Math Master

x² - 14x + 45
= x² - 9x - 5x + 45
= x(x - 9) - 5(x - 9)
= (x - 5)(x - 9)

27m³ + 125/n³
= (3m)³ + (5/n)³
= (3m + 5/n){(3m)² - 3m.5/n + (5/n)²}
= (3m + 5/n)(9m² - 15m/n + 25/n²)

27m³ + 125/n³ এর একটি উৎপাদক (3m + 5/n) হলে, অপর উৎপাদক 9m² - 15m/n + 25/n²

a³ - 1/8 = 0
⇒ a³ = 1/8
⇒ a³ = (1/2)³
∴ a = 1/2

12x² - 38x + 20
= 2(6x² - 19x + 10)
= 2(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2{3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2(2x - 5)(3x - 2)

যেহেতু f(x) = 0
সুতরাং 2(2x - 5)(3x - 2) = 0
⇒ 2x - 5 = 0 অথবা 3x - 2 = 0
∴ x = 5/2             ∴ x = 2/3

x² - (2/a - 3a)x - 8
= x² - 2x/a + 3ax - 6 - 2
= x(x - 2/a) + 3a(x - 2/a) - 2
= (x - 2/a)(x + 3a) - 2
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 এর সাথে 2 যোগ করলে, যোগফল রাশির উৎপাদক (x - 2/a) হবে।
(x - 2/a)(x + 3a) - 2 + 2 = (x - 2/a)(x + 3a)

a² - b² - c² - 2bc + a - b - c 
= a²- ab - ac + ab - b² - bc + ca - bc - c² + a - b - c
= a(a - b - c) + b (a - b - c) + c (a - b - c) + 1 (a - b - c) 
= (a - b - c)(a + b + c + 1)

x⁴ + x²y² + y⁴
= (x²)² + 2x²y² + (y²)² - x²y²
= (x² + y²)² - (xy)²
= (x² + y² + xy)(x² + y² - xy)
= (x² + xy + y²)(x² - xy + y²)
x⁴ + x²y² + y⁴ এর উৎপাদক দুইটি (x² + xy + y²) ও (x² - xy + y²)

f(3x)
= 27x³ + 108x²y + 144xy² + 64y³ 
= (3x)³ + 3(3x)²4y + 3.3x(4y)² + (4y)³
= (3x + 4y)³
= (3x + 4y)(3x + 4y)(3x + 4y)
∴ f(- 4y) = 0
---------------------------------------------
Alternative way:
f(3x) = 27x³ + 108x²y + 144xy² + 64y³ 
f(3x) = (3x)³ + 3(3x)²4y + 3.3x(4y)² + (4y)³
∴ f(- 4y) = (- 4y)³ + 3(- 4y)²4y + 3(- 4y)(4y)² + (4y)³ = - 64y³ + 192y³ - 192y³ + 64y³ = 0

f(x) = (x² + y²)³ + 8x³y³
f(- y) = {(- y)² + y²}³ + 8(- y)³y³
= (y² + y²)³ - 8(y³)²
= (2y²)³ - 8y⁶
= 8y⁶ - 8y⁶
= 0

x - 2 = 0 ⇒ x = 2
f(x) = 6x² - 8x + 5
f(2) = 6(2)² - 8 × 2 + 5
= 24 - 16 + 5
= 29 - 16
= 13
∴ f(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 13 হবে। 

f(x) = (x - a)g(x) + r
∴f(a) = (a - a)g(x) + r
         = 0.g(x) + r
         = 0 + r
         = r

ax + b = 0
⇒ ax = - b
∴ x = - b/a

যদি বহুপদী f(x) এর মাত্রা যোগবোধক ও a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে বহুপদী (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ f( - b/a) হবে। 

(x - a) বহুপদী f(x) এর উৎপাদক হবে যদি ও কেবল যদি f(a) = 0 হয়।
(এটি একটি Factor Theorem)

[ উপপাদ্য ২ঃ নবম-দশম শ্রেণি, গণিত, পৃষ্ঠা - ৫৭, উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয় ]

f(x) = x³ - 7xy² - 6y³
= x³ - 3x²y + 3x²y - 9xy² + 2xy² - 6y³
= x²(x - 3y) + 3xy(x - 3y) + 2y²(x - 3y)
= (x - 3y)(x² + 3xy + 2y²)
= (x - 3y)(x² + xy + 2xy + 2y²)
= (x - 3y){x(x + y) + 2y(x + y)}
= (x - 3y)(x + y)(x + 2y)
∴ f(3y) = 0
f(- y) = 0
f(- 2y) = 0

4p² - 7p + 128 = 0
⇒ 4(p² - 7p/4 + 128/4) = 0
⇒ p² - 7p/4 + 32 = 0
 4p² - 7p + 128 = 0 এর মুলদ্বয়ের গুণফল = 32

7x² + 5x - 17 = 0
⇒ 7(x² + 5x/7 - 17/7) = 0
⇒ x² + 5x/7 - 17/7 = 0
⇒ x² - (- 5/7)x + (- 17/7) = 0
 7x² + 5x - 17 = 0 এর মূল দুইটির যোগফল = - 5/7

f(y) = y² - 19y + 88
f(y) এর একটি মূল 8 হলে, অপর মূল ∝ (ধরি)
8 + ∝ = 19
∝ = 19 - 8 = 11

কোনো একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 3 ও 4 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (3 + 4)x + 3 × 4 = 0
⇒ x² - 7x + 12 = 0

x²
= 5 + 2√6
= 3 + 2 + 2√6
= (√3)² + 2√3√2 + (√2)²
= (√3 + √2)² 
x = √3 + √2