প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

a > 0, b > 0, x ≠ 0 শর্তে,
a^x = b^x হলে, a = b হবে।

একটি সংখ্যাকে a × 10ⁿ আকারে লেখার জন্য শর্ত হলো 1 ≤ a < 10।

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোটটির সমাধান (x, y) = (7, 3) যা অন্যন্য)

দেওয়া আছে,
5^{(2x - 6)} = 7^{(2x - 6)}
বা, 5^{(2x - 6)}/7^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = 1
বা, (5/7)^{(2x - 6)} = (5/7)⁰
বা, 2x - 6 = 0
বা, 2x = 6
বা, x = 6/2
বা, x = 3

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^(x+2) = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = -2

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
a^x = a^y হলে x = y হবে।

১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4x + 2y = 24
২য় সমীকরণটি,
4x + 2y = 5
বিয়োগ করে পাই,
0 = 19, যা অসম্ভব।
কাজেই এরূপ সমীকরণ জোটের কোন সমাধান নেই।

Log (1/3)⁸¹ = x
বা, (1/3)^x = 81
বা, (1/3)^x = 3⁴
বা, (1/3)^x = (3)⁴
বা, (1/3)^x = (1/3)^-4
বা, x = -4

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^(x+8)
বা, (1000)⁷ = 10^(x+8)
বা, (10³)⁷ = 10^(x+8)
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

log x^(1/27) = -3
বা, x^-3 = 1/27
বা, x³ = 27
বা, x = 3

3^(x-y) = 27
বা, 3^(x-y) = 3³
বা, x-y = 3
আবার,
3^(x+y) = 243
বা, 3^(x+y) = 3⁵
বা, x+y = 5
∴ x = 4.

ধরি, সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x
অতএব, সংখ্যাটি = 10x + 3
প্রশ্নমতে,
10x + 3 = 7(x + 3)
10x + 3 = 7x + 21
10x - 7x = 21 - 3
3x = 18
x = 6
সংখ্যাটি, 10 × 6 + 3 = 63

x√0.04 = 2
বা, x²(0.04) = 4 [বর্গ করে]
বা, 4x² = 400 [100 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 100
∴ x = 10

x/2 + 3 = x/3 + 4
বা, x/2 - x/3 = 4 - 3
বা, (3x - 2x)/6 = 1
বা, x/6 = 1
বা, x = 6

4^{(x + 1)} = 64
or, (2²)^{(x + 1)} = 2⁶
or, 2^{(2x + 2)} = 2⁶
or, 2x + 2 = 6
or, 2x = 4
or, x = 2

36.2^(3x-8) = 3²
or, 36.2^(3x-8) = 9
or, 2^(3x-8) = 9/36
or, 2^(3x-8) = 1/4
or, 3x – 8 = -2
or, 3x = 6
or, x = 2

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5 × 5 × 5 × 5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

Log₁₀ 5 + log₁₀ (5x + 1) = log₁₀ (x + 5) + 1
⇒ log₁₀ 5 + log₁₀ (5x + 1) = log₁₀ (x + 5) + log₁₀ 10
⇒ log₁₀ [5(5x + 1)] = log₁₀ [10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3

[log_k (1+x)] / log_k x = 2
⇒ log_k (1+x) = 2log_k x
⇒ log_k (1+x) = log_k x²
⇒ (1 + x) = x²
⇒ x² - x - 1 = 0
⇒ x² - (2. x . 1/2) + (1/2)² = 1 + 1/4 [দুইপাশে 1/4 যোগ করে]
⇒ (x - 1/2)² = 5/4
⇒ x - 1/2 = √5/2
∴ x = (1 + √5)/2

3^(mx-1) = 3a^(mx-2)
⇒ 3^{(mx -1)}/3 = a^(mx-2)
⇒ 3^(mx-2) = a^(mx-2)
⇒ (3/a)^(mx-2) = (3/a)⁰
⇒ mx - 2 = 0
∴ x = 2/m

ধরি, প্রকৃত দূরত্ব = x কিমি
প্রশ্নমতে,
(x + 20)/14 = x/10
14x = 10x + 200
4x = 200
x = 50

5(1 - x) + 3(2 - x) = -29
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -29
বা, -8x = -29-11
বা, -8x = -40
বা, x = -40/-8
বা, x = 5

3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)

3/x + 4/(x + 1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/(x(x + 1)) = 2
বা, 7x + 3 = 2x² + 2x
বা, 2x² - 5x - 3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়
বা, x - 3 = 0
x = 3
অথবা
বা, 2x + 1 = 0
x = - 1/2
নির্ণেয় সমাধান সেট = {3, -1/2}

3x - 2y = 5 ......(1)
2x + 3y = 12 .....(2)
সমীকরণ (1) কে তিন দিয়ে এবং (2) কে দুই দিয়ে গুণ করে পাই,
(1) + (2) করে,
বা, 13x = 39
x = 3
x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে,
বা, 2.3 + 3y = 12
বা, 3y = 6
y = 2
(x, y) = (3, 2)

y² - y√3 = 0
y(y - √3) = 0
∴ y = 0 অথবা y = √3
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট {0, √3}

x + (1/x) = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0 [বর্গমূল করে]
⇒ x = 1
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = {1}

x² + y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x - y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ 185 = (x + y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x + y)²= 361
⇒ x + y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x + y) + (x - y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x + y) - (x - y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

১ম সমীকরণ,
3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ,
-14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1

{8/(2x - 1)} + {9/(3x - 1)} = 7/(x + 1)
8/(2x - 1) + 9/(3x - 1) = 4/(x + 1) + 3/(x + 1)
⇒ 8/(2x - 1) - 4/(x + 1) = 3/(x + 1) - 9/(3x - 1)
⇒ 12/(2x - 1)(x + 1) = -12/(x + 1)(3x – 1)
⇒ 3x – 1 = - 2x + 1
⇒ 5x = 2
∴ x = 2/5

x/3 - x/5 = 1/3
⇒ 5x - 3x = 5 [Both side multiplied by 15]
⇒ 2x = 5
∴ x = 2.5

3x + 7y = -8 ---- (1)
3x - ky = 3 ----- (2)
এখানে (2) সমীকরণে -7 বসালে উভয় সমীকরণের বাম পক্ষ একই হয়ে যায় এবং সেটার কোন সমাধান হবে না।

x + y = 6 হলে xy এর সর্বোচ্চ মান নির্নয়ঃ 
1 + 5 = 6 হলে, 1 × 5 = 5
2 + 4 = 6 হলে, 2 × 4 = 8
3 + 3 = 6 হলে, 3 × 3 = 9

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
log_a 1 = 0

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

যুক্তিঃ
x + y - 1 = 0 ............. (i)
x - y + 1 = 0 ............ (ii)
(i) নং এবং (ii) নং যোগ করে পাই,
2x = 0
∴ x = 0
আবার, (i) নং এবং (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
2y = 2
∴ y = 1
উত্তরঃ (0, 1)