১০০ দিনে বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক]

১০০৩ = ১৭ × ৫৯
১০০১ = ৭ × ১৪৩
১০০৭ = ১৯ × ৫৩
১০০৯ এর ২ টি উৎপাদক ১ ও ১০০৯।
অর্থাৎ ১০০৯ = ১ × ১০০৯
তাই ১০০৯ মৌলিক সংখ্যা

৮৮ এর গুণনীয়ক ৮ টি
৯১ এর গুণনীয়ক ৪ টি 
৯৫ এর গুণনীয়ক ৪ টি 
৯৯ এর গুণনীয়ক ৬ টি 

বর্গক্ষেত্রের বাহু ক একক হলে, নতুন বাহু = ক + ক এর ২০% = ৬ক/৫ অতএব, ক্ষেত্রফল ৩৬ক^২/২৫
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ৩৬ক^২/২৫ - ক^২ = ১১ক^২/২৫
ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি = (১১ক^২/২৫)/ক^২ = ১১/২৫ = (১১ × ১০০/২৫)% = ৪৪% 

(z - 3)⁵ = 0 সমীকরণের মূল 5 টি
কারণ সমীকরণটির z চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 5

b এর a ভিত্তিক লগারিদমকে log_ab দ্বারা সুচিত করা হয় যখন  a > 0, a ≠ 1 এবং b ≠ 0

1 + 3 + 5 + --- --- --- + (2p - 1) = p²
1 + 2 + 3 + --- --- --- + p = p(p + 1)/2
1² + 2² + 3² + --- --- --- + p² = p(p + 1)(2p + 1)/6
1³ + 2³ + 3³ + --- --- --- + p³ = {p(p + 1)/2}²
2 + 4 + 6 + --- --- -- + 2p = p² + p
1² + 3² + 5² + --- --- --- + (2p - 1)² = p(2p + 1)(2p - 1)/3

∠x = 60° হলে,
∠x এর সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেক = (180° - 60°)/2 = 60°

3.5 সেমি, 4.5 সেমি ও 5.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে
কেন্দ্র তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা = 2(3.5 + 4.5 + 5.5) = 27

[ তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে কেন্দ্র তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা = 2(ব্যাসার্ধ তিনটির যোগফল) ]

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সেমি, ৪ সেমি ও ৩ সেমি হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য
= √(৫^২ + ৪^২ + ৩^২) সেমি
= √(২৫ + ১৬ + ৯) সেমি
= ৫√২ সেমি

U সার্বিক সেট ও A, B, C সেটগুলো U এর উপসেট হলে, A∪U = U, A∩U = A

৩০২৫ এর বর্গমূল = ৫৫
গুণ করার কৌশলঃ
৩৫ × ৩৫ = (১ম অঙ্ক × ১ম অঙ্কের সাথে ১ যোগ)(২য় অঙ্ক × ২য় অঙ্ক) = (৩ × ৪)(৫ × ৫) = ১২২৫
৪৫ × ৪৫ = (৪ × ৫)(৫ × ৫) = ২০২৫
৫৫ × ৫৫ = ৩০২৫
৬৫ × ৬৫ = ৪২২৫
৭৫ × ৭৫ = ৫৬২৫
৮৫ × ৮৫ = ৭২২৫
৯৫ × ৯৫ = ৯০২৫
৬৭ × ৬৩ = ৪২২১
১০৫ × ১০৫ = ১১০২৫
১১৫ × ১১৫ = ১৩২২৫
১২৫ × ১২৫ = ১৫৬২৫

দুইটি সংখ্যার প্রথম অঙ্ক বা প্রথম দুইটি অঙ্ক একই ও শেষ অঙ্ক দুইটির যোগফল ১০ হলে, উপরের সর্টকাট প্রযোজ্য।

২/৩ ↔ ৩৩/৫০ ⇒ ১০০ ↔ ৯৯ [ আড়াআড়ি ভাবে গুণ করে ] এখানে ২/৩ বড় কারণ ১০০ > ৯৯
২/৩ ↔ ৮/১১ ⇒ ২২ ↔ ২৪ [ আড়াআড়ি ভাবে গুণ করে ] এখানে ৮/১১ বড় কারণ ২২ < ২৪
অতএব, ৮/১১ বড়

