শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৫ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪০ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৪ বছর। বালকের বয়স কত? 

সমাধান: 
৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের মোট বয়স = (৩৫ × ১৫) বছর 
= ৫২৫ বছর 
∴ ১৫ জনের বয়সের সমষ্টি = ৫২৫ বছর 

আবার, 
পুরুষদের মোট বয়স = (৪০ × ৬) বছর 
= ২৪০ বছর 
এবং স্ত্রীলোকদের মোট বয়স = (৩৪ × ৮) বছর 
= ২৭২ বছর 

∴ স্ত্রীলোক ও পুরুষদের মোট বয়সের সমষ্টি = (২৪০ + ২৭২) বছর 
= ৫১২ বছর 

∴ বালকের বয়স = (১৫ জনের বয়সের সমষ্টি - ৮ জন স্ত্রীলোক ও ৬ পুরুষের বয়সের সমষ্টি) 
= (৫২৫ - ৫১২) বছর 
= ১৩ বছর।

প্রশ্ন: দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একাকী কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একাকী কাজটি কত দিনে করতে পারবে? 

সমাধান: 
একত্রে ৮ দিনে করতে পারে কাজটির = ১ অংশ 
∴ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৮ অংশ, 

আবার, 
প্রথম ব্যক্তি ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ 
∴ ২য় ব্যক্তি ১ দিনে করে = (১/৮ - ১/১২) অংশ 
= (৩- ২)/২৪ অংশ 
= ১/২৪ অংশ 

এখন, 
২য় ব্যক্তি ১/২৪ অংশ কাজ করে = ১ দিনে 
২য় ব্যক্তি ১ অংশ (সম্পুর্ন) কাজ করে = ১ × (২৪/১) দিনে 
= ২৪ দিনে।

প্রশ্ন: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কোনটি? 

সমাধান: 
০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের অর্থবোধক বৃহত্তম সংখ্যা = ৩২১০ 

আবার, 
০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের অর্থবোধক ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩ 

∴ বিয়োগফল = (৩২১০ - ১০২৩) 
= ২১৮৭ ।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৭। সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২ 
= (৩৭ - ১)/২ 
= ৩৬/২ 
= ১৮ 

আবার, 
বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২ 
= (৩৭ + ১)/২ 
= ৩৮/২ 
= ১৯ 

∴ সংখ্যা দুটি = ১৮, ১৯ ।

প্রশ্ন: স্রোতের প্রতিকূলে যেতে যে সময় লাগে, অনুকূলে যেতে তার অর্ধেক সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ১২ ঘণ্টা সময় লাগে তাহলে স্রোতের অনুকূলে যেতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = x ঘণ্টা 
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ২x ঘণ্টা 

প্রশ্নমতে, 
x + ২x = ১২ 
বা, ৩x = ১২ 
বা, x = ১২/৩ 
∴ x = ৪ 

∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগবে = ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৪০ জন ছাত্রের ৩০ দিনের খাবার আছে। ৫ দিন পর আরও ১০ জন ছাত্র আসলে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কত দিন চলবে? 

সমাধান: 
অবশিষ্ট দিন = (৩০ - ৫) দিন 
= ২৫ দিন 
মোট লোক = (৪০ + ১০) জন 
= ৫০ জন 

৪০ জন ছাত্রের খাবার আছে = ২৫ দিনের 
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৪০ × ২৫) দিনের 
∴ ৫০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৪০ × ২৫)/৫০ দিনের 
= ২০ দিনের 

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ২০ দিন চলবে।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৫০ পর্যন্ত বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ ও ৪৭। 
∴ বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = (২ + ৪৭)/২  
= ২৪.৫ ।

প্রশ্ন: x জন লোক একটি কাজ 8 দিনে করতে পারে। 'x + 4' জন লোক উক্ত কাজ 6 দিনে করতে পারে। x এর মান কত? 

সমাধান: 
x জন লোক একটি কাজ করতে পারে = 8 দিনে 
∴ 1 জন লোক একটি কাজ করতে পারে = 8x দিনে 

আবার, 
(x + 4) জন লোক একটি কাজ করতে পারে = 6 দিনে 
∴ 1 জন লোক একটি কাজ করতে পারে = 6 (x + 4) দিনে 

শর্তমতে, 
8x = 6 (x + 4) 
বা, 8x = 6x + 24 
বা, 8x - 6x = 24 
বা, 2x = 24 
বা, x = 24/2 
∴ x = 12

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি ৭৪ বছর এবং তাদের বয়সের অনুপাত ১০ বছর পূর্বে ছিল ৭ : ২ । ১০ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত কত হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
পিতার বর্তমান বয়স = x বছর এবং 
পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭৪ - x) বছর। 

