Math Master

প্রথম পদ a = 5, নবম পদ = 69 হলে, সাধারন অন্তর = d
∴ 69 = 5 + (9 - 1)d বা, 8d = 64 ∴ d = 8
∴ 21 তম পদ = 5 + 160 = 165 

5² + 10² + 15² + .  .  .  .  + 100² 
= 5² + 5²2² + 5²3² + .  .  .  + 5².20²
= 5²{1² + 2² + 3² + .  .  .  + 20²}
= 5² × 20(20 + 1)(2.20 + 1)/6
= 25 × 20×21×41 /6
= 71750

সমষ্টি = 50 × (50 + 1) / 2 = 25 × 51 = 1275

= 7², 9², 11², 13², 15² ........
= 49, 81, 121, 169, 225

১৩ + ২১ = ৩৪,
২১ + ৩৪ = ৬৫,
৩৪ + ৫৫ = ৮৯

a = ৩, d = 8, n =?
৭৯ = ৩ + (n - ১)৪ বা, ৭৬ = (n - ১)৪ বা, ১৯ = n - ১ ∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = ৭৯+৩/২ × ২০ = ৮২×২০/২ = ৮২০

ধরি, ১ম পদ = a সাধারন অন্তর = d
∴ ৪র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a = 3d
১২ তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d
পদ্বদয়ের সমষ্টি = 2a + 14d = 20
∴ ১ম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 15/2{2a + (15-1d)}
=15/2 × (2a + 14d)
= 15/2 × 20 = 150

১ম পদ a এবং সাধারন অনুপাত r হলে
ar^3-1 = 20 এবং ar^6-1 = 160
বা, ar² = 20 ....(1)   ar⁵ = 160.......(2)
(2) নং ÷ (1) নং ⇒ ar⁵/ar² = 160/20 বা, r³ = 8 ∴ r = 2
(1) নং ⇒ a.2² = 20 বা, 4a = 20 ∴ a = 5

ধরি, ১ম পদ = a, সাধারন অনুপাত = r
∴  নবম পদ = ar⁸ = 1280....(1) পঞ্চম পদ = ar⁴ = 80.......(2)
(1)নং ÷ (2)নং ⇒ ar⁸/ar⁴ = 1280/80 বা, r⁴ = 16 = 2⁴ ∴ r = 2

১ম পদ a = 1 সাধারন অনুপাত r = 1/3<1
∴ ১ম সাতটি পদের সমষ্টি = 1 × 1-(1/3)⁷ / 1-1/3 = 1 - 1/2187 / 2/3 = 2186/2187 × 3/2 = 1093/729

অনুক্রমটি n + 2^n-1
∴ পঞ্চম পদ = 5 + 2^5-1 = 5 + 2⁴ = 21
ষষ্ঠ পদ = 6 +2^6-1 = 6 + 2⁵ = 38
∴ ব্যবধান = 38 - 21 = 17

a = 1/2, r = 1/6 / 1/2 = 1/3
∴ পরবর্তী পদ = 1/54 × 1/3 = 1/162

১ + ৩ + ৫ + ৭ + ..... ৩১ ∴ ১ম পদ a = ১, সাধারন অন্তর d = ২
∴ পদ সংখ্যা = শেষ পদ - ১ম পদ / সাধারন অন্তর + ১ = ৩১-১/২ + ১ = ১৬
∴ সমষ্টি = n² = ১৬^২ = ২৫৬

এখানে জোড় সংখ্যক পদের সমষ্টি = ০
এবং বিজোড়                           = a
∴ (2n + 1) বিজোড় সংখ্যা
∴ সমষ্টি = a