প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৩৬ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৩৬ মিটার

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য
⇒ ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩৬/৪
⇒ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৯ মিটার

এখন,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (এক বাহুর দৈর্ঘ্য)^২
= (৯)^২
= ৮১ বর্গ মিটার

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮১ বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটির মান অসংজ্ঞায়িত?

সমাধান:
আমরা জানি,
sin90° = 1
cos90° = 0
∴ tan90° = sin90°/cos90°
 = 1/0, যা অসংজ্ঞায়িত।

∴ tan90° এর মান অসংজ্ঞায়িত।

অন্যান্য বিকল্পগুলো হলো:
sin90° = 1
cos0° = 1
cosec90° = 1

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১২ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৫ মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(দৈর্ঘ্য)^২ + (প্রস্থ)^২}
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{(১২)^২ + (৫)^২}
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: cosθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
cosθ এর সর্বনিম্ন মান হল - 1

• cosine ফাংশনের রেঞ্জ হলো [- 1, 1]
অর্থাৎ, cosθ এর মান -1 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে।
সর্বোচ্চ মান = 1 (যখন θ = 0°, 360°, 720°... )
সর্বনিম্ন মান = -1 (যখন θ = 180°, 540°... )

উদাহরণ:
cos(0°) = 1
cos(90°) = 0
cos(180°) = - 1
cos(270°) = 0
cos(360°) = 1

তাই cosθ এর সর্বনিম্ন মান - 1

প্রশ্ন: একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য ২০ মিটার এবং সূর্যের উন্নতি কোণ ৪৫° হলে, গাছটির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ (θ) = ৪৫°
ধরি, গাছটির উচ্চতা = h মিটার

আমরা জানি,
tanθ = উচ্চতা/ছায়ার দৈর্ঘ্য
⇒ tan৪৫° = h/২০
⇒ ১ = h/২০ [যেহেতু tan৪৫° = ১]
⇒ h = ২০ মিটার

∴ গাছটির উচ্চতা ২০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৮০ বর্গমিটার। এর সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ মিটার এবং উচ্চতা ৮ মিটার হলে, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ৮০ বর্গমিটার
একটি সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ১২ মিটার
উচ্চতা, h = ৮ মিটার
ধরি, অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য = b মিটার

আমরা জানি,
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (১/২) × (a + b) × h
⇒ ৮০ = (১/২) × (১২ + b) × ৮
⇒ ৮০ = (১২ + b) × ৪
⇒ ১২ + b = ৮০ / ৪
⇒ ১২ + b = ২০
⇒ b = ২০ - ১২
⇒ b = ৮ মিটার

∴ অপর সমান্তরাল বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সিলিন্ডারের ব্যাস ১০ সে. মি. এবং উচ্চতা ১২ সে. মি. হলে, এর আয়তন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাস = ১০ সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = ১০/২ = ৫ সেমি
উচ্চতা, h = ১২ সেমি

আমরা জানি,
সিলিন্ডারের আয়তন = πr^২h
= π × (৫)^২ × ১২
= π × ২৫ × ১২
= ৩০০π ঘন সেমি

∴ নির্ণেয় আয়তন ৩০০π ঘন সেমি।

প্রশ্ন: 3 cotA = 4 হলে, sinA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3 cotA = 4
⇒ cotA = 4/3

আমরা জানি,
cotA = ভূমি/লম্ব
এখানে, ভূমি = 4 এবং লম্ব = 3

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
⇒ (অতিভুজ)² = (3)² + (4)²
⇒ (অতিভুজ)² = 9 + 16
⇒ (অতিভুজ)² = 25
⇒ অতিভুজ = √25 = 5

এখন,
sinA = লম্ব/অতিভুজ
∴ sinA = 3/5

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির মোট উচ্চতা কত? 

