ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: একটি ছক্কাকে একবার নিক্ষেপ করা হলে, 3 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় মোট সংখ্যা আছে = 6টি
ছক্কায় 3 থেকে বড় সংখ্যাগুলো হলো = {4, 5, 6}
ছক্কায় 3 থেকে বড় সংখ্যা আছে =3টি

∴ 3 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = 3/6
= 1/2

প্রশ্ন:  ১২, ১৯, ৮, ১৬, ১২, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
উপাত্তগুলোর মানের উর্ধবক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,
৮, ১১, ১২, ১৬, ১৯, ২০
যেহেতু এখানে জোড় সংখ্যক সংখ্যা রয়েছে। তাই মধ্যক হবে মাঝের দুইটি সংখ্যার গড়।

∴ মধ্যক = (১২ + ১৬)/২
= ২৮/২
= ১৪

অতএব, ১২, ১৯, ৮, ১৬, ১২, ২০ উপাত্তগুলোর মধ্যক হলো ১৪।

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার হেড না আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্রগুলো হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

ঠিক দুইবার হেড আছে ৬টি নমুনা বিন্দুতে।
ঠিক দুইবার হেড আসার সম্ভাবনা = ৬/১৬ = ৩/৮
∴ ঠিক দুইবার হেড না আসার সম্ভাবনা = ১ - (৩/৮)
= (৮ - ৩)/৮
= ৫/৮

প্রশ্ন: A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 15} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 15}
⇒ A = {3, 6, 9, 12}
∴ A এর উপাদান সংখ্যা = 4

সুতরাং, A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2⁴ - 1
= 16 - 1
= 15

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৪ সালের আগস্ট মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৩ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয় নি = ৪ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি একটি সেটের উপসেট সংখ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
n সংখ্যক সদস্য সংখ্যাবিশিষ্ট সেটের উপসেটের সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ

68 কে 2 এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।
অতএব, 68 সংখ্যাটি একটি সেটের উপসেট সংখ্যা হতে পারে না।

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি,
রাজা = ৪ টি, টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৫২) + (৪/৫২)
= ২/১৩

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৩টি সবুজ বল আছে। ব্যাগ থেকে একটি বল দ্বৈবভাবে নেওয়া হলো। বলটি লাল বা সবুজ বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৫ + ৭ + ৩ = ১৫
সবুজ ও লাল বলের সংখ্যা = ৫ + ৩ = ৮

এখন, বলটি লাল বা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৫
∴ বলটি লাল বা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৮/১৫)
= ৭/১৫

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক), এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6} হলে, A - B এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {x ∈ N : x, 9 এর গুণনীয়ক}
= {1, 3 ,9}
এবং B = {x ∈ N : 2 < x < 6}
= {3 ,4, 5} 

∴ A\B = {1,3,9}\{3,4,5}= {1,9}
 
সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {1,9}

প্রশ্ন: - ৩, - ১, ০, ১, ৩ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো।  ক^২ > ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
(- ৩)^২ = ৯
(- ১)^২ = ১
০^২ = ০
১^২ = ১
৩^২ = ৯

একটি ঘটনা ছাড়া বাকি ৪ টিতেই শুন্য থেকে বড় সংখ্যা পাওয়া যাবে।
∴ সম্ভাব্যতা = ৪/৫

প্রশ্ন: 2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9 উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
2, 2, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9 উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?
এখানে 7 উপাত্তটি সবচেয়ে বেশি 3 বার আছে তাই প্রচুরক = 7

প্রশ্ন: S = {x ∈ N : x² = 4} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
N  বলতে স্বাভাবিক সংখ্যার (Natural number) সেট বুঝায়।
শূন্য থেকে বড় সকল  পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে। যেমন 1, 2, 3, 4 . . . N

এখানে,
 x² = 4
∴ x = ± 2
কিন্তু -2 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়।
∴ S = {2}

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/7 এবং A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3
P(B) = 3/7
এবং A ও B স্বাধীন

∴ P(A∩B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (3/7)
= 1/7

∴ P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
= (1/7)/(1/3)
= (1/7) × (3/1)
= 3/7

প্রশ্ন: Q = {3, 4} হলে, P(Q) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Q = {3, 4}

∴ p(Q) = {{3}, {4}, {3, 4}, Ø}

সুতরাং, p(Q) এর উপাদান সংখ্যা = 4টি

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
8 হওয়ার ঘটনা = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = 5 টি

∴ যোগফল 8 হওয়ার সম্ভাবনা = 5/36

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হতে পারেনা?

সমাধান:
কোন ঘটনা অবশ্যই ঘটলে তার মান হবে = ১
অবশ্যই না ঘটলে তার মান হবে = ০
অন্যথায় যেকোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা হবে ০ থেকে ১ এর মধ্য যেকোনো সংখ্যা।

এখানে, ৪/৩ = ১.৩৩ > ১ ; যা একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা হতে পারেনা।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 30 জন ছাত্র ফুটবল খেলে, 25 জন ক্রিকেট খেলে, 8 জন কিছুই খেলে না। যদি 12 জন ফুটবল ও ক্রিকেট উভয়ই খেলে, তবে ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
n(F) = 30
n(C) = 25
n(F ∩ C) = 12

n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
= 30 + 25 - 12
= 43

অর্থাৎ 43 জন ফুটবল বা ক্রিকেট এর অন্তত একটি খেলতে পারে।
ঐ ক্লাসে ছাত্র সংখ্যা = 43 + 8 = 51 জন

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৩ ও ১/৮। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৩)
= ২/৩

B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৮)
= ৭/৮

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= (২/৩) × (৭/৮)
= ৭/১২

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (৭/১২)
= ৫/১২

প্রশ্ন: ৫ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৫ এর গুণিতকসমূহ = ৫, ১০, ১৫, ২০, . . . ইত্যাদি
∴ ৫ এর গুণিতকের সেট = {৫, ১০, ১৫, ২০, . . .}

অর্থাৎ, ৫ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

প্রশ্ন: যদি A = {x ∈ N : 2^x = 16} এবং B = {x : x ∈ N, x সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য} হয়, তাহলে A ∩ B = ?

সমাধান:
এখানে, 2^x = 16
⇒ 2^x = 2⁴
⇒ x = 4

∴ A = {4}
আবার, B = {4, 8, 12, …… }

∴ A ∩ B = {4} ∩ {4, 8, 12, …… }
= {4}