১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

যে সংখ্যাগুলোকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২ সংখ্যাটিকে ১ এবং ২ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাই ২ মৌলিক সংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার মধ্যে একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হল ২।
১ মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যা কোনটিই নয়।

যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
আবার অসীম অনাবৃত দশমিক সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।
এখানে,
³√8
= ³√2³
= 2 ; যা একটি মূলদ সংখ্যা

সংখ্যাটি = (৩৭৫ + ৪৬৫)/২
= ৮৪০/২
= ৪২০

১ টি লিচুর ক্রয়মূল্য ১০/১০ টাকা = ১ টাকা
১ টি লিচুর বিক্রয়মূল্য ১০/৮ টাকা = ১.২৫ টাকা।
∴ লাভ = (১.২৫ - ১) = ০.২৫ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় ০.২৫ × ১০০ টাকা
= ২৫ টাকা
∴ লাভ ২৫%

৭০ - ২৮ = ৪২
৭০ জনে পাশ করে ৪২ জন
∴ ১০০ জনে পাশ করে (৪২×১০০) / ৭০ জন
= ৬০ জন

মিশ্রণে বালির পরিমাণ = ৬৪ × ২৫% = ১৬ কেজি
∴ মিশ্রণে পাথরের পরিমাণ = ৬৪ - ১৬ = ৪৮ কেজি
প্রশ্নানুসারে, নতুন মিশ্রণে পাথর থাকবে ৪০% এবং বালি থাকবে ৬০%।
এখন,
৪০% = ৪৮
∴ ৬০% = (৪৮/৪০) × ৬০
= ৭২
সুতরাং বালি মিশাতে হবে = ৭২ - ১৬
= ৫৬ কেজি।

১২, ১৮, ২৪ এর ল.সা.গু. = ৭২
সুতরাং, নির্ণেয় লঘিষ্ট সংখ্যা = ৭২ - ২ = ৭০

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু. = (লব গুলোর গ.সা.গু.) / (হর গুলোর ল.সা.গু.)
এখানে,
লব গুলো ২, ৩ ও ৬ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর গুলো ৫, ৫ ও ১৫ এর ল.সা.গু. ১৫
∴ গ.সা.গু. = ১/১৫

১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু. হলো ৫।
তাই সর্বোচ্চ ৫ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।

সুদের পরিমাণ = (৩,৭৩,৮৯৯ × ১.২৫) = ৪৬৭৩৭৩.৭৫ টাকা
৩,৭৩,৮৯৯ টাকার ৭.৫ বছরের সুদ ৪৬৭৩৭৩.৭৫ টাকা
∴ ১০০ 〃 ১ 〃 〃 (৪৬৭৩৭৩.৭৫ × ১০০) / (৩৭৩৮৯৯ × ৭.৫)〃
= ১৬.৬৭ টাকা

৫০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = ৫০০ × ৪ বা ২০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
আবার ৬০০ টাকার ৫ বছরের সুদ = ৬০০ × ৫ বা ৩০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
সুতরাং মোট ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ।
এখন, ৫০০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০ টাকা। (শর্ত)
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৫০০/৫০০০ টাকা।
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৫০০×১০০) / ৫০০০ টাকা।
= ১০ টাকা।

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ ৪.৫ টাকা
∴ ১০০ টাকার ৪ বছরের সুদ (৪.৫ × ৪) টাকা =১৮ টাকা
তাহলে সুদাসল = (১০০ + ১৮ টাকা) = ১১৮ টাকা
সুদাসল ১১৮ টাকা হলে আসল ১০০ টাকা
∴ সুদাসল ৮২৬ টাকা হলে আসল (১০০/১১৮) × ৮২৬ টাকা
= ৭০০ টাকা।

চক্রবৃদ্ধি মুনাফার ক্ষেত্রে,
C = p(1+r)ⁿ
⇒ P = C / (1+r)ⁿ
এখানে,
C = ৫২০০
r = ৮% বা ০.০৮
n = ২ বছর
∴ P = ৫২০০ / (১ + ০.০৮)²
= ৪৪৫৮.১৬

