ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: যদি a² + b² + c² + 3 = 2(a + b + c) হয়, তাহলে (a + b + c) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² + c² + 3 = 2(a + b + c)
⇒ a² + b² + c² + 3 = 2a + 2b + 2c
⇒ (a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (c² - 2c + 1) = 0
⇒ (a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0

আমরা জানি, 
কতগুলো রাশির বর্গের সমষ্টি যদি শূন্য হয়, তাহলে প্রত্যেক পদের বর্গও শূন্য হবে। অর্থাৎ, 
(a - 1)² = 0
⇒ a - 1 = 0
∴ a = 1 
একইভাবে, b = 1, c = 1

প্রদত্ত রাশি, 
a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3
∴ a + b + c = 3

প্রশ্ন: 16x³ - 46x² + 15x কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন-

সমাধান: 
16x³ - 46x² + 15x
= x(16x² - 46x + 15)
= x(16x² - 40x - 6x + 15)
= x {8x(2x - 5) - 3(2x - 5)}
= x(2x - 5)(8x - 3)

প্রশ্ন: 2x + 5y = 13 এবং 3x - 2y = 10 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2x + 5y = 13 ......... (1)
3x - 2y = 10 ........ (2)

এখন, (1) নং সমীকরণকে 2 দিয়ে এবং (2) নং সমীকরণকে 5 দিয়ে গুণ করে যোগ করি,
2(2x + 5y) + 5(3x - 2y) = 2 × 13 + 5 × 10
⇒ 4x + 10y + 15x - 10y = 26 + 50
⇒ (4x + 15x) + (10y - 10y) = 76
⇒ 19x = 76
⇒ x = 76/19
∴ x = 4 

প্রশ্ন: 5x - 3 ≤ 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 5x - 3 ≤ 12
⇒ 5x - 3 + 3 ≤ 12 + 3
⇒ 5x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/5
∴ x ≤ 3

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: 4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
4a² - 12ab + 9b² - 4c²
= (4a² - 12ab + 9b²) - 4c²
= {(2a)² - 2. 2a . 3b + (3b)²} - (2c)²
= (2a - 3b)² - (2c)²
= (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c) 

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x - 9 > 3x + 1

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 9 > 3x + 1
⇒ x - 9 + 9 > 3x + 1 + 9
⇒ x > 3x + 10
⇒ x - 3x > 3x + 10 - 3x
⇒ - 2x > 10
⇒ (- 2x)/(- 2) < 10/(- 2) ; [উভয়পক্ষকে - 2 দ্বারা ভাগ করায় অসমতার দিক পাল্টে গেছে]
∴ x < - 5

∴ নির্ণেয় সমাধান x < - 5

প্রশ্ন: a + b + c = 17 এবং a² + b² + c² = 93 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
এবং a² + b² + c² = 93

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
= (17)² - 93
= 289 - 93
= 196
⇒ 2(ab + bc + ac) = 196
∴ ab + bc + ac = 196/2 = 98

প্রশ্ন: x³ - 3xy² + 2y³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন- 

সমাধান:
এখানে, x কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে
 ধরি, f(x) = x³ - 3xy² + 2y³
তাহলে, f(y) = y³ - 3y . y² + 2y³ = 3y³ - 3y³ = 0 
∴ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক
এখন,
x³ - 3xy² + 2y³
= x³ - x²y + x²y - xy² - 2xy² + 2y³
 = x²(x - y) + xy(x - y) - 2y²(x - y)
= (x - y)(x² + xy - 2y²)

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 2 বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 কম হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্কটি x এবং একক স্থানীয় অঙ্কটি = x + 2
∴ সংখ্যাটি 10x + (x + 2) = 11x + 2

অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে পরিবর্তিত সংখ্যাটি = 10(x + 2) + x  =  11x + 20

প্রশ্নমতে,
11x + 20 = 2(11x + 2) - 6
⇒ 11x + 20 = 22x + 4 - 6 
⇒ 22x - 11x = 20 + 6 - 4 ; [পক্ষান্তর করে]
⇒ 11x = 22
⇒ x = 2

∴ সংখ্যাটি = 11x + 2 = 11 × 2 + 2 = 24

প্রশ্ন: 2x² - 4x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 2x² - 4x + 3 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 2
b = - 4
c = 3
এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
 নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (- 4)² - 4 × 2 × 3
= 16 - 24
= - 8 < 0
যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান ঋনাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই। অর্থাৎ কাল্পনিক। 
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

বি: দ্র:
ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে
1) b² -  4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে। 
3) b² - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a³ + b³ + 4(a - b)² এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 . 6 . 5
= 125 - 90
= 35
∴ a³ + b³ = 35 .......(1)
এবং
(a - b)² = (a + b)² - 4ab = (5)² - 4 . 6 = 25 - 24
∴ (a - b)² = 1 ........(2)

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 4(a - b)²
= 35 + 4 . 1
= 39

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 21x - 20

সমাধান: 
ধরি, 
f(x) = x³ - 21x - 20
এখন, x = - 1 হলে, 
f(- 1) = (- 1)3 - 21(- 1) - 20 = - 1 + 21 - 20 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
এখন, 
x³ - 21x - 20
= x³ + x² - x² - x - 20x - 20
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 20)
= (x + 1)(x + 4)(x - 5)

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 200 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'x' টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - x) টি।

প্রশ্নমতে,
x × 1 + (120 - x) × 2 = 200
⇒ x + 240 - 2x = 200
⇒ x = 240 - 200
∴ x = 40

সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 40 টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - 40) = 80 টি।

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।এখন, f(2) এর মান নির্ণয় করি,
f(2) = (2)³ - 3(2)² + a(2) - 6
= 8 - 3(4) + 2a - 6
= 8 - 12 + 2a - 6
= - 4 + 2a - 6
= 2a - 10

শর্তমতে,
f(2) = 0
⇒ 2a - 10 = 0
⇒  2a = 10
∴ a = 5

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y
প্রদত্ত শর্তমতে,
x + y = 98 .....(1)

এবং, 
ছোট সংখ্যা বড় সংখ্যার 2/5 গুণ। অর্থাৎ, y = 2x/5 

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
x + (2x/5) = 98
⇒ (5x + 2x)/5 = 98
⇒ 7x = 98 × 5
⇒ x = (98 × 5)/5
∴ x = 70

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = 70

প্রশ্ন: a > b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a > b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।
একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।
a > b 
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c < b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac < bc