নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: a(b - a) = b² হলে, a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
a(b - a) = b²
⇒ ab - a² = b² 
∴ a² + b² = ab 

a³ + b³ 
= (a + b) (a² - ab + b²)
= (a + b) (ab - ab)
= (a + b) . 0
= 0

প্রশ্ন: 4x + 4 > 16 হলে- 

সমাধান: 
4x + 4 > 16
⇒ 4x > 16 - 4
⇒ 4x > 12 
∴ x > 3 

প্রশ্ন: a²b + ab² = 70, 2ab = 20 হলে, (a - b)² =?

সমাধান: 
2ab = 20
⇒ ab = 20/2
⇒ ab = 10

a²b + ab² = 70
⇒ ab(a + b) = 70
⇒ 10(a + b) = 70
∴ a + b = 7

(a - b)² = (a + b)² - 4ab
= 7² - 4 × 10
= 49 - 40
= 9

প্রশ্ন:

সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
।2x - 5। < 3

(2x - 5) ধনাত্মক হলে, 
2x - 5 < 3
⇒ 2x < 5 + 3
⇒ 2x < 8
∴ x < 4 

(2x - 5) ঋণাত্মক হলে, 
-(2x - 5) < 3
⇒ 2x - 5 > - 3
⇒ 2x > 5 - 3
⇒ 2x > 2
⇒ x > 1

অসমতাটির সমাধান 1 < x < 4

প্রশ্ন: x - y = 7, xy = 8 হলে, x + y =? 

সমাধান:
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 7² + (4 × 8)
= 49 + 32
= 81

∴ x + y = ±9

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি abx² + acx³ + adx⁴ এর উৎপাদক? 

সমাধান: 
abx² + acx³ + adx⁴ 
= ax²(b + cx + dx²)

প্রশ্ন: 4(x + 2) > 3x + 8 হলে, অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
4(x + 2) > 3x + 8
⇒ 4x + 8 > 3x + 8
⇒ 4x - 3x > 8 - 8 
∴ x > 0

প্রশ্ন: xa² - 144xb² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
xa² - 144xb²
= x (a² - 144b²)
= x {a² - (12b)²}
= x (a + 12b) (a - 12b)

প্রশ্ন: x = √3 + √2 হলে, x + (1/x) =?

সমাধান: 

প্রশ্ন: (x - 1) (x + 2) = (x + 4) (x - 2) হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
(x - 1) (x + 2) = (x + 4) (x - 2)
⇒ x² - x + 2x - 2 = x² + 4x - 2x - 8
⇒ x - 2 = 2x - 8
⇒ 2x - x = 8 - 2
∴ x = 6

প্রশ্ন: x² + y² = 6 এবং x - 1 = √2 হলে, y + √2 এর মান কত?

সমাধান:
x - 1 = √2
⇒ x = 1 + √2

x² + y² = 6
⇒ (1 + √2)² + y² = 6
⇒ 1 +  2√2 + 2 + y² = 6
⇒ 3 + 2√2 + y² = 6
⇒ y² = 3 - 2√2
⇒ y² = 1 -  2√2 + 2
⇒ y² = 1 -  2√2 + (√2)²
⇒ y² = (1 - √2)²
⇒ y = 1 - √2
∴ y + √2 = 1

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে কয়জন ছাত্রী আছে?

সমাধান: 
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক 

একটি বালিকা বিদ্যালয়ের একটি শ্রেণিকক্ষে প্রতিবেঞ্চে ৬ জন করে ছাত্রী বসালে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রী সংখ্যা = (ক - ২) × ৬ জন 

প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্রী বসালে ৬ জন ছাত্রীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রী সংখ্যা = ৫ক + ৬ 

প্রশ্নমতে, 
৫ক + ৬ = (ক - ২) × ৬
⇒ ৫ক + ৬ = ৬ক - ১২
⇒ ৬ক - ৫ক = ১২ + ৬
∴ ক = ১৮ 

অতএব, ছাত্রী সংখ্যা = (৫ × ১৮) + ৬
= ৯০ + ৬ 
= ৯৬ জন

প্রশ্ন: 3a³ + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি
f(a) = 3a³ + 2a + 5
f( - 1) = 3( - 1)3 + 2( - 1) + 5
= 3( - 1)  - 2 + 5
= - 3 - 2 + 5
= - 5 + 5
= 0

(a + 1) হলো 3a³ + 2a + 5 এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের অন্তর ১; লব থেকে ২ বিয়োগ ও হরের সাথে ২ যোগ  করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যাবে তা  ১/৬ এর সমান। ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, লব ক
হর ক + ১

প্রশ্নমতে, 
(ক - ২)/(ক + ১ + ২) = ১/৬
⇒ (ক - ২)/(ক + ৩) = ১/৬
⇒ ৬(ক - ২) = ক + ৩
⇒ ৬ক - ১২ = ক + ৩ 
⇒ ৫ক = ১৫
∴ ক = ৩

লব ৩
হর = ৩ + ১
= ৪
ভগ্নাংশটি ৩/৪

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন 

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা 
= ৬০ টাকা  

প্রশ্নমতে, 
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা 
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০ 
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮ 

ডেকের যাত্রী ৩৮ জন  

প্রশ্ন: p² - 3p + 1 = 0 হলে, p³ + (1/p³) এর মান কত? 

