Math Master

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 5a² + 4a - 12 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
5a² + 4a - 12
= 5a² + 10a - 6a - 12
= 5a(a + 2) - 6(a + 2)
= (a + 2)(5a - 6)

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৪০° হলে বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ  = ১৪০°
∴ সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণ = (১৮০° - ১৪০)°
= ৪০°

আমরা জানি,
সুষম বহুভুজের বহিস্থঃকোণের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা হবে = ৩৬০°/৪০°
= ৯টি

প্রশ্ন: b/a = 1/4 এবং a + 2b = 12 হয়, তাহলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(b/a) = (1/4)
⇒ a = 4b ............... (1)
এবং a + 2b = 12 .......... (2)

এখন,
(2) নং সমীকরণে a এর মান বসিয়ে পাই,
4b + 2b = 12
⇒ 6b = 12
⇒ b = (12/6)
∴ b = 2

b এর মান (1) নং এ বসাই,
⇒ a = 4 × 2
∴ a = 8

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান (a, b) = (8, 2)

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য ৮০০ টাকায় ক্রয় করে ২০% ক্ষতিতে বিক্রয় করা হলো। দ্রব্যটির বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
২০% ক্ষতিতে,
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২০) টাকা
= ৮০ টাকা

ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০ টাকা
ক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ৮০/১০০ টাকা
ক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (৮০ × ৮০০)/১০০ টাকা
= ৬৪০ টাকা

প্রশ্ন: ।3a + 2। < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
।3a + 2। < 7
⇒ - 7 < 3a + 2 < 7
⇒ - 7 - 2 < 3a + 2 - 2 < 7 - 2
⇒ - 9 < 3a < 5
⇒ -9/3 < 3a/3 <5/3
⇒ - 3 < a < 5/3

প্রশ্ন : ১০% হার সুদে কত টাকার ৪ বছরের সুদ ২৪০ টাকা?

সমাধান :
১০% হার সুদে ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৪ × ১০) টাকা
= ৪০ টাকা

সুদ ৪০ টাকা হলে আসল = ১০০ টাকা
সুদ ১ টাকা হলে আসল = ১০০/৪০ টাকা
সুদ ২৪০ টাকা হলে আসল = (১০০ × ২৪০)/৪০ টাকা
= ৬০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৬২ হতে যত বড় ৮৪০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭৬২ = ৮৪০ - ক
⇒ ক + ক = ৮৪০ + ৭৬২
⇒ ২ক = ১৬০২
⇒ ক = ১৬০২/২
∴ ক = ৮০১

সুতরাং, সংখ্যাটি = ৮০১

প্রশ্ন: secθ = 3/2 হলে, tanθ এর মান কত?
                                                                                   
সমাধান:
দেওয়া আছে,
secθ = 3/2
⇒ sec²θ = 9/4
⇒ 1 + tan²θ = 9/4
⇒ tan²θ = (9/4) - 1
⇒ tan²θ = (9 - 4)/4   
⇒ tan²θ = 5/4
⇒ tanθ = √5/2
∴ θ = √5/2

প্রশ্ন: "LEAVE" শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
"LEAVE" শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5 টি যার মধ্যে E আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= (5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 60

∴ "LEAVE" শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে 60 প্রকারে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% সরল মুনাফায় একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকা ৪ বছরে মুনাফা-আসলে ৫০৪ টাকা হয়। ১০% মুনাফায় একই পরিমাণ টাকার ৫/২ বছরে মুনাফা কত টাকা হবে?

সমাধান:
আসল, P = ক টাকা
সরল-মুনাফা, I = (৫০৪ - ক) টাকা
সময়, n = ৪ বছর
মুনাফার হার, r = ৫% = ৫/১০০

আমরা জানি,
⇒ (৫০৪ - ক) = (ক × ৫ × ৪)/১০০
⇒ (৫০৪ - ক) = ক/৫
⇒ (২৫২০ - ৫ক) = ক
⇒ (ক + ৫ক) = ২৫২০
⇒ ৬ক = ২৫২০
⇒ ক = ৪২০ 

আবার,
১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১০টাকা
১ টাকার ১ বছরের মুনাফা = ১০/১০০ টাকা
৪২০ টাকার ৫/২ বছরের মুনাফা = (১০ × ৪২০ × ৫)/(১০০ × ২) টাকা
= ১০৫ টাকা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x² > 6, x³ < 20} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x² > 6; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 20; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2}

∴ উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2}
= {}

প্রশ্ন: ইমন সাহেব তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ১৪০০ টাকা আছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ
অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৩/৭)
= (৭ - ৩)/৭ = ৪/৭ অংশ

∴ (৪/৭) এর (৫/১২) অংশ
= (৪/৭) × (৫/১২) অংশ
= ৫/২১ অংশ

প্রশ্নমতে,
(৪/৭) - (৫/২১)অংশ = ১৪০০
⇒ (১২ - ৫)/২১ অংশ = ১৪০০
⇒ ৭/২১ অংশ = ১৪০০
⇒ ১ অংশ = (২১ × ১৪০০)/৭ = ৪২০০ টাকা

প্রশ্ন: যদি a - (1/a) = 8 হয়, তবে a³ - (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a - (1/a) = 8

প্রদত্ত রাশি = a³ - (1/a)³
= {a - (1/a)}³ + 3 · a · (1/a){a - (1/a)}
= 8³ + 3 · 8
= 512 + 24
= 536

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ৮ এবং তাদের ল.সা.গু ২৮০ হলে, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু কত?

সমাধান:
মনে করি,
একটি সংখ্যা = ৭ক
এবং অপর সংখ্যাটি = ৮ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক
এবং ল.সা.গু = ৫৬ক

শর্তমতে,
৫৬ক = ২৮০
⇒ ক = ২৮০/৫৬
⇒ ক = ৫

∴ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৫

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম কতটি পদের সমষ্টি 6560?

সমাধান:
ধরি,
2 + 6 + 18 + ..... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 6560।
এখানে,
১ম পদ, a = 2,
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 >1

প্রশ্নমতে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 6560
⇒ a{(rⁿ - 1)/(3 - 1)} = 6560
⇒ 2 × {(3ⁿ - 1)/2} = 6560
⇒ 3ⁿ - 1 = 6560
⇒ 3ⁿ = 6561
⇒ 3ⁿ = 3⁸
∴ n = 8

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ একবার নিক্ষেপ করলে ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় জোড় সংখ্যা সমূহ = {2, 4, 6}
= 3টি

∴ জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/6
= 1/2

প্রশ্ন: যদি log₁₀125 + log₁₀8 = a হয়, তাহলে,  a এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀125 + log₁₀8 = a
⇒ log₁₀(125 × 8) = a
⇒ a = log₁₀(1000)
⇒ a = log₁₀(10)³
⇒ a = 3log₁₀10
⇒ a = 3