Bank Math Master

Question: If a + (1/a) = 4, what is the value of a³ + (1/a³)?

Solution:
দেওয়া আছে, a + (1/a) = 4

আমরা জানি,
a³ + (1/a³)
= {a + (1/a)}³ - 3 × a × (1/a) × (a + 1/a)
= (4)³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

Question: In a group of 150 people, 90 people read Newspaper A, 65 people read Newspaper B, and 30 people read both Newspaper A and Newspaper B. How many people read neither Newspaper A nor Newspaper B?

Solution:
মোট লোক = 150
A পত্রিকা পড়ে, n(A) = 90
B পত্রিকা পড়ে, n(B) = 65
উভয়টি পড়ে, n(A ∩ B) = 30

∴ কমপক্ষে একটি পত্রিকা পড়ে, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
= 90 + 65 - 30
= 125

∴ যারা কোনটিই পড়ে না = মোট লোক - যারা কমপক্ষে একটি পড়ে
= 150 - 125
= 25

∴ 25 জন কোন পত্রিকাই পড়ে না।

Question: What will be the number in the question mark?
3, 7, 15, 27, 43, ?

Solution:
প্রদত্ত ধারাটি হলো: 3, 7, 15, 27, 43, ?
ধারার সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি:
7 - 3 = 4
15 - 7 = 8
27 - 15 = 12
43 - 27 = 16

এখানে, প্রতিবার পার্থক্য 4 করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
∴ পরবর্তী পার্থক্য হবে = 16 + 4 = 20
∴ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = 43 + 20 = 63

অতএব, প্রশ্নবোধক স্থানে 63 বসবে।

Shortcut: 3 (+4)→ 7 (+8)→ 15 (+12)→ 27 (+16)→ 43 (+20) → 63.

Question: If x² - 6x + 8 < 0, then solve the inequality.

Solution:
x² - 6x + 8 < 0
⇒ x² - 2x - 4x + 8 < 0
⇒ x(x - 2) - 4(x - 2) < 0
⇒ (x - 2)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল শূন্যের চেয়ে ছোট হওয়ার শর্ত হলো, একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।
∴ অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।

x - 2 > 0 অর্থাৎ, x > 2
x - 4 < 0 অর্থাৎ, x < 4

∴ অসমতার সমাধান হলো 2 < x < 4

Question: If A = 1, B = 4, C = 7, and so on, what is the meaning of the following numbers: 46, 13, 1, 52, 34?

Solution:
দেয়া আছে, A = 1, B = 4, C = 7, .....

∴ প্রতিটি কোড = (অক্ষরের অবস্থান × 3) - 2
∴ ডিকোডিং নিয়মটি হবে: অক্ষরের অবস্থান = (কোড + 2)/3

এখন, 
(46 + 2)/3 = 48/3 = 16 → P
(13 + 2)/3 = 15/3 = 5 → E
(1 + 2)/3 = 3/3 = 1 → A
(52 + 2)/3 = 54/3 = 18 → R
(34 + 2)/3 = 36/3 = 12 → L

∴ সংখ্যাগুলির অর্থ হলো PEARL

Question: If A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 8} and B = {x ∈ N: x is an odd number and x < 10}, what is the value of A ∩ B?

Solution:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : 3 ≤ x < 8}
এখানে, x এর মান 3 এর সমান বা বড় এবং 8 এর ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6, 7}

আবার,
B = {x ∈ N : x বিজোড় সংখ্যা এবং x < 10}
x স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা যা 10 এর ছোট।
∴ B = {1, 3, 5, 7, 9}

প্রদত্ত রাশি, A ∩ B
= {3, 4, 5, 6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
= {3, 5, 7}

অতএব, A ∩ B এর মান হলো {3, 5, 7}।

Question: A sequence of numbers a₁, a₂, a₃, …, a_n is generated by the rule a_{n + 1} = 3a_n. If a₅ - a₄ = 48, then what is the value of a₅?