সংখ্যা তিনটি x, y, z হলে, 
x/y = y/z
⇒ y² = zx
⇒ y³ = xyz = 27
⇒ y = 3

x + y + z = 13
⇒ x + z =  10
⇒ zx = y²  = 3² = 9
(x - z)² = 100 - 36 = 64
⇒ x - z = 8
∴ x = 9 এবং z = 1
সংখ্যা তিনটি 1, 3, 9

১/৫০০ এর ১০%
= ১/৫০০ এর ১০/১০০
= ১/৫০০ এর ১/১০
= ১/৫০০০
= ০.০০০২

২০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০/৮০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ৫ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৫/৮০ টাকা = ২৫/৪ টাকা

৯ টির ক্রয়মূল্য ২৫/৪ টাকা
১২ টির ক্রয়মূল্য (২৫/৪) × ১২/৯ টাকা = ২৫/৩ টাকা 

মনে করি, আসল ৮ টাকা। 
অতএব, মুনাফা = ( ৮ এর ৫/৮) = ৫ টাকা 
সুতরাং, মুনাফা আসল = ৫ +৮ = ১৩ টাকা 
মুনাফা = ৯১০০ এর ৫/১৩ = ৩৫০০ টাকা
আসল = ৯১০০ এর ৮/১৩ = ৫৬০০ টাকা
∴ মুনাফার হার
= I/Pn
= ৩৫০০/(৫৬০০ × ৫)
=(৩৫০০ × ১০০%)/(৫৬০০ × ৫)
= ১২.৫%

এখানে,
P = ৫০০০
r = ১০
n = ৩
সরল মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, I = (৫০০০×৩×১০)/১০০ = ১৫০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন,
C = P (১+r/১০০)ⁿ
= ৫০০০(১+১০/১০০)^৩
= ৫০০০(১+১/১০)^৩
= ৫০০০(১+০.১)^৩
= ৫০০০×(১.১)^৩
= ৫০০০×১.৩৩১
= ৬৬৫৫ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (৬৬৫৫-৫০০০) = ১৬৫৫ টাকা।
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল-মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫-১৫০০) = ১৫৫ টাকা।

a + b = √5 এবং a - b = √3 

∴ a² + b² 
= {(a + b)² + (a - b)²}/2
= (5 + 3)/2
= 4

6x² - 7x - 4 = 0 
এখানে,
a = x² এর সহগ = 6
b = x এর সহগ = - 7
c = ধ্রুবক = - 4

নিশ্চায়ক = b² - 4ac = ( - 7)² - 4.6.( - 4) = 49 + 96 = 145 > 0
নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মুলদ্বয় বাস্তব ও অসমান

- 2x - 5 > x - 2
বা, - 2x -  x > - 2 + 5
বা, - 3x > 3
বা, 3x < - 3 [ উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]
∴ x < - 1
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধানঃ x < - 1

লোকের সংখ্যা ক হলে,
১ জন দেয় ১২ টাকা
ক জন দেয় ১২ক টাকা 

প্রশ্নানুসারে, ১২ক - ৪০০ = ৮০০
বা ক = ১০০

এখানে, ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d
50 = 2 + (n - 1)2 
2n - 2 + 2 = 50
2n = 50
n = 25
n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (25/2) {2.2 + (25 - 1)2}
= (25/2) {4 + 24.2}
= (25/2) {4 + 24.2}
= 25 × 26 = 650
--------------------------------------------
সংক্ষেপে, 
পদ সংখ্যা = (50 - 2)/2 + 1 = 24 + 1 = 25 
সমষ্টি = 25² + 25 = 650
[ প্রথম n সংখ্যক  জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n² + n ]

1⁴ = 1
2⁴ = 16
3⁴ = 81
4⁴ = 256
5⁴ = 625

বিন্দু হচ্ছে শূন্য মাত্রিক সত্তা অর্থাৎ বিন্দুর কোন মাত্রা নাই। 

- দুইটি সরলরেখা সমান্তরাল হলে কোন বিন্দুতে ছেদ করবে না। 
- দুইটি সরলরেখা আড়াআড়ি ভাবে সর্বোচ্চ ১ টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।
- দুইটি সরলরেখা পরস্পরের উপর আপতিত হলে উক্ত রেখা দুইটি অসংখ্য বিন্দুতে মিলিত হয়।


