ব্যাংক ডেইলি কুইজ [লং কোর্সের অংশ]

Question: 7q² - (5q - 2)(4q + 3) = ?

Solution:
7q² - (5q - 2)(4q + 3)
= 7q² - {(5q × 4q) + (5q × 3) - (2 × 4q) - (2 × 3)}
= 7q² - (20q² + 15q - 8q - 6)
= 7q² - (20q² + 7q - 6)
= 7q² - 20q² - 7q + 6
= - 13q² - 7q + 6

Question: Which of the following is the polynomial equation 7x⁴ + 3x² - 2x + 1 = 0?

Solution:
প্রদত্ত বহুপদী সমীকরণটি x এর সাপেক্ষে।
x এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো 4 এবং তাই সমীকরণটির ঘাত 4
∴ এই সমীকরণটির মাত্রা (degree) হলো 4
সুতরাং, এটি একটি চতুর্ঘাত বা দ্বি-দ্বিঘাত সমীকরণ (Biquadratic equation)।

• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 1 হলে তা রৈখিক (linear) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে তা দ্বিঘাত (quadratic) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 3 হলে তা ত্রিঘাত (cubic) সমীকরণ।
• বহুপদীর সর্বোচ্চ ঘাত 4 হলে তা চতুর্ঘাত বা দ্বি-দ্বিঘাত (biquadratic) সমীকরণ।

Question: If α, β are the roots of the equation x² - 6x + 8 = 0, then α² + β² equals:

Solution:
x² - 6x + 8 = 0
=> x² - 4x - 2x + 8 = 0
=> x(x - 4) - 2(x - 4) = 0
=> (x - 4)(x - 2) = 0
=> x = 4, 2

Hence, α = 4, β = 2

Hence, The value of α² + β² = 4² + 2²
= 16 + 4
= 20

সুতরাং, α² + β² = 20

Question: The equation 4x² + 12px + 9 = 0 has real and equal roots, if-

Solution:
Given, 4x² + 12px + 9 = 0

Here a = 4, b = 12p, c = 9

যেহেতু প্রদত্ত সমীকরণটির বাস্তব ও সমান মূল আছে,
∴ b² - 4ac = 0
⇒ (12p)² - 4 × 4 × 9 = 0
⇒ 144p² - 144 = 0
⇒ 144p² = 144
⇒ p² = 1
⇒ p = ± 1

সুতরাং, p = 1 অথবা p = -1

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

Question:

Solution:

Question: If dividing P(x) = 2x³ + 5x² + ax - 7 by (x - 2) results in the remainder 15, then find the value of a.

Solution:
Dividing P(x) by (x - 2), we get the remainder P(2).

∴ P(2) = 2(2)³ + 5(2)² + a(2) - 7
= 2(8) + 5(4) + 2a - 7
= 16 + 20 + 2a - 7
= 29 + 2a

According to the question,
29 + 2a = 15
⇒ 2a = 15 - 29
⇒ 2a = -14
∴ a = - 7

Question: The quadratic equation whose one rational root is 4 + √3 is-

Solution:
ধরি, একটি মূল হলো 4 + √3
যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ এবং একটি মূলে মূলদ আছে, তাই অপর মূলটি হবে এর অনুবন্ধী (conjugate)।
অতএব, অপর মূলটি হলো 4 - √3

মূলদ্বয়ের যোগফল = (4 + √3) + (4 - √3) = 8

মূলদ্বয়ের গুণফল = (4 + √3)(4 - √3)
= 4² - (√3)²
= 16 - 3
= 13

আমরা জানি,
মূলদ্বয় α এবং β হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হয়:
x² - (α + β)x + α × β = 0

সুতরাং, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো,
x² - 8x + 13 = 0

Question: Find the degree of the polynomial 3x⁵ + 5x²y⁴ + 7y³ + 2.

Solution:
একটি বহুপদীর (polynomial), ঘাত (degree) হলো সেই বহুপদীর পদগুলির মধ্যে সর্বোচ্চ ঘাত। প্রতিটি পদের ঘাত হলো সেই পদের চলকগুলির (variables) ঘাতগুলির যোগফল।

এখন, প্রতিটি পদের ঘাত:
3x⁵ এর ঘাত = 5
5x²y⁴ এর ঘাত = 2 + 4 = 6
7y³ এর ঘাত = 3
2 এর ঘাত = 0

সর্বোচ্চ ঘাত = 6
সুতরাং, বহুপদীটির ঘাত (degree) = 6

Question: What are the roots of the equation √(x + 7) = x - 5 ?

Solution:
দেওয়া আছে,
√(x + 7) = x - 5
⇒ {√(x + 7)}² = (x - 5)² [উভয়পক্ষ বর্গ করে]
⇒ x + 7 = x² - 10x + 25
⇒ x² - 10x - x + 25 - 7 = 0
⇒ x² - 11x + 18 = 0
⇒ x² - 9x - 2x + 18 = 0
⇒ x(x - 9) - 2(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x - 2) = 0
⇒ x = 9 or x = 2

এখন মূলগুলো যাচাই করি:
যখন x = 2,
বাম পক্ষ: √(2 + 7) = √9 = 3
ডান পক্ষ: 2 - 5 = - 3
(3 ≠ - 3) ⇒ তাই x = 2 অতিরিক্ত মূল (বর্জনীয়)।

যখন x = 9,
বাম পক্ষ: √(9 + 7) = √16 = 4
ডান পক্ষ: 9 - 5 = 4
(4 = 4) ⇒ গ্রহণযোগ্য।

সুতরাং, সমীকরণটির একমাত্র মূল হলো x = 9

Question: The value of the polynomial 2y³ + 5y² - 7 when y = - 2 is?

Solution:
প্রদত্ত বহুপদী: 2y³ + 5y² - 7
যদি y = - 2 হয়, তবে y-কে - 2 দ্বারা প্রতিস্থাপন করি,
= 2 × (- 2)³ + 5 × (- 2)² - 7
= 2 × (- 8) + 5 × 4 - 7
= - 16 + 20 - 7
= 4 - 7
= - 3

∴ বহুপদীটির মান হলো - 3

Question: If α, β are the roots of the equation x² - 11x + 28 = 0, then αβ equals:

Solution:
x² - 11x + 28 = 0
⇒ x² - 7x - 4x + 28 = 0
⇒ x(x - 7) - 4(x - 7) = 0
⇒ (x - 7)(x - 4) = 0
⇒ x = 7, 4

Hence, α = 7, β = 4

Hence, The value of αβ = 7 × 4 = 28

∴ αβ = 28

Shortcut:
দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 এর মূলদ্বয় α এবং β হলে,
αβ = c/a [যেখানে, a হলো x²-এর সহগ এবং c ধ্রুবক পদ]
∴ αβ = 28/1 = 28