সমাধান: 
 p² - 3p + 1 = 0
⇒ p² + 1 = 3p
⇒ (p² + 1)/p = 3p/p
⇒ p + (1/p) = 3

p³ + (1/p³)
= (p + 1/p)³ - 3.p.1/p(p + 1/p)
= 3³ - 3.3
= 27 - 9
= 18 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: x + y - z = 0 হলে, x³ + y³ - z³ + 3xyz এর মান কত? 

সমাধান: 
x + y - z = 0
⇒ x + y = z

x³ + y³ - z³ + 3xyz
= (x + y)³ - 3xy(x + y) - z³ + 3xyz
= z³ - 3xyz - z³ + 3xyz
= 0

প্রশ্ন: 1/x + 1/y = 6 এবং (1/x²) - (1/y²) = 18 হলে, (1/x) - (1/y) = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/x + 1/y = 6
এবং (1/x²) - (1/y²) = 18

এখন,
(1/x²) - (1/y²) = 18 
⇒ (1/x + 1/y)(1/x - 1/y) = 18
⇒ 1/x - 1/y = 18/6  [ 1/x + 1/y = 6 ]
∴ 1/x - 1/y = 3

প্রশ্ন: a⁴ + a²b² + b⁴ = 3, a² - ab + b² = 1 হলে, a² + ab + b² =? 

সমাধান: 
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒ (a²)² + a²b² + (b²)² = 3
⇒ (a²)² + 2a²b² + (b²)² - a²b² = 3
⇒ (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒  (a² +ab + b²) (a² - ab + b²) = 3
⇒ 1(a² + ab + b²) = 3
∴ a² + ab + b² = 3

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গুণফল ২৮ এবং ভাগফল ৭ হলে, সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

xy = ২৮
x/y = ৭

সমীকরণ দুটি গুণ করে পাই,
xy × (x/y) = ২৮ × ৭
⇒ x² = ১৯৬
∴ x = ১৪

বড় সংখ্যাটি ১৪
ছোট সংখ্যাটি = ২৮/১৪
= ২

∴ সংখ্যা দুটির যোগফল = ১৪ + ২
= ১৬

প্রশ্ন: 3 ≤ x ≤ 7 কে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
উভয়পক্ষ হতে,  (3 + 7)/2 বা 5 বিয়োগ করে পাই, 
3 - 5 ≤ x - 5 ≤ 7 - 5
⇒ - 2 ≤ x - 5 ≤ 2
∴ ।x - 5। ≤ 2

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: 2x = 5 - y হলে, 6x + 3y =?

সমাধান:
2x = 5 - y
⇒ 2x + y = 5

6x + 3y 
= 3 (2x + y)
= 3 × 5
= 15

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 9 + 12x + ax² একটি পূর্ণবর্গ হবে? 

সমাধান: 
9 + 12x + ax²
= 3² + 2.3.(2x) + (2x)² + ax² - (2x)²
= (3 + 2x)² + ax² - 4x²


অতএব, 9 + 12x + ax² একটি পূর্ণবর্গ হবে যদি 
ax² - 4x² = 0
⇒ ax² = 4x²
∴ a = 4

প্রশ্ন: x² + y² = 34, x - y = 2 হলে, (x/y) + (y/x) =? 

সমাধান: 
x² + y² = 34

x - y = 2
⇒ (x - y)² = 2²
⇒ x² - 2xy + y² = 4
⇒  34 - 2xy = 4
⇒  2xy = 34 - 4
⇒  2xy = 30
∴ xy = 15 

(x/y) + (y/x)
= (x² + y²)/xy
= 34/15

প্রশ্ন: 2(p² - 9) + 9p = 0 হলে, p এর মান কত? 

সমাধান:
2(p² - 9) + 9p = 0
⇒ 2p² - 18 + 9p = 0
⇒ 2p² + 9p - 18 = 0
⇒ 2p² + 12p - 3p - 18 = 0
⇒ 2p(p + 6) - 3(p + 6) = 0
⇒ (p + 6) (2p - 3) = 0

p + 6 = 0
⇒ p = - 6

2p - 3 = 0
⇒ p = 3/2

প্রশ্ন: a = 5 হলে, 1 + 12a + 6a² + a³ এর মান কত? 

