Math Master

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৩৩৭৫ ঘনসে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক একক হলে এর আয়তন ক^৩ ঘনএকক

শর্তমতে,
ক^৩ = ৩৩৭৫
∴ ক = ১৫

ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য ১৫ সে.মি.
∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে ১৫√৩ সে.মি.

প্রশ্ন: ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50² = 2500
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × r²
= 3.14 × 25² [r = 50/2 = 25 cm]
= 1962.5

∴ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল = 2500 - 1962.5
= 537.5 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: 12 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 23 সে.মি.। ইহার আয়তন কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × (ভূমির ক্ষেত্রফল) × উচ্চতা
= (1/3) × 12 × 12 × 23 ঘন সে.মি.
= 1104 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৩৭ বর্গ সে.মি. হলে, রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ২ × রম্বসের ক্ষেত্রফল
= (২ × ৩৭) বর্গ সে.মি.
= ৭৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সাবানের দৈর্ঘ্য ৫ সে.মি. প্রস্থ ৪ সে.মি. এবং উচ্চতা ২ সে.মি. হলে ৬০ সে.মি. দৈর্ঘ্য, ৫০ সে.মি. প্রস্থ এবং ৪০ সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

সমাধান:
একটি সাবানের আয়তন = (৫ × ৪ × ২) ঘন সে.মি.
= ৪০ ঘন সে.মি.

একটি বাক্সের আয়তন = (৬০ × ৫০ × ৪০) ঘন সে.মি.
= ১২০০০০ ঘন সে.মি.

∴ একটি বাক্সে সর্বমোট সাবান ধরবে = বাক্সের আয়তন/সাবানের আয়তন
= ১২০০০০/৪০ টি
= ৩০০০ টি

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার এবং প্রস্থ ৮ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪১ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ ৮ মিটার

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ × (১৩ + ৮) মিটার
= ২ × ২১ মিটার
= ৪২ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় ৪১ টাকা
∴ ৪২ মিটারে খরচ হয় (৪২ × ৪১) টাকা
= ১৭২২ টাকা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 4 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4/2 সে.মি. = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr²θ)/360°
= (π × 2² × 60°)/360°
= 2π/3

প্রশ্ন: 3 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
গোলকের ব্যাসার্ধ = r

আমরা জানি,
গোলকের আয়তন = (4/3)πr³ ঘন একক
= (4/3) × π × (3)³ cm³
= 36π cm³

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 10 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 10 × 10 × sin30°
= (1/2) × 10 × 10 × (1/2)
= 25 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন: একটি ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে, নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
ঘনকের দৈর্ঘ্য a হলে,
কর্ণ = √3a
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6a²
আয়তন = a³

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস ৩০ মি. এবং বাগানের মাঝখানে ১২ মি. দৈর্ঘ্যের একটি লম্বা দড়ির সাহায্যে একটি গরু বাঁধা আছে। গরুটি কতটুকু বাগানের ঘাস খেতে পারবে না?

সমাধান:
বৃত্তাকার বাগানের ব্যাসার্ধ = ৩০/২ = ১৫ মি.
বৃত্তের সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল = πr^২ = π(১৫)^২ = ২২৫π বর্গ মি.
গরুর দড়ির দৈর্ঘ্য = ১২ মি.
গরুটি যে ক্ষেত্রফল ঘাস খেতে পারবে = π(১২)^২ = ১৪৪π বর্গ মি.
ঘাস খেতে পারবে না এমন ক্ষেত্রফল = সম্পূর্ণ বাগানের ক্ষেত্রফল - গরুর ঘাস খাওয়ার ক্ষেত্রফল
= ২২৫π - ১৪৪π
= ৮১π বর্গ মি.

প্রশ্ন: 3 মিটার, 4 মিটার ও 5 মিটার বাহু বিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলে নতুন ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
নতুন ঘনকের আয়তন = ঘনক তিনটির আয়তনের সমষ্টি
= 3³ + 4³ + 5³
= 27 + 64 + 125
= 216 ঘন মিটার

নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = ³√216
= (6³)^1/3
= 6 মিটার
∴ সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 6 × 6²
= 216 ঘন মিটার

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডার ও একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ এবং আয়তন সমান। সিলিন্ডারের উচ্চতা ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতার অনুপাত কত? 
 
সমাধান: 
ধরি, 
সিলিন্ডার ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ = r 
সিলিন্ডারের উচ্চতা = h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা = h₂

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h₁
সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h₂

প্রশ্নমতে, 
πr²h₁ = (1/3)πr²h₂
বা, h₁ = h₂/3
বা, h₁/h₂ = 1/3
বা, h₁ : h₂ = 1 : 3

প্রশ্ন: অর্ধ গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 27π বর্গমিটার হলে, ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
অর্ধ গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 3πr²
3πr² = 27π
⇒ r² = 9
⇒ r = 3
সুতরাং ব্যাসার্ধ 3 মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৪ : ১ । উহার পরিসীমা ৫০ মিটার হলে আয়তাকার ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
ধরি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক

আমরা জানি,
আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ (৪ক + ক) মিটার
= ২ × ৫ক মিটার
= ১০ক মিটার

প্রশ্নমতে,
১০ক = ৫০
∴ ক = ৫ মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ক = ৫ মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৪ক = ৪ × ৫ = ২০ মিটার