Math Master

প্রশ্ন: একটি স্টেডিয়ামের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হয়েছে এবং প্রস্থ ১০% কমানো হয়েছে। স্টেডিয়ামের ক্ষেত্রফলের শতকরা কী পরিবর্তন হয়েছে (স্টেডিয়ামটি ছিল আয়তাকার)?

সমাধান:
ধরি,
দৈর্ঘ্য = ১০০ একক
এবং প্রস্থ = ১০০ একক
তাহলে ক্ষেত্রফল = ১০০ × ১০০ = ১০০০০ বর্গ একক

২০% বৃদ্ধিতে, দৈর্ঘ্য = ১০০ + ২০ = ১২০ একক
১০% হ্রাসে প্রস্থ = ১০০ - ১০ = ৯০ একক

∴ পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = ১২০ × ৯০ = ১০৮০০ বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ১০৮০০ - ১০০০০ = ৮০০ বর্গ একক

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (৮০০/১০০০০) × ১০০ = ৮%

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্য নয় কোনটি?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২১ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ২১ × ৮
= ১৬৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 
PQ || SR, PQ = PR এবং∠PRQ = 55° হলে, ∠LRS এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ০.১৫ মি. এবং ২০ সে.মি. হলে, রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
এখানে
প্রথম কর্ণের দৈর্ঘ্য = .১৫ মি. = .১৫ × ১০০ = ১৫ সে. মি.
দ্বিতীয় কর্ণের দৈর্ঘ্য = ২০ সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(কর্ণদ্বয়ের গুণফল)
= (১/২)(১৫ × ২০) বর্গ সে.মি.
= (১/২)(৩০০) বর্গ সে.মি.
= ১৫০ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়?

সমাধান:
• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
• বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
• কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না। সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, ববর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (১/২) × ৮ × ৯
= ৩৬ বর্গমিটার

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬ মিটার
= ৬ মিটার

প্রশ্ন:

a° এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [একান্তর কোণ বলে]
এবং, a° = 2b° [একান্তর কোণ বলে]
⇒ a° = 2 × 3c° = 6c°

∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
⇒ a° + a° + (a°/2) = 180°
⇒ (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
⇒ 5a°/2 = 180°
⇒ 5a° = 360°
∴ a° = 72°

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ সে.মি.। এর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ১২ সে.মি. ও ৬ সে.মি.। সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
⇒ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (২ × ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল)/ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল
= (২ × ৭২)/(১২ + ৬)
= ১৪৪/১৮
= ৮ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি হবে-

সমাধান:

XY সরলরেখার সাথে OZ রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়ে ∠XOZ ও ∠YOZ দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়। 
∠XOZ + ∠YOZ = ১৮০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬১ বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬১ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬১ মিটার
= ১৯ মিটার 

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
= (১৯ × ৪) মিটার
= ৭৬ মিটার

প্রশ্ন: ৫৯° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৫৯° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৫৯°
= ৩১°

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা-

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণ ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8

ক্ষুদ্রতম কোণ = (1/8) × 360° = 45°
বৃহত্তম কোণ = (3/8) × 360° = 135°
∴ বৃহত্তম কোণ ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 135° - 45°
= 90°

প্রশ্ন: একটি সরল রেখার উপর একটি লম্ব অঙ্কন করলে সর্বোচ্চ কয়টি সমকোণ পাওয়া সম্ভব?

সমাধান:

একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২টি সমকোণ পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: ABCD রম্বসের কর্ণ AC = 24 সে.মি. এবং কর্ণ BD = 10 সে.মি. হলে, রম্বসের পরিসীমা কত?

সমাধান:

ধরি,
AC ও BD পরস্পর O বিন্দুতে মিলিত হয়।
আমরা জানি,
কর্ণদ্বয় পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AOD সমকোণী ত্রিভুজ

∴ AD = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13
∴ রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সে.মি.
∴ রম্বসের পরিসীমা = 4 × 13 = 52 সে.মি.

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২১০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি পুকুরের ক্ষেত্রফল ১২৯৬ বর্গমিটার। পুকুরের চারদিকে বাঁশ দিয়ে বেড়া দেওয়া হয়েছে। প্রতি মিটার বেড়া দিতে ২.৫ টাকা খরচ হলে, সম্পূর্ণ অংশ বেড়া দিতে মোত কত টাকা খরচ হয়েছে?

সমাধান:
পুকুরের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √১২৯৬ মিটার
= ৩৬ মিটার

এখন,
পুকুরটির পরিসীমাই হবে পুকুরটির বেড়ার দৈর্ঘ্য।
∴ পুকুরটির পরিসীমা = চার দিকের বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য
= (৪ × ৩৬) মিটার
= ১৪৪ মিটার

তাহলে, মোট খরচ = ১৪৪ × ২.৫ = ৩৬০ টাকা 

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান বা ১৮০° হলে, একটি কোণকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ধরি,
কোণটির মান = x°
তাহলে, কোণটির সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x°

প্রশ্নমতে,
x° = (১৮০° - x°)/২
বা, ২x° = ১৮০° - x°
বা, ২x° + x° = ১৮০°
বা, ৩x° = ১৮০°
বা, x° = ১৮০°/৩
∴ x° = ৬০°