সমাধান:

মনেকরি, খুঁটির মোট উচ্চতা = x মিটার
দেওয়া আছে, খুঁটিটি মাটি থেকে 9 মিটার উপরে ভেঙে গেছে।
∴ খুঁটির দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা = 9 মিটার
এবং ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 9) মিটার
খুঁটির গোড়া থেকে ভূমিতে স্পর্শ বিন্দুর দূরত্ব = 12 মিটার

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
(ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য)² = (দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা)² + (ভূমির দূরত্ব)²
⇒ (x - 9)² = 9² + 12²
⇒ x² - 18x + 81 = 81 + 144
⇒ x² - 18x + 81 = 225
⇒ x² - 18x + 81 - 225 = 0
⇒ x² - 18x - 144 = 0
⇒ x² - 24x + 6x - 144 = 0
⇒ x(x - 24) + 6(x - 24) = 0
⇒ (x - 24)(x + 6) = 0

হয়, x - 24 = 0 ⇒ x = 24
অথবা, x + 6 = 0 ⇒ x = - 6 (উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না)
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 24 মিটার।

প্রশ্ন: 10 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট বর্গাকার ভূমির উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 18 সে.মি. হলে, এর আয়তন কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার ভূমির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি
∴ ভূমির ক্ষেত্রফল = (10 × 10) = 100 বর্গ সেমি
পিরামিডের উচ্চতা, h = 18 সেমি

আমরা জানি,
পিরামিডের আয়তন = (1/3) × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
⇒ আয়তন = (1/3) × 100 × 18
⇒ আয়তন = 100 × 6
⇒ আয়তন = 600 ঘন সেমি

∴ পিরামিডটির আয়তন 600 ঘন সেমি।

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির পঞ্চম পদ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, অনুক্রমটির সাধারণ পদ = sin(nπ/6)
এখানে, পঞ্চম পদের জন্য n = 5 এবং π = 180°

এখন,
 5ম পদ = sin(5 × 180°/6)
= sin(5 × 30°)
= sin(150°)
= sin(180° - 30°)
= sin 30° [যেহেতু 2য় চতুর্ভাগে sin ধনাত্মক]
= 1/2

∴ অনুক্রমটির পঞ্চম পদ 1/2

প্রশ্ন: rsinθ = 2 এবং rcosθ = 2√3 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
rsinθ = 2 .......... (1)
rcosθ = 2√3 .......... (2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করে পাই,
(rsinθ)² + (rcosθ)² = (2)² + (2√3)²
⇒ r²sin²θ + r²cos²θ = 4 + (4 × 3)
⇒ r²(sin²θ + cos²θ) = 4 + 12
⇒ r²(1) = 16 [যেহেতু, sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ r² = 16
⇒ r = √16
⇒ r = 4

∴ r এর মান 4

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: sin{(5π/2) + θ} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin{(5π/2) + θ}
= sin{5 × (π/2) + θ}
= sin{5 × 90° + θ}
এখানে, 90° করে 5 বার ঘুরে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। আমরা জানি, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে sine এর মান ধনাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ধনাত্মক (+)।
আবার, যেহেতু π/2 বা 90° এর সাথে '5' যা একটি বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই sine অনুপাতটি পরিবর্তিত হয়ে cosine হবে।

অর্থাৎ, sin{5 × 90° + θ} = cosθ
∴ sin{(5π/2) + θ} = cosθ

প্রশ্ন: একটি কোণকের ব্যাস 12 সেমি এবং আয়তন 48π ঘন সেমি হলে, কোণকটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের ব্যাস = 12 সেমি
∴ ব্যাসার্ধ, r = 12/2 = 6 সেমি
আয়তন = 48π ঘন সেমি

আমরা জানি, কোণকের আয়তন = (1/3)πr²h

প্রশ্নমতে,
(1/3)π × (6)² × h = 48π
⇒ (1/3) × 36 × h = 48
⇒ 12 × h = 48
⇒ h = 48/12
⇒ h = 4 সেমি

∴ কোণকটির উচ্চতা 4 সেমি। 

অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো।

প্রশ্ন: tanθ = a/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে, tanθ = a/b
আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
ধরি, লম্ব = a এবং ভূমি = b

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ = √(লম্ব^২ + ভূমি^২)
= √(a^২ + b^২)

