প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: (2²)^{x + 3} = 64 হলে x = কত? 

সমাধান: 
(2²)^{x + 3} = 64
⇒ 2^{2(x + 3)} = 2⁶
⇒ 2(x + 3) = 6
⇒ 2x + 6 = 6
⇒ 2x = 6 - 6
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0/2
∴ x = 0

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 25 = কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 25
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1 

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (25/2){2 · 1 + (25 - 1) · 1}
= 25/2(2 + 24)
= (25/2) × 26
= 25 × 13
= 325

প্রশ্ন: 1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
1024 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂1024
= log₂2¹⁰
= 10log₂2 [∴ log_aa = 1]
= 10 .1
= 10

প্রশ্ন: 6 + 18 + 54 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 4374 হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = 18/6 = 3 

ধরি, 
n তম পদ = 4374
⇒ ar^{n - 1} = 4374
⇒ 6 × 3^{n - 1} = 4374
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 4374 হবে।

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ..................+ 70 ধারাটির পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
এখানে,
 ধারাটির ১ম পদ = 2
 ধারাটির শেষ পদ = 70
 ধারাটির সাধারণ অন্তর = (6 - 2) = 4

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(70 - 2)/4} + 1
= (68/4) + 1
= (17 + 1)
= 18

∴ পদসংখ্যা = 18  ।

প্রশ্ন: log_x(1296) = 4 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x(1296) = 4
বা, x⁴ = 1296
বা, x⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2
বা, x⁴ = 3⁴ × 2⁴
বা, x⁴ = (3 × 2)⁴
বা, x⁴ = (6)⁴
∴ x = 6

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2 

∴ ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

∴ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি = 6  ।

প্রশ্ন: (5/6)⁴ × (5/6) ^-7 = (5/6)^{2x - 1} হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
(5/6)⁴ × (5/6) ^-7 = (5/6)^{2x - 1}
⇒ (5/6)^{4 - 7} = (5/6)^{2x - 1}
⇒ (5/6)^{- 3} = (5/6)^{2x - 1}
⇒ - 3 = 2x - 1
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ 2x = - 2
⇒ x = - 2/2
∴ x = - 1

প্রশ্ন: 3 - 5 - 13 - 21 - ........... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ ‍a = 3
সাধারণ অনুপাত d = (- 5 - 3) = - 8
∴ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 

আমরা জানি,
 n তম পদ = {a + (n - 1) d}
∴ 10 তম পদ = {3 + (10 - 1) × (- 8)}
= {3 + 9 × (- 8)}
= 3 - 72
= - 69

প্রশ্ন: log_3√2(1/18) এর মান কত? 

সমাধান: 
log_3√2(1/18)
= log_3√2(1/3√2)²
= log_3√2(3√2)^-2
= - 2 log_3√23√2
= - 2 × 1
= - 2

প্রশ্ন: ২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ = ৩^৫ = ৩৪৩
দ্বিতীয় পদ = ৩^৪ = ৮১
তৃতীয় পদ = ৩^৩ = ২৭
চতুর্থ পদ = ৩^২ = ৯
পঞ্চম পদ = ৩^১ = ৩
ষষ্ঠ পদ = ৩^০ = ১

∴ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি = ২৭ ।

প্রশ্ন: 9^{2a + 1} = 27 হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
9^{2a + 1} = 27
⇒ (3²)^{2a + 1} = 3³
⇒ 3^{4a + 2} = 3³
⇒ 4a + 2 = 3
⇒ 4a = 3 - 2
⇒ 4a = 1
∴ a = 1/4

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৪র্থ পদটি 35 এবং প্রথম 4টি পদের যোগফল 110 হলে, প্রথম পদটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারন অন্তর = d
∴ a + (4 - 1)d = 35
⇒ a + 3d = 35 .......... (1)

আবার, 
4টি পদের যোগফল = (4/2){2a + (4 - 1)d} = 110
⇒ 2{2a + 3d} = 110
⇒ 2a + 3d = 55 ........... (2)

(2) নং - (1) নং হতে পাই,
(2a + 3d) - (a + 3d) = 55 - 35
⇒ 2a + 3d - a - 3d = 20
∴ a = 20 

∴ ধারাটির প্রথম পদ = 20  ।

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে  x^{a + b} = কত? 

