ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: ১, ২, ৩, ৪, ৫ এই অঙ্কগুলো সর্বোচ্চ একবার করে ব্যবহার করে ৪ অঙ্কের কতগুলো জোড় সংখ্যা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
জোড় সংখ্যা হবে যদি একক স্থানীয় অংক ২, ৪ হয়

এখন, একক স্থানীয় অংক ২ রাখলে অংক বাকি থাকে ৪টি এবং তাদের বসানোর জায়গা থাকে ৩টি
∴ একক স্থানীয় অংক ২ রেখে ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে = ^৪P_৩ = ২৪টি 

অনুরূপভাবে, একক স্থানীয় অংক ৪ রেখে ৪ অঙ্কের সংখ্যা হবে = ^৪P_৩ = ২৪টি 

∴ ৪ অঙ্কের মোট জোড় সংখ্যা হবে (২৪ + ২৪) টি = ৪৮টি

প্রশ্ন: ৫০, ২১, ৯, ১৩, ১৫, ৫০, ৪২ উপাত্ত গুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ৯ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫০ 

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫০ - ৯) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা থেকে কত উপায়ে 5 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
7 জন পুরুষ থেকে 5 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = ⁷C₅ × ³C₂
= 21 × 3 উপায়
= 63 উপায়

প্রশ্ন: ৪৫, ২০, ৩০, ৪০, ২৫, ৩৫ উপাত্তসমূহের মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই, ২০, ২৫, ৩০, ৩৫, ৪০, ৪৫
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়। 

∴ মধ্যক = (৩০ + ৩৫)/২
= ৬৫/২
= ৩২.৫

অতএব ৪০, ২৫, ৩৫, ৪৫, ২০, ৩০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ৩২.৫।

প্রশ্ন: একটি অংক আমির এবং জমির করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ২/৫ এবং ১/২। অংকটি সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমিরের পারার সম্ভাবনা ২/৫
আমিরের না পারার সম্ভাবনা = ১ - (২/৫) = ৩/৫ 

জমিরের পারার সম্ভাবনা ১/২
জমিরের না পারার সম্ভাবনা = ১ - (১/২) = ১/২

আমির এবং জমির উভয়েই না পারার সম্ভাবনা = (৩/৫) × (১/২) = ৩/১০

আমির ও জমির এর পারার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১০) = ৭/১০

প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

সমাধান:
'ARRANGE' শব্দে 7টি বর্ণ আছে।
যেখানে, A = 2টি, R = 2টি
১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকলে বাকী থাকে 5টি অক্ষর।

∴ ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G রেখে সাজানো যাবে 5!/(2! × 2!)
= 30 উপায়ে

প্রশ্ন: রাতুল দুটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করল। দুটি ছক্কার মোট সমষ্টি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দুটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট নমুনাক্ষেত্র n (S) = ৬ × ৬ = ৩৬
উভয় ছক্কার সমষ্টি মৌলিক আসার ঘটনা:
E = {(১, ১), (১, ২), (১, ৪), (১, ৬), (২, ১), (২, ৩), (২, ৫), (৩, ২), (৩, ৪), (৪, ১), (৪, ৩), (৫, ২), (৫, ৬), (৬, ১), (৬, ৫))
∴ n (E) = ১৫

∴ সম্ভাবনা = ১৫/৩৬ = ৫/১২

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংসের রান ৭, ৯৯, ১০৫, ৫, ৪৫, ৫১, ১২, ১, ৯৯, ৯৯ ক্রিকেটারের রানের মধ্যক কত?

সমাধান:
রানগুলোকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই,
১, ৫, ৭, ১২, ৪৫, ৫১, ৯৯, ৯৯, ৯৯, ১০৫ মোট উপাত্ত আছে ১০টি যা একটি জোড় সংখ্যা

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ ৬ তম পদ)/২
= (৪৫ + ৫১)/২
= ৯৬/২
= ৪৮

প্রশ্ন: সেট A = {3, 6, 9, 12, 15} হলে, সেট গঠন পদ্ধতিতে এর প্রকাশ কোনটি?

সমাধান:
এখানে সেটের প্রত্যেকটি উপাদান পূর্ণসংখ্যা, 3 এর চেয়ে ছোট নয় আবার 15 এর চেয়ে বড় নয় এবং ও এর গুণিতক।
সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতি হবে, A = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, ও এর গুণিতক, 3 ≤ x ≤ 15}

প্রশ্ন: "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
"ADVANCED" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৪টি যার মধ্যে, A আছে 2টি, এবং D আছে 2 টি।
"ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = ৪!/(2! × 2!) = 10080

"FRESH" শব্দে মোট ১টি বর্ণ আছে এবং সবগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

∴ "ADVANCED" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "FRESH" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 10080/120 = 84 গুণ

প্রশ্ন: P = Ø, Q = {a}, R = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান:
এখানে, P(P) = {0}
P সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁰ = 1

আবার, P(Q) = {{a}, Ø}
∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2¹ = 2

এবং P(R) = {{a}, {b}, {a, b}, Ø}
∴ R এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2² = 4
সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যার গুণফল = 1 × 2 × 4 = 8

প্রশ্ন: ২, ৭, ৯, ২, ৭, ৫, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

সমাধান:
২ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
৫ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
৭ সংখ্যাটি আছে ৩ বার।

যেহেতু, ৭ সংখ্যাটি অধিকবার আছে, তাই সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ৭।

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল ৮ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
৪ হওয়ার ঘটনা = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5 টি

∴ যোগফল ৪ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36

প্রশ্ন: 12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত রেখে অবশিষ্ট (12 - 2) বা 10টি হতে (5 - 2) বা 3 টিকে বাছাই করার উপায় = ¹⁰C₃ = 120

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 1 < x < 10} এবং B = {x ∈ N : x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}, হলে A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N 1 < x < 10}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

এবং B = {x ∈ N x, 3 এর গুণিতক এবং x ≤ 18}
= {3, 6, 9, 12, 15, 18}

A ∩ B  = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} ∩ {3, 6, 9, 12, 15, 18}
= {3, 6, 9}

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {3, 6, 9}