পনির : তপন = ২ : ৩ = ১০ : ১৫ [ ৫ দ্বারা গুণ করে ]
তপন : রবিন = ৫ : ৪ = ১৫ : ১২ [ ৩ দ্বারা গুণ করে ]
∴ পনির : তপন : রবিন = ১০ : ১৫ : ১২
পনিরের আয় ১০ টাকা হলে রবিনের আয় ১২ টাকা
∴ পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে রবিনের আয় (১২ × ১২০) / ১০
= ১৪৪ টাকা

অনুপাত গুলোর সমষ্টি: ৩ + ৭ + ১০ = ২০
∴ বড় টুকরাটির দৈর্ঘ্য হবে, ৮০ × ১০/২০ = ৪০ মিটার

৭০ লিটার মিশ্রণে পেট্রোলের পরিমাণ = ৭০ এর ৫ / (৫+২) = ৫০ লিটার
∴ অকটেনের পরিমাণ = (৭০ - ৫০) = ২০ লিটার।
ধরি, মিশ্রণে x লিটার অকটেন মিশালে পেট্রোল ও অকটেনের অনুপাত ২ : ১ হবে।
অর্থাৎ,
৫০ : (২০+x) = ২ : ১
⇒ ৫০/(২০+x) = ২/১
⇒ ৪০ + ২x = ৫০
⇒ ২x = ১০
∴ x = ৫
∴ ৫ লিটার অকটেন মিশাতে হবে।

ধরি,
পুত্রের বর্তমান বয়স x বছর
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৬০ - x) বছর
প্রশ্নমতে,
(৬০ - x + ৫) : (x + ৫) = ৫ : ২
⇒ (৬৫ - x) / (x + ৫) = ৫ / ২
⇒ ৫(x+৫) = ২(৬৫ - x)
⇒ ৫x + ২৫ = ১৩০ - ২x
⇒ ৭x = ১০৫
∴ x = ১৫

৫ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪ টাকা
∴ ১ টি কলার ক্রয়মূল্য ৪/৫ টাকা
আবার,
৪ টি কলার বিক্রয় মূল্য ৫ টাকা
∴ ১ টি কলার বিক্রয়মূল্য ৫/৪ টাকা
∴ লাভ = (৫/৪ - ৪/৫) = {(২৫-১৬) / ২০} = ৯/২০ টাকা।
৪/৫ টাকায় লাভ হয় ৯/২০ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় (৯×৫) / (২০×৪) টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় (৯×৫×১০০) / (২০×৪) টাকা
= ২২৫/৪ টাকা
= ৫৬.২৫ টাকা

একটি দ্রব্য ৩৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ৪০ টাকা ক্ষতি হলে ক্রয়মূল্য = ৩৬০ + ৪০ = ৪০০ টাকা
৪০০ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০ টাকা
⇒ ১ টাকায় ক্ষতি হয় ৪০/৪০০টাকা
⇒ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় (৪০×১০০) / ৪০০ = ১০ টাকা
∴ ১০%

২০% লাভে নির্মাতার বিক্রয় মূল্য (২০০+ ২০০ এর ২০%) = (২০০ + ৪০) = ২৪০ টাকা
খুচরা বিক্রেতার বিক্রয় মূল্য (২৪০ + ২৪০ এর ২০%) = (২৪০ + ৪৮) = ২৮৮ টাকা।

(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y² = 2² + 4 × 24
⇒ (x + y)² = 100
∴ x + y = 10 [ধনাত্মক মান ধরে]
এখন,
x + y - x + y = 10 - 2
⇒ 2y = 8
∴ y = 4

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y² + (-4)² + 2xy + 2y(-4) + 2(-4)x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে পূর্ণবর্গ হবে।

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

x² - (a + 1/a)x + 1
= x² - ax - (1/a)x + 1
= x(x - a) - 1/a(x - a)
= (x - a) (x - 1/a)