সমাধান:
প্রদত্ত অনুক্রমের নিয়মটি হলো: a_n+1 = 3a_n
n = 4 বসালে পাই,
a_{4 + 1} = 3a₄
⇒ a₅ = 3a₄ 

প্রশ্নমতে,
a₅ - a₄ = 48
⇒ 3a₄ - a₄ = 48
⇒ (3 - 1)a₄ = 48
⇒ 2a₄ = 48
⇒ a₄ = 48/2
⇒ a₄ = 24

এখন,
a₅ = 3a₄
⇒ a₅ = 3 × 24
⇒ a₅ = 72

অতএব, a₅ এর মান হলো 72

Question: If a + b = √13 and a - b = √5, what is the value of 8ab(a² + b²)?

Solution:
দেওয়া আছে,
a + b = √13
a - b = √5

আমরা জানি,
2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
4ab = (a + b)² - (a - b)²

এখন,
8ab(a² + b²) = (4ab) × 2(a² + b²)
= [(a + b)² - (a - b)²][(a + b)² + (a - b)²]
= [(√13)² - (√5)²][(√13)² + (√5)²]
= (13 - 5)(13 + 5)
= (8)(18)
= 144

Question: There are 8 black, 5 red and 7 green marbles in a jar. If a marble is picked at random, what is the probability of having either a black or a green marble?

Solution:
মোট মার্বেলের সংখ্যা = 8 + 5 + 7 = 20

কালো মার্বেল পাওয়ার সম্ভাবনা, P(Black) = 8/20

সবুজ মার্বেল পাওয়ার সম্ভাবনা P(Green) = 7/20

যেহেতু কালো এবং সবুজ মার্বেল পাওয়া দুটি বিচ্ছিন্ন (mutually exclusive) ঘটনা,
∴ কালো অথবা সবুজ মার্বেল পাওয়ার সম্ভাবনা (P(Black or Green) = P(Black) + P(Green)
= 8/20 + 7/20
= (8 + 7) / 20 = 15/20
= 3/4

অতএব, কালো অথবা সবুজ মার্বেল পাওয়ার সম্ভাবনা হলো 3/4।

• Shortcut:
মোট মার্বেলের সংখ্যা = 8 + 5 + 7 = 20
অনুকূল ঘটনা = কালো + সবুজ = 8 + 7 = 15টি
∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা = 15/20 = 3/4

Question: A person walks 7 meters towards east, 4 meters towards north, then 4 meters towards west. What is the direct distance of the destination from the starting point?

Solution:

ধরি, যাত্রা শুরু করার স্থান A এবং গন্তব্যের স্থান B।
সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় করতে, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করব।
এখানে, অতিক্রান্ত মোট উল্লম্ব দূরত্ব (উত্তর দিকে) হলো 4 মিটার।
এবং অতিক্রান্ত মোট অনুভূমিক দূরত্ব (পূর্ব ও পশ্চিমের পার্থক্য) হলো (7 - 4) = 3 মিটার।

সুতরাং,
AB² = (মোট অনুভূমিক দূরত্ব)² + (মোট উল্লম্ব দূরত্ব)² [অতিভুজ² = ভূমি² + লম্ব²]
⇒ AB² = (3)² + (4)²
⇒ AB² = 9 + 16
⇒ AB² = 25
⇒ AB = 5 মিটার

∴ সরাসরি দূরত্ব 5 মিটার।

Question: If the sum of two numbers is 20 and the sum of their squares is 208, then what is the product of the two numbers?

Solution:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y।
দেওয়া আছে,
x + y = 20
x² + y² = 208

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (20)² = 208 + 2xy
⇒ 400 = 208 + 2xy
⇒ 2xy = 400 - 208
⇒ 2xy = 192
⇒ xy = 192 / 2
∴ xy = 96

সুতরাং, সংখ্যা দুটির গুণফল হলো 96.

Question: A fair coin is tossed 3 times. What is the probability of getting exactly two tails?

Solution:
একটি মুদ্রা 3 বার ছুঁড়লে মোট সম্ভাব্য ফলাফল (Total outcomes) হলো 2³ = 8 টি।
মোট ফলাফল (S) = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
মোট ফলাফলের সংখ্যা, n(S) = 8

'ঠিক দুটি টেইল' (exactly two tails) এর অনুকূল ফলাফল, E = {HTT, THT, TTH}
∴ অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা, n(E) = 3

∴ সম্ভাবনা (Probability) = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/মোট ফলাফল
P(E) = n(E)/n(S)
P(E) = 3/8

অতএব, ঠিক দুটি টেইল পাওয়ার সম্ভাবনা হলো 3/8।

Question: Which number replaces the question mark?

