Math Master

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ……. ধারাটির ২০ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা যার 
১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
২০ তম পদ = ৫ + (২০ - ১)৪
= ৫ + ৭৬
= ৮১

প্রশ্ন: ৩ + ৬ + ৯ + ……. ধারাটির কততম পদ ৪৮?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা যার 
১ম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৬ - ৩ = ৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + (n - ১)d = ৪৮
⇒ ৩ + (n - ১)৩ = ৪৮
⇒ ৩ + ৩n - ৩ = ৪৮
⇒ ৩n = ৪৮
⇒ n = ৪৮/৩ = ১৬
∴ n = ১৬

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ...... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে
প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ =arⁿ⁻¹
সপ্তম পদ = 64 × (1/2​)⁷⁻¹
= 64×(1/2​)⁶
= 64 × (1​/64)
= 1

∴ গুণোত্তর ধারা সপ্তম পদ = 1

প্রশ্ন: ২৫ + ২১ + ১৭ + …….. - ২৭ =?

সমাধান:
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(- ২৭ - ২৫)/- ৪} + ১
= (- ৫২/- ৪) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(- ২৭ + ২৫)/২} × ১৪
=(- ২/২) × ১৪
= - ১৪

প্রশ্ন: 27, - 9, 3, -1,.... ধারার ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে-
প্রথম পদ, a = 27
সাধারণ অনুপাত, r = −9/27 = −1/3

গুণোত্তর ধারার n তম পদ =arⁿ⁻¹
ষষ্ঠ পদ = 27 × (−1/3​)⁶⁻¹
= 27 × (−1/3​)⁵
= 3³ × (−1/3​⁵)
= 3³ × {−1/(3​³ × 3²)}
= - 1/3²
= - 1/9

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 + ………. ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
=  log8 + log64 + log512 + ……….
= log8 + log8² + log8³ + ……….
= log8 + 2log8 + 3log8 + ……….
= (1 + 2 + 3 +.....)log8

এখন,
1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 তম পদের সমষ্টি = n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55log8

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +......... ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি 510 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে-
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
S_n ​= a(rⁿ−1)/(r−1​)

প্রশ্ন অনুসারে,
⇒ S_n = 510
⇒ 2(2ⁿ −1)/(2 - 1) = 510
⇒ 2ⁿ −1 = 510/2
⇒ 2ⁿ −1 = 255
⇒ 2ⁿ = 255 + 1
⇒ 2ⁿ = 256
⇒ 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ……. + 8³ = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি =  {n(n + 1)/2}²
= {8(8 + 1)/2}²
= (4 × 9)²
= (36)²
= 1296

প্রশ্ন: 4 + 5 + 6 +..........+80 =?

সমাধান:
(1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +...........+ 80) - 1 - 2 - 3
= {80(80 + 1)/2} - 6
= (40 × 81) - 6
= 3240 - 6
= 3234

প্রশ্ন: ৭ থেকে ৪৭ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৪৭ - ৭)/১} + ১
= ৪০ + ১
= ৪১

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(৪৭ + ৭)/২} × ৪১
= (৫৪/২) × ৪১
= ২৭ × ৪১
= ১১০৭

প্রশ্ন: 6 + x + y + 162 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x, y এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার,
১ম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত = r

গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 162
⇒ 6r³ = 162
⇒ r³ = 162/6
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3
২য় পদ, x = ar = 6 × 3 = 18
৩য় পদ, y = ar² = 6 × 3² = 6 × 9 = 54

∴ x =1 8, y = 54

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার 10 তম পদ 20 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d 
10 তম পদ = 20
⇒ a + (n - 1)d = 20
⇒ a + (10 - 1)d = 20
⇒ a + 9d = 20 ......... (1)

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রথম 19টি পদের সমষ্টি,
S_n= (19/2){2a + (19 - 1)d}
=  (19/2){2a + 18d}
= (19/2){2(a + 9d)}
= 19 × 20
= 380

প্রশ্ন: 1/2, 2/3, 3/4,.......... অনুক্রমের সাধারণ পদ কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুক্রম,
1/2, 2/3, 3/4,..........

১ম পদ = 1/2 = 1/(1 + 1)
২য় পদ = 2/3 = 2/(2 + 1)
৩য় পদ = 3/4 = 3/(3 + 1)
......................................
n তম পদ = n/(n + 1)

∴ অনুক্রমের সাধারণ পদ = n/(n + 1)

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ২য় ও ৪র্থ পদের অনুপাত 4 : 7 । যদি ধারার ৬ষ্ঠ পদ 20 হয় তাহলে ধারার 15ম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d
∴ ধারার ২য়= a + d
ধারার ৪র্থ = a + 3d

প্রশ্নমতে,
⇒ (a + d)/(a + 3d) = 4/7
⇒ 7a + 7d = 4a + 12d
⇒ 3a = 5d
⇒ a = (5d)/3 ........... (1)

আবার,
ধারার ৬ষ্ঠ পদ, a + 5d = 20
(5d)/3 + 5d = 20
(5d + 15d)/3 = 20
20d = 60
d = 60/20
d = 3

(1) নং হতে পাই,
∴ a = (5d)/3 = 15/3 = 5

∴ 15ম পদ = a + 14d = 5 + 14 × 3 = 47

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববতী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববতী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে ।

যেমন :
1, − 2, 4, −8, 16, −32,…
3, 6, 12, 24, 48,…

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে-
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3/1 = 1/3 < 1

গুণোত্তর ধারার সমষ্টির, S_n =a(1 − rⁿ)/(1−r)
= 1{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}
= {1 - (1/243)}/(2/3)
= (242/243)/(2/3) 
= (​242/243) × (3/2)
= 121/81

প্রশ্ন: সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৬ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৪ হলে, ধারার ১৫তম পদ কত?

সমাধান:
প্রশ্ন অনুসারে,
৪র্থ পদ, a + 3d = 16 ..........(১)
৬ষ্ঠ পদ, a + 5d = 24 ...........(২)

(২) - (১)
⇒ (a + 5d) − (a + 3d) = 24 − 16
⇒ a + 5d − a − 3d = 8
⇒ 2d = 8
∴ d = 4

এখন, a + 3d = 16 সমীকরণে d = 4 বসিয়ে পাই,
⇒ a + 3(4) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 16 - 12
∴ a = 4

১৫তম পদ = a + 14d = 4 + 14 × 4 = 4 + 56 = 60

প্রশ্ন: 1/3 + (1/3²) + (1/3³) + ....... ∝ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারার, যেখানে-
প্রথম পদ, a =1/3
​সাধারণ অনুপাত, r = (1/3²)/(1/3) = 1/3

S_∞​ = a​/(1 − r)
= (1​​/3)/{1 − (1​/3)}
= (1​​/3)/(2​/3)
= (1/3) × (3/2)
= 1/2