প্রাইমারি ডেইলি কুইজ

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + .......... ধারাটির 8তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n = 8

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = 5 + (8 - 1)3
= 5 + (7 × 3)
= 26

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 36 ও 9 হলে, ধারাটির চতুর্থ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 36
দ্বিতীয় পদ = 9

∴ অনুপাত, r = 9/36
= 1/4

∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
= 36 × (1/4)³
= 36/64
= 9/16

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 9/16.

প্রশ্ন: 5 + 9 + 13 + 17 + ........ ধারাটির প্রথম 13 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n  সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
প্রদত্ত ধারাটির 17 টি পদের সমষ্টি = (13/2){(2 × 5) + (13 - 1)4}
= (13/2){10 + (12 × 4)}
= (13/2)(10 + 48)
= (13/2) × 58 
= 377

প্রশ্ন: ২৫৬ + ৬৪ + ১৬ + .......... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/২৫৬ = ১/৪
∴ সাধারণ পদ = ar^{(n - 1)}
= ২৫৬ × (১/৪)^(n-1)
= ২৫৬ × ১/৪^(n-1)
= ২৫৬/৪^(n-1)
= ২^(৮)/২^{২(n-1)}
= ২^৮/২^(২n-২)
= ২^{{৮ - (২n - ২)}}
= ২^{{৮ - ২n + ২}}
= ২^{(১০ - ২n)}
= ২^{(১০ - ২n)}

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d 

∴ 10তম পদ,
a + (10 - 1)d = 77
∴ a + 9d = 77

এখন, প্রথম 19 টি পদের সমষ্টি,
= (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 77
= 1463

প্রশ্ন: 80 + 74 + 68 + …… - 16 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 80
সাধারণ অন্তর, d = 74 - 80 = - 6
প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 16
⇒ 80 + (n - 1)(- 6) = - 16
⇒ 80 - 6n + 6 = - 16
⇒ 86 - 6n = - 16
⇒ 6n = 86 + 16
⇒ 6n = 102
⇒ n = 102/6
∴ n = 17

আমরা জানি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (17/2){2a + (n - 1)d}
= (17/2){2 × 80 + (17 - 1)(-6)}
= (17/2){160 + (- 96)}
= (17/2)(160 - 96)
= (17/2) × 64
= 17 × 32
= 544

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ……. + 20² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= [20 × (20 + 1){(2 × 20) + 1}]/6
= (20 × 21 × 41)/6 
= 17220/6
= 2870

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a r^{(n - 1)}
∴ 9 - তম পদ = 3 × 2^{(9 - 1)}
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

প্রশ্ন: 5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = (- 10)/5 = - 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n টি পদের সমষ্টি,
S_n = {a (1 - rⁿ)}/(1 - r)

∴ S₅ = [5{1 - (- 2)⁵ }]/{1 - (- 2)}
= {5 × (1 + 32)}/3
= 165/3
= 55

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 22টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)

প্রথম 22টি পদের সমষ্টি = 22(22 + 1)
= 22 × 23
= 506

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 3 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

প্রশ্ন: 2a + 2, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 2
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 2) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 2)
⇒ 10 = 4a + 4
⇒ 4a = 10 - 4
⇒ 4a = 6
⇒ a = 6/4
⇒ a = 3/2

প্রশ্ন: কোন গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ ৮ এবং সাধারণ অনুপাত ১/২ হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = ১/২
এবং
চতুর্থ পদ = ৮

প্রশ্নমতে,
a × (১/২)^(৪-১) = ৮
⇒ a × (১/২)^৩ = ৮
⇒ a × (১/৮) = ৮
⇒ a = ৮ × ৮
⇒ a = ৬৪

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
তৃতীয় পদ = 20
∴ a + (3 - 1)d = 20
⇒ a + 2d = 20
⇒ a = 20 - 2d

অষ্টম পদ = 45
⇒ a + (8 - 1)d = 45
⇒ (২০ - 2d) + 7d = 45
⇒ ২০ + 5d = 45
⇒ 5d = 45 - ২০
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

প্রশ্ন: 13 + 20 + 27 + 34 +..................+ 104 ধারাটির পদ সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 20 - 13 = 7
ধরি,
পদসংখ্যা = n
এবং n-তম পদ = 104

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d 

সুতরাং,
a + (n - 1)d  = 104
⇒ 13 + (n - 1)7 = 104
⇒ 13 + 7n - 7 = 104
⇒ 7n + 6 = 104
⇒ 7n = 104 - 6
⇒ 7n = 98
⇒ n = 98/7
⇒ n = 14

অর্থাৎ ধারাটির পদসংখ্যা = 14 

প্রশ্ন: log9 + log81 + log729 +................ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log9 + log81 + log729 +................
= log9 + log9² + log9³ +................ 
= log9 + 2log9 + 3log9 +................ 
= (1 + 2 + 3.............) log9

এখন, (1 + 2 +3.............) ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি 
= {20 × (20 + 1)}/2
= 420/2
= 210

∴ ধারাটির প্রথম 20 টি পদের সমষ্টি =  210log9 = (210 × 2)log3 
= 420log3

প্রশ্ন: প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (5 × 11)²
= (55)²
= 3025

প্রশ্ন: x + (x + 1) + (x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (x + 1) + (x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 14/2 {2x + (14 - 1)1}
= 7(2x + 13)
= 14x + 91

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।