Math Master

প্রশ্ন: log₂(1/16) = কত?

সমাধান:
log₂(1/16) = log₂(1/2⁴)
= log₂(1/2)⁴
= log₂(2^-1)⁴
= log₂(2)^-4
= - 4 log₂2
= - 4 × 1
= - 4

প্রশ্ন: 72/?^8/5 = ?^7/5/24

সমাধান:
72/?^8/5 = ?^7/5/24
⇒ 72 × 24 = ?^7/5 × ?^8/5
⇒ 1728 = ?^{(7/5) + (8/5)}
⇒ 12³ = ?^(15/5)
⇒ 12³ = ?³
∴ ? = 12

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (27)^2/3 + (16)^1/2 = 2k হয় তবে k = কত?

সমাধান:
(27)^2/3 + (16)^1/2 = 2k
⇒ (3³)^2/3 + (2⁴)^1/2 = 2k
⇒ 3^{{3 × (2/3)}} + 2^{{4 × (1/2)}} = 2k
⇒ 3² + 2² = 2k
⇒ 9 + 4 = 2k
⇒ 13 = 2k
∴ k = 6.5

প্রশ্ন: log_x(1/64) = - 3 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
log_x(1/64) = - 3
⇒ x^-3 = 1/64
⇒ x^-3 = 1/4³
⇒ x^-3 = 4^-3
∴ x = 4

প্রশ্ন: (r/s)^{(x - 2)} = (s/r)^{(x - 6)} হলে, x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
(r/s)^{(x - 2)} = (s/r)^{(x - 6)}
বা, (r/s)^{(x - 2)} = (r/s)^{-(x - 6)}
বা, x - 2 = 6 - x
বা, x + x = 6 + 2
বা, 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: p⁴ × p^-6 × p × p³ × p^-2 = কত?

সমাধান:
p⁴ × p^-6 × p × p³ × p^-2
= p^{4 - 6 + 1 + 3 - 2}
= P⁰
= 1

প্রশ্ন: (log√12)/(log12) = কত?

সমাধান:
log√12/log12
= log12^(1/2)/log12
= (1/2)log12/log12
= (1/2) × 1
= 1/2

প্রশ্ন: 

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোন সম্পর্কটি ভুল?

সমাধান:
ক) log₁₀10 = 1 সঠিক কারণ log_aa = 1

খ) log₁₀1 = 0 সঠিক কারণ log_a1 = 0

গ) log(2 + 3) = log (2 × 3) ভুল কারণ log(2 + 3) = log 2 + log 3

ঘ) log_a(M/N) = log_aM - log_aN সঠিক (সূত্র)।

সঠিক উত্তর: ক) 5, খ) 6 ও ঘ) 8
অপশনে একাধিক সঠিক উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
------------------------- 

প্রশ্ন: 2³¹ + 2³² + 2³³ + 2³⁴ নিচের কোনটি দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
2³¹ + 2³² + 2³³ + 2³⁴
= 2³¹(1 + 2 + 2² + 2³)
= 2³¹(1 + 2 + 4 + 8)
= 2³¹ × 15; এখানে 15 সংখ্যাটি 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য।

অন্যদিকে, 
2³¹ 2 দ্বারা বিভাজ্য। 2³¹ এবং 15 একত্রে 6=2×3 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ 15 এ 3 এবং 2³¹ এ 2 বিদ্যমান।
2³¹ অবশ্যই 8 দ্বারা বিভাজ্য, কারণ 2³¹=(2³)¹⁰×2, যেখানে 2³=8

তাহলে, 2³¹ + 2³² + 2³³ + 2³⁴ সংখ্যাটিও 5, 6 এবং 8 তিনটি সংখ্যা দ্বারাই বিভাজ্য। 

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম সতেরটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ + log2⁴ +............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম 17 টি পদের সমষ্টি
= log2 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 17)
= log2 {17(17+ 1)/2}
= log2 (17 × 9)
= log2 × 153
= 153log2