Math Master

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি 44 সে.মি. হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের পরিধি = 44 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
2πr = 44
⇒ r = 44/2π
⇒ r = 44/{2 × (22/7)}
⇒ r = (44 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 7 

∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 7 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ষড়ভুজের বাহুর সংখ্যা = ৬ টি 

আমরা জানি,
বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি = {৯০ × (২n - ৪)}° 
= {৯০ × (২ × ৬ - ৪)}° 
={৯০ × (১২ - ৪)}° 
= (৯০ × ৮}° 
= ৭২০°

প্রশ্ন: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.
ব্যাস = 2 × 3 সে.মি. = 6 সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a 
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2

আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
⇒ a√2 = 6
⇒ a = 6/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² 
= (6/√2)² 
= 36/2 
= 18 বর্গ সে.মি. 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার বাগানের পরিধি ৩৫২ মিটার হলে বাগানটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তাকার বাগানের পরিসীমা = ৩৫২ মিটার 

প্রশ্নমতে,
২πr = ৩৫২
⇒ πr = ৩৫২/২
 ⇒ πr = ১৭৬
 ⇒ r = ১৭৬/π 
 ⇒ r = ১৭৬/(২২/৭) 
 ⇒ r = (১৭৬ × ৭)/২২ 
 ⇒ r = ৫৬

∴ বাগানটির ক্ষেত্রফল = πr^২ 
= (২২/৭) × (৫৬)^২ 
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ 
= ৯৮৫৬ বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহু সংখ্যা = ৮ টি [অষ্টভুজের বাহু সংখ্যা ৮ টি]

∴ অষ্টভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - ৩)}/২ 
= {৮ × (৮ - ৩)}/২ 
= ৪ × ৫ 
= ২০ টি 

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি। বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 4 গজ 1 ফুট 5 ইঞ্চি
= (4 × 3 × 12) ইঞ্চি + (1 × 12) ইঞ্চি + 5 ইঞ্চি 
= (144 + 12 + 5) ইঞ্চি 
= 161 ইঞ্চি

∴ বৃত্তের পরিধি = 2πr 
= 2 × (22/7) × 161
= 1012 ইঞ্চি

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত ABC ত্রিভুজে ∠BOC =118° হলে ∠BCO = ?

সমাধান:

OC ও OB বৃত্তের ব্যাসার্ধ হওয়ায় OC = OB
∴ ΔBOC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
এখন,
ΔBOC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, ∠OBC = ∠BCO

আবার,
ΔBOC এ,
∠OBC + ∠BOC + ∠BCO = 180°
⇒ ∠BCO + ∠BOC + ∠BCO = 180 [∠OBC = ∠BCO]
⇒ 2 BCO + BOC = 180°
⇒ 2 ∠BCO + 118° = 180°
⇒ 2 ∠BCO = 180° - 118° = 62°
⇒ ∠BCO = 62°/2
⇒ ∠BCO = 31°

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে কয়টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

সমাধান:

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ না করে পাশাপাশি অবস্থান করলে ৪টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যাবে।
AB, CD, EF, GH চারটি স্পর্শক। 

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের কোণগুলোর অনুপাত ৯ : ১০ : ১২ : ১৪ : ১৫ হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি,
পঞ্চভুজটির কোণগুলোর পরিমাণ যথাক্রমে ৯ক, ১০ক, ১২ক, ১৪ক , ১৫ক 

আমরা জানি,
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ ৫ টি কোণের সমষ্টি = (২n - ৪) × ৯০° 
= (২ × ৫ - ৪) × ৯০° 
= (১০ - ৪) × ৯০° 
= ৬ ×  ৯০° = ৫৪০°

প্রশ্নমতে,
৯ক + ১০ক + ১২ক + ১৪ক + ১৫ক = ৫৪০° 
⇒ ৬০ক = ৫৪০°
 ⇒ ক = ৫৪০°/৬০ 
 ⇒ ক = ৯° 

∴ বৃহত্তম কোণ = (১৫ × ৯)° = ১৩৫° 
এবং ক্ষুদ্রতম কোণ = (৯ × ৯)° = ৮১° 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের অন্তর = (১৩৫ - ৮১)° = ৫৪° 

প্রশ্ন: কোনো অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪√২ সে.মি. হলে অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল কত? (যেখানে √২ = ১.৪১)

সমাধান:
অষ্টভুজের প্রত্যেকটি বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪√২ সে.মি.

∴ অষ্টভুজটির ক্ষেত্রফল = ২a^২(১ + √২) বর্গসে.মি. 
= ২ × (৪√২)^২ × (১ + √২)
= ২ × (১৬ × ২) × (১ + √২) 
= ৬৪(১ + √২)
= ৬৪(১ + ১.৪১)
= ৬৪ × ২.৪১
= ১৫৪.২৪ বর্গসে.মি. 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 90 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 90
⇒ 2r(π - 1) = 90
⇒ r = 90/{2(π - 1)}
⇒ r = 45/{(22/7) - 1}
⇒ r = 45/{(22 - 7)/7}
⇒ r = 45/(15/7)
⇒ r = (45 × 7)/15
⇒ r = 21

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য ১০০° হলে বহুভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের পার্থক্য = ১০০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৭২০°/(১৮০° - কোণদ্বয়ের পার্থক্য) 
= ৭২০°/(১৮০° - ১০০°) 
= ৭২০°/৮০° 
= ৯ টি  

∴ বহুভুজটি ৯ বাহু বিশিষ্ট অর্থাৎ নবভুজ(Nonagon)।