Math Master

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩০, ৪৫ ও ৬১ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩ ও ৫ ভাগশেষ হবে?

সমাধান:
এখানে,
৩০ - ২ = ২৮
৪৫ - ৩ = ৪২
৬১ - ৫ = ৫৬

সুতরাং, ২৮, ৪২, ৫৬ এর গ.সা.গু = ১৪

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি ১৪

প্রশ্ন: একজন চাকরিজীবীর বেতনের ১/৫ অংশ কাপড় ক্রয়ে, ১/১০ অংশ খাদ্য ক্রয়ে এবং ১/৪ অংশ বাসা ভাড়া ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
তার মোট ব্যয় = (১/৫) + (১/১০) + (১/৪)
= (৪ + ২ + ৫)/২০
= ১১/২০

তার মোট আয় = ১ অংশ

∴ অবশিষ্ট রইল = ১ - (১১/২০) = (২০ - ১১)/২০ = ৯/২০ অংশ

∴ তার আয়ের শতকরা অবশিষ্ট রইল = (৯/২০) × ১০০%  = ৪৫%

প্রশ্ন: বার্ষিক (৭/২)% হার সরল সুদে ৪০০০ টাকা কত বছরে সুদ-আসলে ৪৭০০ টাকা হবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি বই ৬০ টাকায় বিক্রি করলে ২৫% ক্ষতি হয়। কত টাকায় বিক্রি করলে ৩০% লাভ হবে?

সমাধান:
২৫% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ২৫) টাকা = ৭৫ টাকা

আবার,
৩০% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ৩০) টাকা = ১৩০ টাকা

এখন,
∴ বিক্রয়মূল্য ৭৫ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৩০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = ১৩০/৭৫ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ৬০ টাকা হলে বিক্রয় করতে হবে = (১৩০ × ৬০)/৭৫ = ১০৪ টাকা

∴ ১০৪ টাকায় বিক্রয় করলে ৩০% লাভ হবে।

প্রশ্ন: রিয়ার বোনের বয়স রিয়ার বয়স এবং তাদের মায়ের বয়সের মধ্য সমানুপাতী। রিয়ার বয়স ১৫ বছর এবং মায়ের বয়স ৬০ বছর হলে, বোনের বয়স কত?

সমাধান:
ধরি,
রিয়ার বোনের বয়স 'ক' বছর

শর্তমতে,
রিয়া : তার বোন = তার বোন : মা
⇒ ১৫ : ক = ক : ৬০
⇒ ক^২ = ৬০ × ১৫
⇒ ক^২ = ৯০০
⇒ ক^২ = ৩০^২
∴ ক = ৩০

∴ রিয়ার বোনের বয়স ৩০ বছর।

প্রশ্ন: 3√3a³ + 64 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
3√3a³+ 64
= (√3 × √3 × √3)a³ + 64 [ কারণ, √3 × √3 = (√3)² = 3 ]
= (√3a)³ + 4³
= (√3a + 4)(3a² - 4√3a + 16)

প্রশ্ন: ∣3x - 2∣ < 4 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
∣3x - 2∣ < 4
বা, - 4 < 3x - 2 < 4
বা, - 4 + 2 < 3x - 2 + 2 < 4 + 2
বা, - 2 < 3x < 6
বা, - 2/3 < x < 2

∴ - 2/3 < x < 2

প্রশ্ন: log₂3 + log₂(a + 1) = log₂(a + 2) + 1 হলে , a এর মান কত?

সমাধান:
log₂3 + log₂(a + 1) = log₂(a + 2) + 1
⇒ log₂3 + log₂(a + 1) = log₂(a + 2) + log₂2
⇒ log₂{3(a + 1)} = log₂{2(a + 2)}
⇒ log₂(3a + 3) = log₂(2a + 4)
⇒ 3a + 3 = 2a + 4
⇒ 3a - 2a = 4 - 3
⇒ a = 1
∴ a = 1

প্রশ্ন: যদি একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 5 এবং 4-তম পদ 17 হয়, তবে 15-তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
সাধারণ অন্তর, d = 5
৪র্থ পদ, a₄ = 17

আমরা জানি,
n তম পদ, a_n ​= a + (n - 1)d
৪র্থ তম পদ , a + (4 - 1)5 = 17
⇒ a + 15 = 17
⇒ a = 17 - 15
∴ a = 2

∴ 15-তম পদ = 2 + (15 - 1)5
= 2 + 70
= 72

প্রশ্ন: "COMPUTER" শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যেতে পারে, যদি সব স্বরবর্ণ (O, U, E) একসাথে থাকে?