সমাধান: 
1 + 12a + 6a² + a³
= a³ + 6a² + 12a + 1
= a³ + 3.a².2 + 3.a.2² + 2³ - 2³ + 1
= (a + 2)³ - 8 + 1 
= 7³ - 7 
= 343 - 7
= 336

প্রশ্ন: x² - 23x + 132 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 23x + 132 
= x² - 11x -12x + 132
= x (x - 11) -12 (x - 11)
= (x - 11) (x - 12)

প্রশ্ন: a² = a + 1 হলে, a³ - (1/a³) এর মান কত? 

সমাধান: 
a² = a + 1
⇒ a = 1 + 1/a
⇒ a - (1/a) = 1

a³ - (1/a³)
= {a - (1/a)}³ + 3.a.1/a(a - 1/a)
= 1³ + 3.1
= 1 + 3
= 4

প্রশ্ন: x - y = 3, xy = 10 হলে, x² + y² এর মান কত? 

সমাধান: 
x² + y² 
= (x - y)² + 2xy 
= 3² + (2 × 10)
= 9 + 20
= 29

প্রশ্ন: x³ - 2x², x² - 4, xy - 2y এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান:
x³ - 2x² 
= x² (x - 2)

x² - 4
= x² - 2²
= (x + 2) (x - 2)

xy - 2y
= y (x - 2)

∴  x³ - 2x², x² - 4, xy - 2y এর গ.সা.গু = x - 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 4 হয়, তবে a + (1/a) এর মান কত? 

সমাধান:
{a + (1/a)}²
= {a - (1/a)}² + 4.a.1/a
= 4² + 4
= 16 + 4 
= 20

a + (1/a) = √20
= √(2√5)²
= 2√5

প্রশ্ন: 4x² + (1/x²) = 2 হলে, (2x + 1/x)² এর মান কত? 

সমাধান: 
4x²+ (1/x²) = 2
⇒ (2x)² + (1/x²) = 2
⇒ (2x + 1/x)² - 4 = 2
⇒ (2x + 1/x)² = 6

প্রশ্ন: m + n = 5 এবং 3n = 6 হলে, m এর মান কত? 

সমাধান: 
3n = 6
⇒ n = 2

m + 2 = 5
⇒ m = 5 - 2
∴ m = 3

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে ৭ যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২ হয় এবং হর থেকে ২ বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান ১ হয় । ভগ্নাংশটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, ভগ্নাংশটি x/y 

(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
∴ x - 2y = -7

x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
∴ x - y = -2

x - 2y - x + y = -7 + 2
⇒ - y = - 5
∴ y = 5

x - 5 = - 2
⇒ x = -2 + 5
∴ x = 3

ভগ্নাংশটি = 3/5

প্রশ্ন: x² - 4x - 1 = 0 হলে, x² + (1/x²) + 3x - (3/x) =?

সমাধান: 
x² - 4x - 1 = 0
⇒ x² - 1 = 4x 
⇒ (x² - 1)/x = 4x/x
∴ x - (1/x) = 4

x² + (1/x²) + 3x - (3/x) 
= (x - 1/x)² + 2.x.1/x + 3(x - 1/x)
= 4² + 2 + 3 × 4
= 16 + 2 + 12
= 30 

প্রশ্ন: যদি x + y = 9 হয়, তবে x³ + y³ + 27xy এর মান কত?

সমাধান:
 x³ + y³ + 27xy
= (x + y)³ - 3xy (x + y) + 27xy 
= 9³ - 27xy + 27xy 
= 9³
= 729 

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b - 1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ হলো- 

সমাধান: 
a² + 2ab - 2b - 1
= a² - 1² + 2ab - 2b
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

প্রশ্ন: । 3 - x । < 7 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
3 - x < 7
⇒ 3 - 7 < x
⇒ - 4 < x
∴ x > - 4

-(3 - x) < 7
⇒ 3 - x > - 7
⇒ 3 + 7 > x
⇒ 10 > x
∴ x < 10 

। 3 - x । < 7 এর সমাধান - 4 < x < 10 

প্রশ্ন: পুত্রের বয়স মায়ের বয়সের এক তৃতীয়াংশ। পিতা মায়ের চেয়ে ৬ বছরের বড়। তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব ৯০ বছর। পুত্রের বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন। 

সমাধান: 
ধরি, মায়ের বয়স 3x বছর 
পুত্রের বয়স x বছর 
পিতার বয়স 3x + 6 বছর 

প্রশ্নমতে, 
3x + x + 3x + 6 ≤ 90 
⇒ 7x + 6 ≤ 90 
⇒ 7x ≤ 90 - 6
⇒ 7x ≤ 84
⇒ x ≤ 84/7
∴ x ≤ 12

অতএব, পুত্রের বয়স ≤ 12 বছর।