প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: বিন্দুর মাত্রা কয়টি?

সমাধান:
বিন্দুর সংজ্ঞা:
বিন্দু হলো একটি মৌলিক জ্যামিতিক ধারণা যা স্থান, দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল বা আয়তন ছাড়াই শুধুমাত্র অবস্থান নির্দেশ করে।

বিন্দুর মাত্রা:
বিন্দুর কোন মাত্রা নেই। এটি শুধুমাত্র একটি অবস্থান নির্দেশ করে এবং এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা উচ্চতা নেই।

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাহলে তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
যখন একটি রেখাংশ একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হয়, তখন এটি দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করে। এই দুটি কোণের সমষ্টি সব সময় 180° হয়।
কারণ, সরলরেখায় দুটি কোণের সম্মিলনে একটানা রেখাটি তৈরি হয়, এবং পুরো সরলরেখা 180° কোণ গঠন করে।
অতএব, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180°।


CD সরল রেখার সাথে AB রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করে তা হল 
∠ABD এবং ∠ABC উৎপন্ন করে। চিত্রমতে,
∠ABD + ∠ABC = 180°

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল=(1/2​) × a × b × sinC
যেখনে দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি
অন্তর্ভুক্ত কোণ 30°

∴ ক্ষেত্রফল=(1/2​) × a × b × sinC
= (1/2​) × 9 × 10 × sin30°
= 45 × (1/2​)
= 45/2
= 22.5 বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: PQ রেখাংশের উপর Z একটি বিন্দু হলে কোন সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য?

সমাধান:
Z বিন্দুটি PQ রেখাংশের উপর অবস্থিত হলে, নিম্নলিখিত সম্পর্কটি সব সময় প্রযোজ্য হবে,
PZ + ZQ = PQ.

------------------
উল্লেখ্য -
খ) অপশনের ক্ষেত্রে PQ > PZ সব সময় প্রযোজ্য নয়, কেননা যদি বিন্দু Z ঠিক বিন্দু Q-এর ওপরই অবস্থান করে (অর্থাৎ Z ও Q অভিন্ন বিন্দু), তাহলে ঐ ক্ষেত্রে
𝑃𝑍 = 𝑃𝑄.
ফলে PQ > PZ আর সত্য থাকে না।

প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষায় ২৭° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
পূরক কোণের সংজ্ঞা:
দুটি কোণ পূরক হবে যদি তাদের সমষ্টি ৯০^∘ হয়।
ধরি, কোণটি = x
তাহলে পূরক কোণ = ৯০° − x
প্রদত্ত শর্ত,
⇒ x = (৯০°−x) + ২৭
⇒ x = ৯০° −x + ২৭
⇒ x + x = ৯০° + ২৭
⇒ ২x = ১১৭° 
⇒ x = ১১৭°/২
∴ x = ৫৮.৫°

প্রশ্ন: ৪ সে.মি., ৭সে.মি. ও ৯ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজটির বাহু গুলি হল a = ৪ সে.মি., b = ৭ সে.মি., এবং c = ৯ সে.মি.।
অর্ধপরিসীমা, s=(a + b + c​)/2
= (৪ + ৭ + ৯)/২
= ২০/২
= ১০
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল , A = √{s(s − a)(s − b)(s − c)}
= √{১০ × (১০ - ৪) × (১০ - ৭) × (১০ - ৯)​}
= √(১০ × ৬ × ৩ × ১​)
= √১৮০

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল √১৮০ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: দুইটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩ সে. মি দূরে সমান্তরাল ভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে -

সমাধান:
যদি দুইটি লাইন সমান্তরালভাবে চলছে এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব ৩ সে. মি, তবে তারা কখনো একে অপরের সাথে মিলিত হবে না।

সমান্তরাল লাইনগুলি একে অপরকে কখনো ছেদ করে না বা মিলিত হয় না, যেহেতু তাদের মধ্যে সব সময় নির্দিষ্ট দূরত্ব থাকে। সুতরাং, যেহেতু এই দুইটি লাইন একে অপরের থেকে ৩ সেমি দূরে সমান্তরালভাবে চলছে, তারা একে অপরকে ছেদ করবে না বা মিলিত হবে না।

প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২০ : ১৬ হলে, কোণ দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, অনুপাতের সাধারণ রাশি = x
তাহলে একটি কোণ = ২০x
অপর কোণ = ১৬x