6x² - 7x - 5
= 6x² - 10x + 3x - 5
= 2x(3x - 5) + 1(3x - 5)
= (2x +1) (3x - 5)

8a⁴ + 27ab³
= a (8a³ + 27b³)
= a {(2a)³ + (3b)³}
= a (2a + 3b) {(2a)² - 2a.3b + (3b)²}
= a (2a + 3b) (4a² - 6ab + 9b²)
সুতরাং (2a + 3b) হচ্ছে 8a⁴ + 27ab³ এর একটি উৎপাদক।

a(x - a) = b(x - b)
⇒ ax - a² = bx - b²
⇒ ax - bx = a² - b²;
⇒ x(a - b) = (a + b)(a - b)
∴ x = a + b

3/x + 4/(x + 1) = 2
⇒ (3x + 3 + 4x) / {x(x + 1)} = 2
⇒ 7x + 3 = 2x² + 2x
⇒ 2x² - 5x - 3 = 0
⇒ 2x² - 6x + x - 3 = 0
⇒ (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়
x - 3 = 0
∴ x = 3
অথবা
2x + 1 = 0
∴ x = - 1/2

মনে করি,
ছাত্র সংখ্যা = x
4 জন করে বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3
3 জন করে বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x- 6)/3
যেহেতু ক্লাসে বেঞ্চ সংখ্যা একই থাকে, সেহেতু-
(x/4) + 3 = (x-6)/3
⇒ (x+12)/4 = (x-6)/3
⇒ 4x - 24 = 3x + 36
∴ x = 60

(x - a)/(a² - b²) = (x - b)/(b² - a²)
⇒ (x - a)/(a² - b²) = -{(x - b)/(a² - b²)}
⇒ (x - a)/(a² - b²) + (x - b)/(a² - b²) = 0
⇒ (x - a + x - b)=0
⇒ 2x = a + b
∴ x = (a + b)/2.

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

2x + 3y = 7 ------- (i)
5x - 2y = 8 -------- (ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই -
4x + 6y = 14 ------ (iii)
15x - 6y = 24 ------ (iv)
(iii) ও (iv) যোগ করে পাই -
19x = 38
∴ x = 2
x এর মান (i) নং এ বসালে পাই -
2 × 2 + 3y = 7
⇒ 3y = 3
∴ y = 1
∴ (x, y) = (2, 1)

y/x = 1/3
∴ x = 3y
আবার,
x + 2y = 10
⇒ 3y + 2y = 10 (মান বসিয়ে)
⇒ 5y = 10
∴ y = 2

ধরি,
একটি সংখ্যা = x
এবং অপর সংখ্যাটি = y
১ম শর্তমতে,
x + y = 65 ------- (i)
২য় শর্তমতে,
x - y = 5 -------- (ii)
(i) + (ii) ⇒
2x = 70
∴ x = 35
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে -
y = 30

x = 2 হলে, 2² = 4 < 8 এবং 2² = 8 < 30 ; যা শর্ত পূরণ করে না।
x = 3 হলে, 3² = 9 > 8 এবং 3³ = 27 < 30 ; যা শর্ত পূরণ করে।
x = 4 হলে, 4² = 16 > 8 এবং 4³ = 64 > 30 ; যা শর্ত পূরণ করে না।
∴ x এর সঠিক মান 3.

x > y ...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz [ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয়]

1/a < 1/b
⇒ a > b [বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয়।]

অঋণাত্মক ধরে, x - 3 < 5
∴ x < 8
ঋণাত্মক ধরে, - (x - 3) < 5
বা, x - 3 > -5
∴ x > -2
অর্থাৎ, -2 < x < 8

x² - 5x + 6 < 0
⇒ x² - 3x - 2x + 6 < 0
⇒ x (x - 3) - 2 (x - 3) < 0
⇒ (x - 3) (x - 2) < 0
অর্থাৎ, (x - 3) ও (x - 2) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
2 < x < 3 হলে, x - 3 < 0, এবং x - 2 > 0
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3