Math Master

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৮, ৪৫
১৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
৪৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ১৮, ৪৫ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৩১, ৪৩
৩১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩১ (৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা)
৪৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৪৩ (৪৩ একটি মৌলিক সংখ্যা)
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১

∴ ৩১, ৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (গ): ১২, ৩৩
১২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
৩৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ১১, ৩৩
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩

∴ ১২, ৩৩ সহমৌলিক নয়।

অপশন (ঘ): ২৭, ৯৯
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৯৯-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ২৭, ৯৯ সহমৌলিক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) ৩১, ৪৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়?

সমাধান:
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার অংকগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(ক) ৩৮১ ⇒ ৩ + ৮ + ১ = ১২ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(খ) ৬৮৪ ⇒ ৬ + ৮ + ৪ = ১৮ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)
(গ) ২৯৩ ⇒ ২ + ৯ + ৩ = ১৪ (৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়)
(ঘ) ১২৬ ⇒ ১ + ২ + ৬ = ৯ (৩ দ্বারা বিভাজ্য)

∴ ২৯৩ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়।

সঠিক উত্তর: (গ) ২৯৩

প্রশ্ন: n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, n = 3 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

অপশন ক) 2n + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) n² = 3² = 9 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) 3n + 1 = (3 × 3) + 1 = 9 + 1 = 10 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) 3n = 3 × 3 = 9 ⇒ বিজোড়

সঠিক উত্তর: (গ) 3n + 1

প্রশ্ন: ৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
৪, ০, ২, ৬ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৬৪২০
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৬

∴ এদের অন্তর = ৬৪২০ - ২০৪৬ = ৪৩৭৪

প্রশ্ন: পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার গড় ২৫ হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হলো (ক - ২), (ক - ১), ক, (ক + ১), (ক + ২)।

প্রশ্নমতে, সংখ্যাগুলোর গড় = ২৫

আমরা জানি, বিজোড় সংখ্যক ক্রমিক সংখ্যার গড়ই হলো তাদের মধ্যম সংখ্যা।

অতএব, ক = ২৫

সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো:
২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭

অতএব, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = ২৭

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হলো এমন সংখ্যা, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়। p/q, যেখানে p ও q উভয়ই পূর্ণ সংখ্যা এবং q ≠ 0.

• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) হলো যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সাধারণত পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ হয়।

ক) √৪৯ = ৭; এটি একটি পূর্ণ সংখ্যা, তাই মূলদ।
খ) √(১৬/২৫) = ৪/৫; এটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই মূলদ।
গ) ০.৬২৫ = ৬২৫/১০০০ = ৫/৮; এটি একটি সসীম দশমিক সংখ্যা এবং একে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √১৮ = √(৯ × ২) = ৩√২; যেহেতু ২ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, √১৮ একটি অমূলদ সংখ্যা। 

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) √১৮

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৩
বা, ২ক + ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৩ - ১
বা, ২ক = ৩২
বা, ক = ৩২/২
∴ ক = ১৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৬ + ১ = ১৭

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭, সেগুলো হলো: ৩৭, ৪৭, এবং ৬৭।

সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৫১

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৪২ থেকে যত বড়, ৮৩০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭৪২ = ৮৩০ - ক
বা, ক + ক = ৮৩০ + ৭৪২
বা, ২ক = ১৫৭২
বা, ক = ১৫৭২/২
∴ ক = ৭৮৬

অতএব, সংখ্যাটি ৭৮৬

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ২০ ও ১০০ এর মধ্যে ৩ ও ৪ দ্বারা বিভাজ্য মোট কয়টি সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সকল সংখ্যা ৩ ও ৪ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তারা অবশ্যই ৩ ও ৪ এর লসাগু দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

২০ ও ১০০ এর মধ্যে ১২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
১২ × ২ = ২৪
১২ × ৩ = ৩৬
১২ × ৪ = ৪৮
১২ × ৫ = ৬০
১২ × ৬ = ৭২
১২ × ৭ = ৮৪
১২ × ৮ = ৯৬

সংখ্যাগুলো হলো: ২৪, ৩৬, ৪৮, ৬০, ৭২, ৮৪ এবং ৯৬

∴ মোট সংখ্যা আছে ৭টি।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো হলো পর্যায়ক্রমিক।

২১০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করি:
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭

এখন, এই উৎপাদকগুলো থেকে তিনটি ধারাবাহিক সংখ্যা তৈরি করি:
৫ × (২ × ৩) × ৭ = ২১০
⇒ ৫ × ৬ × ৭ = ২১০

এখানে সংখ্যা তিনটি হলো ৫, ৬ এবং ৭।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫ + ৬ + ৭
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
ক) √০.৩ = ০.৫৪৭৭

খ) ০.৩ = ০.৩

গ) ০.২ = ০.২

ঘ) √০.২ = ০.৪৪৭২

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = √০.৩

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৫' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৫ আছে: ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৫৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫, ৯৫ (১০টি)
দশকের স্থানে ৫ আছে: ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯ (১০টি)

৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) আছে। উপরের তালিকা দুটিতে ৫৫ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৫-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৫ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৪ এবং তাদের বিয়োগফল ১২। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y।

শর্তমতে,
x + y = ৫৪ .......... (১)
x - y = ১২ .......... (২)

এখন, সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করি,
(x + y) + (x - y) = ৫৪ + ১২
⇒ ২x = ৬৬
⇒ x = ৬৬/২
∴ x = ৩৩

∴ বড় সংখ্যাটি ৩৩

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগশেষ ভাজকের এক-চতুর্থাংশ এবং ভাগফল ভাজকের দ্বিগুণ। ভাজক ১২ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, ভাজক = ১২
ভাগশেষ = ভাজকের এক-চতুর্থাংশ = ১২/৪ = ৩
ভাগফল = ভাজকের দ্বিগুণ = ১২ × ২ = ২৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (১২ × ২৪) + ৩
= ২৮৮ + ৩
= ২৯১

∴ ভাজ্য = ২৯১

প্রশ্ন: ১২০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১২০ এর মৌলিক গুণনীয়ক রূপ বের করি:
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১

এখানে ২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ১ এবং ৫ এর সূচক ১।

ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র:
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে সেটিই ভাজক সংখ্যা।
∴ ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২
= ১৬
অর্থাৎ, ১২০ এর মোট ১৬টি ভাজক আছে।

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যাকে পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত (power) অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে।

১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১

এখানে ২ এর ঘাত ৩ (বিজোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৫ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ২ × ৩ × ৫ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১০৮০ × ৩০ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: ০.০০৮১ এর বর্গমূল কত?

সমাধান:
০.০০৮১ এর বর্গমূল = √(০.০০৮১)
= √(৮১/১০০০০)
= ৯/১০০
= ০.০৯