Solution:
এই পিরামিডের ক্ষেত্রে,
উপরে থাকা প্রতিটি সংখ্যা তার সরাসরি নিচের দুটি সংখ্যার পার্থক্যের সমান।
অর্থাৎ, প্রতিটি সংখ্যা = নিচের বাম সংখ্যা - নিচের ডান সংখ্যা
এখানে,
65 = 110 - 45
27 = 45 - 18
38 = 65 - 27
15 = 27 - 12
23 = 38 - 15

যেহেতু, 12 = 18 - ?
∴ ? = 18 - 12 = 6
সুতরাং, প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে 6 বসবে।

Question: For a geometric sequence, the first term a = 5 and the common ratio r = 3. What is the sum of the first 4 terms?

Solution:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটির, প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 3
পদের সংখ্যা, n = 4
যেহেতু r = 3 > 1,

∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টির সূত্র:
S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
∴ S₄ = 5(3⁴ - 1)/(3 - 1)
= 5(81 - 1)/2
= 5 × 80/2
= 5 × 40
= 200

অতএব, প্রথম 4টি পদের সমষ্টি হলো 200।

Question:

Solution:

Question: If m is the average of the first 7 positive multiples of 4 and if M is the median of the first 7 positive multiples of 4, what is the value of M - m?

Solution:
4-এর প্রথম 7টি ধনাত্মক গুণিতক হলো= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}
(এখানে পদের সংখ্যা, n = 7)

ধাপ 1: গড় (m) নির্ণয়:
যেহেতু এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression), গড় হলো প্রথম ও শেষ পদের গড়।
m = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/2
∴ m = (4 + 28)/2 = 32/2 = 16

ধাপ 2: মধ্যমা (M) নির্ণয়:
যেহেতু পদসংখ্যা বিজোড় (n = 7),
∴ মধ্যমা হবে (7 + 1)/2 বা 4র্থ পদ।
4র্থ পদ = 16
∴ M = 16

ধাপ 3: M - m এর মান নির্ণয়:
M - m = 16 - 16
∴ M - m = 0

অতএব, M - m এর মান হলো 0।

Shortcut:
যেহেতু 4-এর গুণিতকগুলো একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) তৈরি করে, তাই যেকোনো সমান্তর ধারার ক্ষেত্রে গড় (m) এবং মধ্যমা (M) সর্বদা সমান হয়। অতএব, M - m = 0 হবে।

Question: A clock gains (moves ahead) 20 minutes each day. How many days will it take to reach a point where the clock will indicate the correct time?

Solution:
একটি ঘড়িকে পুনরায় সঠিক সময় দেখাতে হলে তাকে 12 ঘণ্টা সময় এগিয়ে যেতে হবে।
কারণ একটি 12 ঘণ্টার ঘড়িতে যখন সঠিক সময় থেকে 12 ঘণ্টা সময় এগিয়ে যাবে, তখন এটি আবার সঠিক সময় নির্দেশ করবে।

12 ঘণ্টা = 12 × 60 মিনিট = 720 মিনিট

এখন, যেহেতু ঘড়িটি প্রতিদিন 20 মিনিট করে সময় এগিয়ে যায়,
20 মিনিট সময় এগিয়ে যায় 1 দিনে
∴ 720 মিনিট সময় এগিয়ে যাবে = (1/20) × 720 দিনে
= 36 দিনে

∴ 36 দিন পর ঘড়িটি আবার সঠিক সময় দেখাবে।

Question: What is the sum of the following sequence: 5, 12, 19, 26, ... , 54?

Solution:
এটি একটি সমান্তর ধারা (arithmetic series)।
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 12 - 5 = 7
শেষ পদ= 54

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 54 = 5 + (n - 1)7
⇒ 49 = 7(n - 1)
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 8

সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
∴ S₈ = (8/2){2(5) + (8 - 1)7}
= 4{10 + (7 × 7)}
= 4{10 + 49}
= 4 × 59
= 236

অতএব, প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি হলো 236।