1
⇒ (1 - cos²θ) / cos⁴θ = 1
⇒ 1 - cos²θ = cos⁴θ
⇒ cos⁴θ + cos²θ = 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 tan31° tan59° এর মান কত?

সমাধান:
2 tan31° tan59°
= 2 tan31° tan(90 - 31)
= 2 tan31° cot31°
= 2 tan31° (1/tan31°)
= 2

 প্রশ্ন:
সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: sin3A = cos (A – 30°), যেখানে A একটি সূক্ষ্মকোণ, A এর মান কত?

সমাধান:
sin3A = cos (A – 30°)
⇒ cos(90° - 3A) = cos(A - 30°)
⇒ 90° - 3A = A - 30°
⇒ 4A = 120°
⇒ A = 30°

প্রশ্ন: একটি ১৮ মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে ৩০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটি h উচ্চতায় ভেঙ্গেছিল
                      
sin∠ABC = AC/BC
⇒ sin30° = h/(18 - h)
⇒ 1/2 = h/(18 - h)
⇒ 18 - h = 2h
⇒ 3h = 18
⇒ h = 6

অতএব, খুঁটিটি ৬ মিটার উচ্চতায় ভেঙ্গেছিল।

প্রশ্ন: একটি টাওয়ারের শীর্ষের সাথে  ভূতলস্থ কোন বিন্দুর  উন্নতি কোণ হল 30°। যদি টাওয়ারের উচ্চতা তিনগুণ করা হয়, তাহলে উন্নতি কোণ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা CD = h

ত্রিভুজ BCD এ, tan30 = CD/BC
⇒ tan30 = h/BC
⇒ 1/√3 = h/BC
⇒ BC = √3h

টাওয়ারের নতুন উচ্চতা AC = 3h। ধরি, উন্নতি কোণ θ
ত্রিভুজ ABC এ, tanθ = AC/BC
⇒ tanθ = 3h/√3h
⇒ tanθ = √3
⇒ tanθ = tan60°
⇒ θ = 60°