সমাধান: 
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
∴ a + b = 1 

এখন,
x^{a + b}
= x¹
= x

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
প্রথম 10টি পদের সমষ্টি ‍S₁₀ = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/(3 - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/2
= 3¹⁰ - 1

প্রশ্ন: 2^a ÷ 2^{a - 1} = কত? 

সমাধান: 
2^a ÷ 2^{a - 1}
= 2^a ÷ (2^a × 2^-1)
= 2^a ÷ (2^a × 1/2)
= 2^a ÷ (2^a/2)
= 2^a × (2/2^a)
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: 1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারার শেষ সংখ্যা, n = 49 

আমরা জানি, 
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S_n = n (n + 1)/2
= 49 × (49 + 1)/2
= (49 × 50)/2
= 49 × 25
= 1225

প্রশ্ন: log_5√22500 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
log_5√22500 = x
⇒ (5√2)^x = 2500
⇒ (5√2)^x = (5√2)⁴
∴ x = 4

প্রশ্ন: কোন অনুক্রমের n তম পদ 1/{n(n + 1)} হলে ধারাটির ৫ম পদ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমের n তম পদ = 1/{n(n + 1)} 
∴ অনুক্রমের ৫ম পদ = 1/{5 × (5 + 1)}
= 1/(5 × 6)
= 1/30

প্রশ্ন: (4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1} = কত?

সমাধান: 
4.2^{n - 2} ÷ 2^{n + 1}
= (2² . 2^{n - 2}) / 2^{n + 1}
= 2^{2 + n - 2} / 2^{n + 1}
= 2ⁿ / 2^{n + 1}
= 2^{n - n - 1}
= 2^-1
= 1/2

প্রশ্ন: 2 + 5 + 8 + 11 + ……….. ধারাটির কোন পদ 296?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। 
ধারাটির প্রথম পদ = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, = 5 - 2 = 3

মনে করি,
ধারাটির n-তম পদ = 296
∴ a + (n - 1) d = 296
বা, 2 + (n - 1) . 3 = 296
বা, 2 + 3n - 3 = 296
বা, 3n - 1 = 296
বা, 3n = 296 + 1
বা, 3n = 297
বা, n = 297/3
∴ n = 99

∴ ধারটির 99 তম পদের মান 296  ।

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
log₃∛3
= log₃3^1/3
= 1/3 log₃3
= 1/3 × 1 [∴ log_aa = 1]
= 1/3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ও ২য় পদ যথাক্রমে 81 এবং 27 হলে ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 81
ধারাটির ২য় পদ = 27
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3 

আমরা জানি,
n তম পদ = ‍ar^{n - 1}
∴ 7 তম পদ = ar^{(7 - 1)}
= 81 × (1/3)⁶
= 3⁴ × (1/3⁶)
= 3⁴/3⁶
= 1/3^{6 - 4}
= 1/3²
= 1/9

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
x√(0.36) = 9
⇒ x(√36/100) = 9
⇒ x√{(6/10)²} = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ 6x/10 = 9
⇒ 6x = 9 × 10
⇒ x = (9 × 10)/6
∴ x = 15

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + ......... ধারাটির কোন পদ 115 হবে?

সমাধান: 
ধারাটির, ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 7 = 4

ধরি,
r তম পদ = 115 
⇒ {a + (r - 1)d} = 115
⇒ {7 + (r - 1)4} = 115
⇒ 7 + 4r - 4 = 115
⇒ 4r + 3 = 115
⇒ 4r = 115 - 3
⇒ 4r = 112
⇒ r = 112/4
∴ r = 28

অতএব, ধারাটির 28 তম পদ 115 হবে ।

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3 

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

প্রশ্ন: (1000)^x/3 = 10 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
(1000)^x/3 = 10
বা, (10³)^x/3 = 10
বা, (10)^3x/3 = (10)¹
বা, 3x/3 = 1
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

প্রশ্ন: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025