ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা?

সমাধান: 
প্রথম টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৩ - ১
= ২

দ্বিতীয় টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অনুপাত = ৪/৮
= ১/২ 

তৃতীয়টির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ১২ - ১০ 
= ২

চতুর্থটির ক্ষেত্রে, সাধারণ অন্তর = ৯০ - ১০০ 
= - ১০ 

অতএব, সঠিক উত্তর খ। 

প্রশ্ন: প্রথম ২৫ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
সুতরাং প্রথম ২৫ টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = ২৫(২৫ + ১)/২
= (২৫ × ২৬)/২
= ২৫ × ১৩ 
= ৩২৫  

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ২৫তম পদ এবং ২০তম পদের মানের পার্থক্য ৪৫ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে,
২৫তম পদ = a + 24d
এবং ২০তম পদ = a + 19d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 24d - a - 19d = 45
⇒ 5d = 45
⇒ d = 9

প্রশ্ন: প্রথম ৫০ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ৫০ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² + n
প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি = n² 

প্রথম n সংখ্যক জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার সমষ্টি এর পার্থক্য = n² + n - n² 
= n 

∴ প্রথম ৫০ টি জোড় সংখ্যার সমষ্টি ও প্রথম ৫০ টি বিজোড় সংখ্যার সমষ্টির মধ্যে পার্থক্য = ৫০

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + 17 ------ ধারাটির কোন পদ 362?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 5;
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 11- 8
= 14 - 11
= 3; সুতরাং ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 362
আমরা জানি, n তম পদ = a + ( n - 1 ) d
সুতরাং a + ( n - 1 ) d = 362
বা, 5 + (n - 1 ) 3 = 362
বা, 5 + 3n - 3 = 362
বা, 3n + 2 = 362
বা, 3n = 360
বা, n =120
সুতরাং প্রদত্ত ধারার 120 তম পদ = 362

প্রশ্ন: প্রথম ৫ টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান : 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {৫(৫ + ১)/২}^২
= {(৫ × ৬)/২}^২
= (৩০/২)^২
= ১৫^২
= ২২৫ 

প্রশ্ন: ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ৬^২ + ৭^২ + ......+১০^২ =? 

সমাধান: 
প্রথম n সংখ্যক বর্গের সমষ্টি = n (n + 1)(2n + 1)/6

৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ৬^২ + ৭^২ + ......+১০^২ 
= ১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ৬^২ + ৭^২ + ......+১০^২ - ১^২ - ২^২ 
= {১০ (১০ + ১)(২ × ১০ + ১)/৬} - ১ - ৪
= (১০ × ১১ × ২১/৬) - ৫ 
= ৩৮৫ - ৫
= ৩৮০ 

প্রশ্ন: ৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
৫ + ৮ + ১১ + ১৪ +...... ধারাটির ১২৩৪২ ও ১২৩৪১ তম পদ দুটির পার্থক্য
= সাধারণ অন্তর 
= ৮ - ৫
= ৩ 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 25 এবং ষষ্ঠ পদ 1/25 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = 25 ........ (1)
ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 1/25 ....... (2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
ar⁵/ar = 1/25/25
⇒ r⁴ = (1/5)⁴
∴ r = 1/5

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম ও ৩য় পদ যথাক্রমে ১১ ও ২৭ হলে, ১০ম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 11
৩য় পদ = 27
২য় পদ = (11 + 27)/2 = 38/2 = 19

∴ সাধারণ অন্তর d = 19 - 11 = 8 
১০ তম পদ = a + (n - 1)d
= 11 + (10 - 1) × 8
= 11 + 9 × 8
= 11 + 72
= 83

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ৩০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d

চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d 

দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

a + 3d + a + 11d = 30
2a + 14d = 30

তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S₁₅ = 15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 30/2
= 225

প্রশ্ন: 1/4 + 1/4² + 1/4³ + .... অনন্ত ধারার সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = 1/4

∴ ধারাটির সমষ্টি, s = a/(1 - r) [যেহেতু, r < 1]
= (1/4)/(1 - 1/4)
= (1/4)/(3/4)
= (1/4) × (4/3)
= 1/3

প্রশ্ন: কোন ধারার ১ম পদ ২২ এবং ১৫ তম পদ ৯২ হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত? 

সমাধান: 
১ম পদ, a = ২২ 

১৫ তম পদ = a + (n - ১)d = ৯২
⇒ ২২ + (১৫ - ১)d = ৯২
⇒ ১৪d = ৭০ 
∴ d = ৫ 

সাধারণ অন্তর ৫। 

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে, ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = 27
বা, a = 27
এবং গুণোত্তর ধারার ২য় পদ = 9
বা, ar^{2 - 1} = 9
বা, 27×r = 9
∴ r = 1/3
∴ ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1}
= 27×(1/3)⁵
= 3³/3⁵
= 1/3²
= 1/9

প্রশ্ন: কোন ধারার n তম পদ n.2^n-1 হলে ধারার প্রথম তিনটি পদের যোগফল কত?

সমাধান: 
১ম পদ = 1.2^1-1 = 1
২য় পদ = 2.2^2-1 = 4
৩য় পদ = 3.2^3-1 =12

তাহলে যোগফল = 1 + 4 + 12
= 17

প্রশ্ন:  4 + 6 + 8 + ……….+ 30 = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ = 4
শেষ পদ = 30
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 4
= 2
পদসংখ্যা, n = (30 - 4)/2 + 1
= 13 + 1
= 14

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)d}
= (14/2) {8 + (14 - 1) × 2}
= 7 × (8 + 26)
= 7 × 34 
= 238

প্রশ্ন: 4 + 8 +16 +.........  ধারাটির 10তম  পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 4,
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 16/8 = 2, সুতরাং প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^(n-1)
সুতরাং ধারাটির 10 তম পদ = 4×2^(10-1)
= 2²×2⁹
= 2¹¹
= 2048

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 
তৃতীয় পদ =16
ar² = 16 ............ (1)
ষষ্ঠ পদ = 128 
ar⁵ = 128 ............ (2)

(2) ÷ (1) ⇒
ar⁵/ar² = 128/16
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) ⇒
a(2)² = 16
⇒ 4a = 16
⇒ a = 4

প্রশ্ন: ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি 21 হলে, সংখ্যাগুলোর ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি = n(n + 1)/2
 ১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²

১ম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার  সমষ্টি 21
সংখ্যাগুলোর ঘনের সমষ্টি = 21²
= 441

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ = a এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1)×10
⇒ 42 = a + 40
∴ a = 2
∴ দ্বাদশ পদটি = 2 + (12 - 1)×10
= 2 + 110
= 112