Math Master

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
সমীকরণ (2) কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

n তম পদ = ar^n-1
দ্বিতীয় পদ = -48
ar^{2 - 1} = -48 .........(1)
৫ম পদ = 3/4
ar⁴ = 3/4 .........(2)
r = -(1/4)

সাধারণ অন্তর, d = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(2n - 1 - 3)/2} + 1
= n - 2 + 1
= n - 1

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
আমরা জানি,
৮ম পদ = ar^{(8 - 1)}
= ar⁷
= 1 × (1/2)⁷
= 1 / 128

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ...... (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ...... (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
a.2² = 20
∴ a = 5
সুতরাং, প্রথম পদ = 5

n তম পদ
= a+(n-1)d
91 = 1+(n-1)3
বা, 91 = 1 + 3n - 3
বা, 3n = 91 + 2
n = 31
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a + (n - 1)d}
= 31/2{2.1 + (31 - 1)3}
= 15.5 × (2 + 90)
= 1426

এখানে, ৪র্থ পদ ar^4-1 = 135
বা ar³ = 135 ......... (i)
এবং, প্রথম পদ, ar^1-1 = ar⁰ = a.1 = a = 5 ....... (ii)
(i) ÷ (ii) = 
ar³/a = 135/5
r³ = 27
∴ r = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 3
সুতরাং, x = 5 × 3 = 15
∴ y = 15 × 3 = 45

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = {a(rⁿ - 1)} / (r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি S₅ = 4(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 484