সমাধান:
COMPUTER শব্দটির মোট অক্ষর আছে = 8 টি (C, O, M, P, U, T, E, R)
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি (O, U, E)
ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = 5 টি (C, M, P, T, R)

এখন,
COMPUTER শব্দে স্বরবর্ণ আছে 3 টি (O, U, E)
∴ স্বরবর্ণগুলোকে সাজানো যাবে = 3! = 6 ভাবে।

আবার,
স্বরবর্ণ (O, U, E)গুলোকে একত্রে ধরলে অক্ষর হয় = OUE, C, M, P, T, R
এই 6 টি বর্ণকে সাজানো যাবে = 6!
= 720 ভাবে

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস = (720 × 6)
= 4320

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০১৬ সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০১৬ সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট দিন = ৭ দিন
এই সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৫ দিন 
∴ বৃষ্টি হয়নি = ৭ − ৫ = ২ দিন

সোমবার বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা কত = বৃষ্টি না হবার দিন/মোট দিন
= ২/৭

প্রশ্ন: উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় ক- বিভাগ ও খ-বিভাগে প্রতিটিতে ৫ টি করে সৃজনশীল প্রশ্ন আছে। প্রতি বিভাগ থেকে অন্তত দুইটি করে মোট ৫ টি প্রশ্নের উত্তর কতভাবে দেয়া যাবে?

সমাধান:
দেওয়াআছে,
ক-বিভাগে = ৫টি প্রশ্ন
খ-বিভাগে = ৫টি প্রশ্ন
মোট ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে
শর্ত প্রতি বিভাগ থেকে অন্তত ২টি প্রশ্ন নিতে হবে

১ম ক্ষেত্রঃ ক-বিভাগ থেকে ২, খ-বিভাগ থেকে ৩ 
∴ বাছাই করা যায় উপায় = ^৫C_২ × ^৫C_৩ = ৫!/২!(৫ - ২)! × ৫!/৩!(৫ - ৩)! = ১০ × ১০ = ১০০

২য় ক্ষেত্রঃ ক-বিভাগ থেকে ৩, খ-বিভাগ থেকে ২ 
∴ বাছাই করা যায় উপায় = ^৫C_৩ × ^৫C_২ = ১০ × ১০ = ১০০

∴ মোট উপায় = ১০০ + ১০০ = ২০০

প্রশ্ন: ৪২° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান:
৪২° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪২°
= ১৩৮°

∴ ১৩৮° কোণের এক-তৃতীয়াংশ = ১৩৮°/৩
= ৪৬°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। যদি প্রতি বর্গমিটার ঘাস লাগাতে ৮ টাকা খরচ হয় এবং মোট খরচ ২১,৬০০ টাকা হয়, তবে মাঠটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রস্থ = ক মিটার
তাহলে দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

∴ ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ক × ৩ক = ৩ক^২

আবার,
৮ টাকা খরচ হয় = ১ বর্গমিটারে
২১,৬০০ টাকা হয় = ২১,৬০০/৮ = ২৭০০ বর্গমিটারে

শর্তমতে,
⇒ ৩ক^২ = ২৭০০
⇒ ক^২ = ২৭০০/৩
⇒ ক^২ = ৯০০
⇒ ক = √৯০০
∴ ক = ৩০

∴  প্রস্থ = ৩০ মিটার
এবং দৈর্ঘ্য = ৩ × ৩০ = ৯০ মিটার

∴  পরিসীমা = ২ × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২ × (৯০ + ৩০) = ২৪০ মিটার

প্রশ্ন: যদি A = 30° হয় তবে (1 - tan²A)/(1 + tan²A) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 30°

এখন,
(1 - tan²A)/(1 + tan²A)
= {1 - (tan30°)²}/{1 + (tan30°)²}
= {1 - (1/√3)²}/{1 + (1/√3)²}
= {1 - (1/3)}/{1 + (1/3)}
= (2/3)/(4/3)
= (2/3)/(3/4)
= 1/2

প্রশ্ন: 24 মিটার উঁচু একটি গাছ h উচ্চতায় এমনভাবে ভেঙে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি সম্পূর্ণ আলাদা না হয়ে মাটির সাথে 30° কোণে মিলিত হলো। গাছটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:


মনে করি,
AD = 12 মিটার একটি গাছ AC = h উচ্চতায় ভেঙ্গে ভূমির সাথে ∠ABC = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য, CD = BC = (24 - h) মিটার

△ABC ত্রিভুজ হতে পাই,
sin∠ABC = AC/BC
⇒ sin30° = AC/BC
⇒ 1/2 = h/(24 - h)
⇒ 2h = 24 - h
⇒ 2h + h = 24
⇒ 3h = 24
∴ h = 8

∴ ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (24 - 8) মিটার
= 16 মিটার