একটি সরলরেখার উপর আর একটি সরলরেখা আপতিত হলে সরলরেখা দুইটি একই হয়ে যায়।
এরুপ ক্ষেত্রে অসংখ্য সমাধান পাওয়া যায়।

একটি কোণের ১ টি শীর্ষবিন্দু থাকে।
দুইটি রেখাংশ বা দুইটি রশ্মি যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে শীর্ষবিন্দু বলে।
একটি কোণ তৈরির জন্য দুইটি রেখাংশ বা রশ্মি প্রয়োজন। তারা যে বিন্দুতে মিলিত হয় সেখানে একটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে বলে ধরা হয়। 

একটি ত্রিভুজের বহিঃস্থ তিনটি কোণের যোগফল = ৩৬০°

চতুর্ভুজ একটি বর্গ -
- যখন চতুর্ভুজটির চার বাহু সমান ও প্রত্যেকটি কোণ এক সমকোণ
- যখন চতুর্ভুজটির চার বাহু সমান ও এক কোণ এক সমকোণ
- যখন চতুর্ভুজটি সামান্তরিক, বাহুগুলি পরস্পর সমান ও এক কোণ এক সমকোণ।

যখন চতুর্ভুজের চার বাহু সমান ও এক কোণ এক সমকোণ হয় তখন অবশিষ্ট ৩ টি কোণের প্রত্যেকটি এক সমকোণ হয়ে যায়।
অতএব, যখন কোনো চতুর্ভুজের চার বাহু সমান ও এক কোণ এক সমকোণ হয় তখন উক্ত চতুর্ভুজকে বর্গ বলে।

ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভূমির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ সেমি, ৪ সেমি ও ৫ সেমি হওয়ায় এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। 
অতএব, ক্ষেত্রফল = ৩ × ৪/২ = ৬ বর্গ সেমি
নির্ণেয় আয়তন = ৬ × ৮ = ৪৮ ঘন সেমি 

বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ 
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ 
বৃত্তের সমচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সমকোণ   

A = {1, 3}
P(A) = {{1}, {3}, {1, 3}, φ}

{ x ∈ N : 13 < x < 17 এবং x মৌলিক সংখ্যা }  [13 এর চেয়ে বড় ও 17 এর চেয়ে ছোট কোন মৌলিক সংখ্যা নাই।]
= Φ

মনে করি, A = {1, 2} B = {3}
A × B = {(1, 3), (2, 3)}
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (i) A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B} সত্য 
n(A) = 2, n(B) = 1 হলে, n(A × B) = 2
n(A × n(B) = 2 × 1 = 2
n(A × B) = n(A × n(B) 
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (ii) n(A) = a, n(B) = b হলে, n(A × B) = ab সত্য 
A × B = {(1, 3), (2, 3)} ⇒ A × B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড়
অতএব, A ও B দুইটি সসীম সেটের জন্য (iii) A × B এর প্রতিটি সদস্য একটি ক্রমজোড় সত্য।

ⁿC₄ / ⁿC₅ = 5/(n - 4)

ⁿC₄ / ⁿC₅
= n!/4!(n - 4)! × 5!(n - 5)!/n!
= 5!(n - 5)!/4!(n - 4)!
= 5/(n - 4)

ⁿP_r = n!/(n - r)! --- --- --- (i)
ও ⁿC_r = n!/r!(n - r)!
⇒  n!/(n - r)! = r!. ⁿC_{r --- --- --- (ii)}
(i) ও (ii) হতে, 
ⁿC_r = r!. ⁿC_r

ঈদ্গাহে নামাজির সংখ্যা n হলে,
ⁿC₂ = y
n(n - 1)/2 = y
n² - n = 2y
n² - n - 2y = 0


n = [1 + √{1 - 4.(- 2y)}]/2 = {1 + √(1 + 8y)}/2
অথবা, 
n = [1 - √{1 - 4.(- 2y)}]/2 = {1 - √(1 + 8y)}/2

শুভেচ্ছা বিনিময়ের সংখ্যা - y.
যেহেতু শুভেচ্ছা বিনিময় সংখ্যা নির্দিষ্ট নয়। তাই উত্তর দুইটিই হতে পারে।

52 খানা তাসের মধ্যে 2 টি লাল টেক্কা থাকে। 
তাসটি লাল টেক্কা হবার সম্ভাবনা = 2/52 = 1/26