Math Master

প্রশ্ন: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কয়টি?

সমাধান:
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত মোট 6 টি। তারা হল:
1. সাইন (sin)
2. কোসাইন (cos)
3..ট্যানজেন্ট (tan)
4. কোট্যানজেন্ট(cot)
5. সেক্যান্ট (sec)
6. কোসেক্যান্ট (cosec)

প্রশ্ন: যদি, cosθ = 3/5 হয়, তবে cosecθ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = 2/5

আমরা জানি,
sinθ = √(1 - cos²θ)
= √{1 - (3/5)²}
= √(1 - 9/25)
= √{(25 - 9)/25}
= √(16/25)
= 4/5

∴ cosecθ = 1/sinθ = 1/(4/5) = 5/4

প্রশ্ন: যদি, cosθ = sinθ হয়, তবে θ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosθ = sinθ
⇒ cosθ/sinθ = 1
⇒ cotθ = 1
⇒ cotθ = cot45°
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: (- 750°) কোন চতুর্ভাগে বিদ্যমান?

সমাধান:

(- 750°) = (- 720° - 30°) = {(- 8 × 90°) - 30°}
(- 750°) একটি ঋণাত্মক কোণ এবং (- 750°) কোণটি উৎপন্ন করতে কোনো রশ্মিকে ঘড়ির কাঁটার দিকে দুইবার সম্পূর্ণ ঘুরে একই দিকে আরো 30° ঘুরে চতুর্থ চতুর্ভাগে আসতে হয়েছে (উপরের চিত্র)।
সুতরাং, (- 750°) কোণটি চতুর্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করছে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, cosecθ = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
cosθ = ভূমি/অতিভুজ
tanθ = লম্ব/ভূমি
cotθ = ভূমি/লম্ব
secθ = অতিভুজ/ভূমি
cosecθ = অতিভুজ/লম্ব

প্রশ্ন: cosecA + cotA = 5/3 হলে, cosecA - cotA = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosecA + cotA = 5/3

আমরা জানি,
cosec²A - cot²A = 5/3
⇒ (cosecA + cotA)(cosecA - cotA) = 1
⇒ (5/3) × (cosecA - cotA) = 1
∴ (cosecA - cotA) = 3/5

প্রশ্ন: sin²55° + sin²35° = ?

সমাধান:
এখানে,
sin²55° + sin²35°
= sin²55° + sin²(90° - 35°)
= sin²55° + cos²55°
= 1

প্রশ্ন: একটি 39 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্নভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোন উৎপন্ন করল। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

ধরি,
খুটিটি x মিটার উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।
∴ অপর ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = (39 - x) মিটার

আমরা জানি,
sinθ = লম্ব/অতিভুজ
⇒ sin30° = x/(39 - x)
⇒ 1/2 = x/(39 - x)
⇒ 2x = 39 - x
⇒ 2x - x = 39
⇒ 3x = 39
∴ x = 13

প্রশ্ন: যদি θ = 45° হয় তবে, tanθ√(1 - sin²θ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
θ = 45°

প্রদত্ত রাশি = tanθ√(1 - sin²θ)
= tanθ√(cos²θ)
= tanθ × cosθ
= tan45° × cos45°
= 1 × (1/√2)
= 1/√2

প্রশ্ন: sin(nπ/6) অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
sin(nπ/6) এর তৃতীয় পদ = {sin(4 × π)/6}
= {sin(4 × 180°)/6}
= sin120°
= sin(90° + 30°) 
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 হলে, sinθ এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
0 ≤ θ ≤ π/3
sin0° ≤ sinθ ≤ sin60° 

∴ sinθ এর সর্বোচ্চ মান = sin0° = 0

প্রশ্ন: sin{(17π/2) + θ} = ?

সমাধান:
sin{(17π/2) + θ}
= Sin {17 × (π/2) + θ}
= sin(17 × 90° + θ)
= cosθ
90° করে 17 বার ঘুরলে দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আসবে যেখানে Sinθ এর মান ধনাত্মক।
আবার, sin(90° + θ) = cosθ এবং sin(n × 90° + θ) = cosθ হবে যদি n এর মান বিজোড় হয়।

প্রশ্ন: cos480° এর মান কত?

সমাধান:
cos 480°
= cos(450° + 30°)
= cos(5 × 90° + 30°) [৩য় চতুর্ভাগে অবস্থিত]
= - sin30°
= - (1/2)

প্রশ্ন: 0 ≤ θ ≤ π/3 হলে, tanθ এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
0 ≤ θ ≤ π/3
এখানে,
θ এর সর্বোচ্চ মান হলো = π/3

অতএব,
tanθ = tan(π/3)
= tan60°
= √3

∴ tanθ এর সর্বোচ্চ মান √3

প্রশ্ন: একটি 25 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট মিনারের শীর্ষ বিন্দু হতে 50 মিটার দূরের ভূতলস্থ একটি বিন্দুর অবনতি কোণ কত?

সমাধান:

ধরি,
অবনতি কোণ sinθ = 25/50
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ একান্তর প্রকৃতির। তাই তারা পরস্পর সমান।
∴ বিন্দুর অবনতি কোণ 30°

প্রশ্ন: cosA = 3/4 হলে secA=?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cosA = 3/4

আমরা জানি,
secA = 1/cosA
= 1/(3/4)
= 4/3

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং cos(θ + 18°) =1/2, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
sin(θ + 18°) = 1/2
বা, sin(θ + 18°) = cos60°
বা, θ + 18° = 60°
বা, θ = 60° - 18°
θ = 42°

∴ θ এর মান 42° হবে।

প্রশ্ন: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90° এবং tanA = 1 হলে, 2. sinA. cosA = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
tanA = লম্ব/ভূমি

দেওয়া আছে,
tanA = 1

∴ লম্ব = 1 এবং ভূমি = 1

∴ অতিভুজ = √(1² + 1²) = √2

∴ sinA = লম্ব/অতিভুজ = 1/√2
∴ cosA = ভূমি/অতিভুজ = 1/√2

∴ 2. sinA. cosA = 2 × (1/√2) × (1/√2) = 1