∴ ১০ বছর পূর্বে পিতার বর্তমান বয়স = (x - ১০) বছর এবং 
১০ বছর পূর্বে পুত্রের বর্তমান বয়স (৭৪ - x - ১০) বছর। 

প্রশ্নমতে, 
(x - ১০) : (৭৪ - x - ১০) = ৭ : ২ 
⇒ (x - ১০)/(৬৪ - x) = ৭/২ 
⇒ ২x - ২০ = ৪৪৮ - ৭x 
⇒ ৭x + ২x = ৪৪৮ + ২০ 
⇒ ৯x = ৪৬৮ 
⇒ x = ৪৬৮/৯ 
∴ x = ৫২ 
∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৫২ বছর 
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স = (৭৪ - x) বছর 
= (৭৪ - ৫২) বছর 
= ২২ বছর 

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে- 
(x + ১০) : {(৭৪ - x) + ১০} 
= (৫২ + ১০) : (২২ + ১০) 
= ৬২ : ৩২ 
= ৩১ : ১৬ ।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? 

সমাধান: 
⇒ যে সকল সংখ্যার গুণনীয়ক কেবল ১ এবং ঐ সংখ্যা তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
⇒ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। 
যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭ । 

আবার, 
⇒ ২০০ থেকে ৩০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হচ্ছে: ২১১, ২২৩, ২২৭, ২২৯, ২৩৩, ২৩৯, ২৪১, ২৫১, ২৫৭, ২৬৩ ২৬৯, ২৭১, ২৭৭, ২৮১, ২৮৩ ও ২৯৩ । 
সুতরাং, ২৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক নয়। 
⇒ ২৫৩ = ১১ × ২৩ ।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ ।

প্রশ্ন: পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৪ গুণ। ৬ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি ৬২ বছর হলে পিতার বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
পুত্রের বর্তমান বয়স = ক বছর এবং 
পিতার বর্তমান বয়স = ৪ক বছর 

আবার, 
৬ বছর পরে পুত্রের বয়স = (ক + ৬) বছর এবং 
৬ বছর পরে পিতার বয়স = (৪ক + ৬) বছর 

শর্তমতে, 
ক + ৬ + ৪ক + ৬ = ৬২ 
⇒ ৫ক + ১২ = ৬২ 
⇒ ৫ক = ৫০ 
∴ ক = ১০ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (৪ × ১০) বছর 
= ৪০ বছর। 

প্রশ্ন: পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা ৪১ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০ 
∴ ৪১) ১০০০০(২৪৩ 
            ৮২
       ______________
            ১৮০
            ১৬৪
      _______________
               ১৬০
               ১২৩
       _______________
                 ৩৭

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১০০০০ - ৩৭) + ৪১ 
= ১০০০৪ ।

প্রশ্ন: ১২০ মিটার লম্বা একটি ট্রেন ৩৩০ মিটার লম্বা একটি সেতু অতিক্রম করবে। ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় ৩০ কি.মি হলে, সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
সেতুসহ ট্রেনের মোট দৈর্ঘ্য = (৩৩০ + ১২০) মিটার 
= ৪৫০ মিটার 
ট্রেনটিকে সেতু অতিক্রম করতে সেতুর দৈর্ঘ্য ও এর নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে। 

আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩০ কি.মি = ৩০,০০০ মিটার 

৩০,০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ১ মিটার যায় = ৩৬০০/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৪৫০ মিটার যায় = (৩৬০০ × ৪৫০)/৩০,০০০ সেকেন্ডে 
= ৫৪ সেকেন্ডে 

∴ সেতুটি অতিক্রম করতে ট্রেনটির সময় লাগবে = ৫৪ সেকেন্ড।

প্রশ্ন: তিন বছর আগে রহিম ও করিমের বয়সের গড় ছিল ১৮ বছর। আলম তাদের সাথে যোগদান করায় বর্তমানে তাদের বয়সের গড় বেড়ে ২২ বছর হয়। আলমের বর্তমানে বয়স কত? 

সমাধান: 
৩ বছর আগে রহিম ও করিমের বয়সের গড় = ১৮ বছর 
∴ বর্তমানে রহিম ও করিমের বয়সের গড় = (১৮ + ৩) বছর = ২১ বছর 
∴ বর্তমানে রহিম ও করিমের মোট বয়স = (২১ × ২) বছর = ৪২ বছর 

