Math Master

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² + ab + b² =3 হলে, a² - ab + b² =? 

সমাধান: 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + a²b² + (b²)² = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒  (a² +ab + b²) (a² - ab + b²) = 3
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3
∴ a² - ab + b² = 1

প্রশ্ন: a²b + ab² = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)² =?

সমাধান: 
2ab = 20
⇒ ab = 20/2
⇒ ab = 10

a²b + ab² = 70
⇒ ab(a + b) = 70
⇒ 10(a + b) = 70
∴ a + b = 7

(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 7² - 4 × 10
= 49 - 40
= 9

প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 4 হলে, x + y =? 

সমাধান:
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 3² + (4 × 4)
= 9 + 16
= 25

∴ x + y = ±5

 প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর উৎপাদক a - 1? 

সমাধান:
a = 1 হলে,
a² + 2a -4 
= 12 + 2 × 1 - 4
= 1 + 2 - 4
= 3 - 4
= -1 ≠ 0

a³ - 9
= 1³ - 9
= 1- 9
= -8 ≠ 0

a³ - a² + (a + 1)3
= 1³ - 1² + 2³
= 1 - 1 + 8
= 8 ≠ 0

a³ - 9 + (a + 1)³
= 1³ - 9 + 2³
= 1 - 9 + 8
= 9 - 9
= 0

অতএব, a³ - 9 + (a + 1)³ এর উৎপাদক a - 1

প্রশ্ন: x² + y² = 6 এবং x - 1 = √2 হলে, y - 1 এর মান কত?

সমাধান:
x - 1 = √2
⇒ x = 1 + √2

x² + y² = 6
⇒ (1 + √2)² + y² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + y² = 6
⇒ 3 + 2√2 + y² = 6
⇒ y² = 3 - 2√2
⇒ y² = 2 -  2√2 + 1
⇒ y² = (√2)² -  2√2 + 1²
⇒ y² = (√2  - 1)²
⇒ y = √2 - 1
∴ y + 1 = √2

প্রশ্ন: যদি a/b = 3/4 ও b/c = 5/6 হলে, (a + b)/(b + c) =?

সমাধান: 
a/b = 3/4
⇒ (a/b) + 1 = (3/4) + 1
∴ (a + b)/b = 7/4

b/c = 5/6
⇒ c/b = 6/5
⇒ c/b + 1 =  6/5 + 1
∴ (b + c)/b = 11/5

{(a + b)/b}/{(b + c)/b} = (7/4)/(11/5)
⇒ (a + b)/(b + c) = (7 × 5)/(4 × 11)
∴ (a + b)/(b + c) = 35/44

প্রশ্ন:


সমাধান: 

প্রশ্ন:  


সমাধান:

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: x - √4 = √5 হলে, x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
x - √4 = √5
⇒ x = √5 + √4 

1/x = 1/(√5 + √4)
= (√5 - √4)/(√5 - √4) (√5 + √4)
= (√5 - √4)/(√5)2 - (√4)2
= (√5 - √4)/(5 - 4)
= (√5 - √4)/1
= (√5 - √4)

x + 1/x = √5+ √4  + √5 - √4
= 2√5

x³ + (1/x³)
= (x + 1/x)³ - 3.x.1/x(x + 1/x)
= (2√5)³ - 3.2√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 5 থেকে কত বিয়োগ করলে তা (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান:

অতএব, 6x² - 7x + 5 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে 4 অবশিষ্ট থাকে। 
∴ 6x² - 7x + 5 থেকে 4 বিয়োগ করলে তা (x - 1) দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 2x⁴ + 16x এর একটি উৎপাদক? 

সমাধান: 
2x⁴ + 16x
= 2x(x³ + 8)
= 2x(x³ + 2³)
= 2x (x + 2) (x² - 2x + 4)

প্রশ্ন: x² + y² = 50, x - y = 6 হলে, (x/y) + (y/x) =? 

সমাধান: 
x² + y² = 50

x - y = 6
⇒ (x - y)² = 62
⇒ x² - 2xy + y² = 36
⇒  50 - 2xy = 36
⇒  2xy = 50 - 36 
⇒  2xy = 14
∴ xy = 7 

(x/y) + (y/x)
= (x² + y²)/xy
= 50/7

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3x² - x - 14 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
3x² - x - 14
= 3x² - 7x + 6x - 14
= x(3x - 7) + 2(3x - 7)
= (3x - 7) (x + 2)

প্রশ্ন:  (x - 3) ও (5x + 15) এর গুণফল কত? 

সমাধান: 
 (x - 3) (5x + 15)
= (x - 3) 5(x + 3)
= 5 (x² - 9)
= 5x² - 45

প্রশ্ন: a = (a + 1)/a হলে, a³ - (1/a³) এর মান কত? 

সমাধান: 
a = (a + 1)/a
⇒ a = 1 + (1/a)
⇒ a - (1/a) = 1

a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3.a.1/a(a - 1/a)
= 1³ + 3.1
= 1 + 3
= 4

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 9 + 12x + ax² একটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
9 + 12x + ax²
= 3² + 2.3.(2x) + (2x)² + ax² - (2x)²
= (3 + 2x)² + ax² - 4x²

অতএব, 9 + 12x + ax² একটি পূর্ণবর্গ হবে যদি 
ax² - 4x² = 0
⇒ ax² = 4x²
∴ a = 4