আমরা জানি,
দুটি কোণ সম্পূরক হবে যদি তাদের সমষ্টি ১৮০^∘ হয়।
শর্তমতে,
২০x + ১৬x = ১৮০°
৩৬x = ১৮০°
x = ১৮০°/৩৬
x = ৫°
∴ একটি কোণ = ২০ × ৫° = ১০০°
অপর কোণ = ১৬ × ৫° = ৮০° 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 5 সে. মি. এবং অপর দুই বাহুর অন্তর 1 সে. মি. । ঐ বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
অতিভুজ ভিন্ন অন্য দুই বাহুর একটি x হলে অপরটি x - 1
পিথাগোরাসের উপপাদ্য মতে,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ 5² = x² + (x - 1)²
⇒ 25 = x² + x² - 2x + 1
⇒ 2x² - 2x - 24 = 0
⇒ x² - x - 12 = 0
⇒ x² - 4x + 3x - 12 = 0
⇒ x(x - 4) + 3(x - 4) = 0
⇒ (x - 4)(x + 3) = 0
হয়,
x - 4 = 0
∴ x = 4
অথবা,
x + 3 = 0
∴ x = - 3 ; [ যা গ্রহণযোগ্য নয় ]
∴ একটি বাহু = 4 সে. মি.
এবং অপর বাহু = 4 - 1 = 3 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের যোগফল 100° এবং উক্ত দুইটি কোণের বিয়োগফল 40° । তৃতীয় কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরা যাক, ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে x এবং y
x + y = 100°
x − y = 40°
⇒ 2x = 140°
⇒ x = 140°/2
⇒ x = 70°
∴ y = 100° - 70° = 30°

∴ ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান হবে, 180° − (x + y)
= 180° − 100°
= 80°

শর্টকাটঃ
ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের পরিমাণ = ( 180° - দুইটি কোণের যোগফল)
= ( 180° - 100°)
= 80°

প্রশ্ন: এক সরল কোণ অপেক্ষায় বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষায় ছোট কোণকে কী বলে?

সমাধান:
যখন কোনো কোণ এক সরল কোণের চেয়ে বড়, কিন্তু চারটি সমকোণের চেয়ে ছোট হয়, তখন এই কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়।
অর্থাৎ,
১৮০° < প্রবৃদ্ধ কোণ < ৩৬০°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ x°, (3x/2)°, (5x/2)° হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
⇒ x + 3x/2 ​+ 5x/2 ​= 180°
⇒ (2x + 3x + 5x)/2 = 180°
⇒ 10x/2 = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 180°/5
∴ x = 36°

∴ প্রথম কোণ = x = 36°
দ্বিতীয় কোণ = 3x/2 = (3× 36°)/2= 54°
তৃতীয় কোণ = 5x/2 = (5×36°)/2 = 90°

∴ পার্থক্য = 90° − 36° = 54°

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ ও ১৫ মিটার । মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৭ ও ১৫ মিটার

আমরা জানি,
⇒ (লম্ব)^২ = (অতি)^২ - (ভূমি)^২
⇒ (লম্ব)^২ = (১৭)^২ - ( ১৫)^২
⇒ (লম্ব)^২ = ২৮৯ - ২২৫
⇒ (লম্ব)^২ = ৬৪
⇒ লম্ব = √৬৪
∴ লম্ব = ৮ মিটার

∴ মাঠটির ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
= (১/২) × ১৫ × ৮
= ৬০ বর্গ মিটার

প্রশ্ন: সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
যখন একটি লম্ব (perpendicular) সরল রেখার উপর অঙ্কন করা হয়, তখন দুটি সমকোণ পাওয়া যায়।

এটার কারণ, লম্ব রেখা সরল রেখার প্রতি ৯০° কোণ তৈরি করে। সেই অনুযায়ী, লম্ব রেখাটি সরল রেখার উপর দুটি সমকোণ সৃষ্টি করে ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৭ সে. মি. এবং ৮ সে. মি. হলে তৃতীয় বাহু কোনটি হতে পারে না?

সমাধান:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।
ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি = ৭ + ৮ = ১৫ সে. মি.
ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর  = ৮ - ৭ = ১ সে. মি.

 তৃতীয় বাহু যা হতে পারে না:
তৃতীয় বাহুর মান ১ সে. মি. বা ১৫ সে. মি. হতে পারবে না ।