আবার, 
রহিম, করিম ও আলমের মোট বয়স = (২২ × ৩) বছর = ৬৬ বছর 

∴ আলমের বয়স = (৬৬ - ৪২) বছর 
= ২৪ বছর।

প্রশ্ন: ৪ জন পুরুষ বা ৮ জন স্ত্রীলোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। ৬ জন পুরুষ এবং ৬ জন স্ত্রীলোক সেই কাজ কত দিনে করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন পুরুষ = ৮ জন স্ত্রীলোক 
∴ ১ জন পুরুষ = ৮/৪ জন স্ত্রীলোক 
∴ ৬ জন পুরুষ = (৮ × ৬)/৪ জন স্ত্রীলোক 
= ১২ জন স্ত্রীলোক 
৬ জন পুরুষ এবং ৬ জন স্ত্রীলোক = (১২ + ৬) জন স্ত্রীলোক 
= ১৮ জন স্ত্রীলোক 

প্রশ্নমতে, 
৮ জন স্ত্রীলোক কাজটি করতে পারে = ৯ দিনে 
∴ ১ জন স্ত্রীলোক কাজটি করতে পারে = (৯ × ৮) দিনে 
∴ ১৮ জন স্ত্রীলোক কাজটি করতে পারে = (৯ × ৮)/১৮ দিনে 
= ৪ দিনে 

∴ কাজটি করতে পারবে = ৪ দিনে।

প্রশ্ন: ১১টি সংখ্যার গড় ৩০। প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ ও শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮। ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১১টি সংখ্যার গড় = ৩০ 
∴ ১১টি সংখ্যার সমষ্টি = (৩০ × ১১) = ৩৩০ 

আবার, 
প্রথম ৫টি সংখ্যার গড় = ২৫ 
∴ প্রথম ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৫ × ৫) = ১২৫ 

অনুরূপভাবে, 
শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ২৮ 
∴ শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৮ × ৫) = ১৪০ 

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ৩৩০ - (১২৫ + ১৪০) 
= (৩৩০ - ২৬৫) 
= ৬৫ 

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = ৬৫। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা যুগল সহ-মৌলিক? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১ হলে‌ অর্থাৎ ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে তাদেরকে একত্রে সহ-মৌলিক সংখ্যা বলে। 
যেমন- (৩, ৪), (৮, ৯), (৬, ১৩) (৯, ১৬), (১৬, ২৫) ইত্যাদি। 

এখানে, 
৯ = ১ × ৩ × ৩ 
১৬ = ১ × ২ × ৮ 
= ৪ × ৪ 
এখানে যেহেতু ১ ভিন্ন কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। 
সুতরাং, (৯, ১৬) পরস্পর সহ-মৌলিক। 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা? 

সমাধান: 
ক) ০.৩০০ (ছোট)। 
খ) √০.৩ = ০.৫৪৭ (বড়)। 
গ) ১/৩ = ০.৩৩৩ (বড়)। 
ঘ) ২/৫ = ০.৪০০ (বড়)। 

∴ (খ) অপশনটির মান সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা।

প্রশ্ন: ৪ জন তাঁতি ৪ দিনে ৪ টি মাদুর তৈরি করতে পারে। একই হারে ৮ জন তাঁতি ৮ দিনে কতটি মাদুর তৈরি করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন তাঁতি ৪ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৪ টি 
∴ ১ জন তাঁতি ১ দিনে মাদুর তৈরি করে = ৪/(৪ × ৪) টি 
∴ ৮ জন তাঁতি ৮ দিনে মাদুর তৈরি করে = (৪ × ৮ × ৮)/(৪ × ৪) টি 
= ১৬ টি 

∴ ১৬ টি মাদুর তৈরি করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
x - ৩১ = ৫৫ - x 
বা, x + x = ৫৫ + ৩১ 
বা, ২x = ৮৬ 
বা, x = ৮৬/২ 
∴ x = ৪৩ 

∴ সংখ্যাটি = ৪৩ ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল 90 হয়, সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
3x + 2x = 90 
বা, 5x = 90 
বা, x = 90/5 
∴ x = 18 

∴ সংখ্যাটি = 18  । 

প্রশ্ন: ৩ বছর পূর্বে স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২৭ বছর। ৫ বছর পূর্বে স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের গড় ছিল ২০ বছর। স্বামীর বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
৩ বছর পূর্বে- 
স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২৭ × ৩) বছর 
= ৮১ বছর 
∴ স্বামী-স্ত্রী এবং তাদের সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৮১ + (৩ × ৩)} বছর 
= ৯০ বছর 

আবার, ৫ বছর পূর্বে- 
স্ত্রী এবং সন্তানের বয়সের সমষ্টি ছিল = (২০ × ২) বছর 
= ৪০ বছর 
∴ স্ত্রী এবং সন্তানের বর্তমান বয়সের সমষ্টি ছিল = {৪০ + (৫ × ২)} বছর 
= ৫০ বছর 

∴ স্বামীর বর্তমান বয়স = (৯০ - ৫০) বছর 
= ৪০ বছর।