এখন,
cosecθ = অতিভুজ/ লম্ব
= √(a² + b²)/a

∴ সঠিক উত্তর: খ) cosecθ = √(a² + b²)/a

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য 10 মি. এবং পরিসীমা 100 মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের,
দৈর্ঘ্য - প্রস্থ = 10 মিটার ......(1)
এবং আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 100 মিটার

আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
∴ 100 = 2 × (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
⇒ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 100/2 মিটার
∴ দৈর্ঘ্য + প্রস্থ = 50 মিটার ...........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(দৈর্ঘ্য - প্রস্থ) + (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = 10 + 50
⇒ 2 × দৈর্ঘ্য = 60
⇒ দৈর্ঘ্য = 60/2 = 30 মিটার

এখন, (2) নং সমীকরণ থেকে পাই,
30 + প্রস্থ = 50
⇒ প্রস্থ = 50 - 30 = 20 মিটার

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= 30 × 20
= 600 বর্গ মিটার।

∴ নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 600 বর্গ মিটার।

প্রশ্ন: 1° সমান কত রেডিয়ান?

সমাধান:
রেডিয়ান:
কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

আমরা জানি,
180° = π রেডিয়ান
∴ 1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি বৈদ্যুতিক পাখা প্রতি মিনিটে ২৪০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে পাখাটি কত ডিগ্রি ঘুরে? 

সমাধান:
আমরা জানি,
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
সুতরাং, ৬০ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে ২৪০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে পাখাটি ঘুরে = ২৪০/৬০ = ৪ বার

আবার,
পাখাটি ১ বার ঘুরলে ৩৬০° কোণ অতিক্রম করে।
∴ ৪ বার ঘুরলে পাখাটি অতিক্রম করে = (৪ × ৩৬০)°
= ১৪৪০°

∴ এক সেকেন্ডে পাখাটি ১৪৪০° ঘুরে।

প্রশ্ন:

সমাধান:
{(1 - tan²60°)/(1 + tan²60°)} + sin²60°
= {(1 - (√3)²)/(1 + (√3)²)} + (√3/2)² [∵ tan60° = √3, sin60° = √3/2]
= {(1 - 3)/(1 + 3)} + 3/4
= (- 2/4) + (3/4)
= (- 2 + 3)/4
= 1/4

প্রশ্ন: একটি বর্গাকার ছাদের দৈর্ঘ্য ২০ মিটার। ছাদটি ঢাকতে ৫ মিটার বাহু বিশিষ্ট কতগুলো বর্গাকার টাইলস প্রয়োজন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গাকার ছাদের দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার
∴ ছাদের ক্ষেত্রফল = (২০ × ২০) বর্গমিটার = ৪০০ বর্গমিটার

আবার,
টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫ মিটার
∴ প্রতিটি টাইলসের ক্ষেত্রফল = (৫ × ৫) বর্গমিটার = ২৫ বর্গমিটার

সুতরাং, প্রয়োজনীয় টাইলসের সংখ্যা = ৪০০/২৫ টি
= ১৬ টি

∴ ১৬ টি টাইলস প্রয়োজন।

প্রশ্ন: 24 সে.মি. ব্যাস এবং 6 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি নিরেট বেলন গলিয়ে 3 টি গোলক তৈরি করা হলে প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বেলনের ব্যাস = 24 সেমি
∴ বেলনের ব্যাসার্ধ, R = 24/2 = 12 সেমি
উচ্চতা, h = 6 সেমি
∴ বেলনের আয়তন = πR²h
= π × (12)² × 6
= π × 144 × 6
= 864π ঘন সেমি

মনে করি, প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ = r
আমরা জানি, গোলকের আয়তন = (4/3)πr³

প্রশ্নমতে,
3 টি গোলকের আয়তন = বেলনের আয়তন
⇒ 3 × (4/3)πr³ = 864π
⇒ 4πr³ = 864π
⇒ 4r³ = 864
⇒ r³ = 864 / 4
⇒ r³ = 216
⇒ r = ³√216
⇒ r = 6 সেমি

∴ প্রতিটি গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি।