Math Master

প্রশ্ন: যদি 7x + y = 24 এবং 5x = y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
7x + y = 24  ...... (1)
এবং 5x = y  ....... (2)

এখন,
y এর মান (1) নং বসাই,
7x + 5y = 24
⇒ 12x = 24
⇒ x = 24/12
∴ x = 2

x এর মান 2 নং এ বসিয়ে পাই,
y = 5 × 2 = 10

প্রশ্ন: |x + 5| ≤ 7 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 5| ≤ 7
⇒  - 7 ≤ x + 5 ≤ 7
⇒ - 7 - 5 ≤ x + 7 - 5 ≤ 7 - 5
⇒ - 12 ≤ x ≤ 2

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 12

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 165 এবং বর্গের যোগফল 346 হলে, সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

১ম শর্তানুসারে,
xy = 165
২য় শর্তানুসারে,
x² + y² = 346

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ (x + y)² = 346 + 2 × 165
⇒ (x + y)² = 676
⇒ (x + y) = √676
∴ x + y = 26

প্রশ্ন: {1/|2x - 3|} ≥ (1/5) অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
1/|2x - 3| ≥ 1/5
⇒ |2x - 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ 2x - 3 ≤ 5
⇒ - 5 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 2/2 ≤ 2x/2 ≤ 8/2
⇒ - 1 ≤ x ≤ 4

প্রশ্ন: (3x + 2y, 16) = (36, x + 2y) হলে, (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 36 .............. (1)
x + 2y = 16 ................ (2)

(1) নং সমীকরণ থেকে (2) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই,
(3x + 2y - x - 2y) = 36 - 16
⇒ 2x = 20
∴ x = 10

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 2y = 16
⇒ 2y = 16 - 10
⇒ 2y = 6
⇒ y = 6/2
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (10, 3)

প্রশ্ন: - 5 < a < 9 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (9 - 5)/2
= 4/2
= 2

এখন,
- 5 < a < 9
⇒ - 5 - 2 < a - 2 < 9 - 2 
⇒ - 7 < a - 2 < 7
⇒ |a - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |a - 2| < 7

প্রশ্ন: 2(x + 28) + 11 = 9(x + 2)  হলে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
2(x + 28) + 11 = 9(x + 2) 
⇒ 2x + 56 + 11 = 9x + 18
⇒ 2x + 67 = 9x + 18
⇒ 9x - 2x = 67 - 18
⇒ 7x = 49
⇒ x = 49/7
∴ x = 7

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ ≤ 6 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 4 ≤ q হবে?

সমাধান:
∣x + 2∣ ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x + 2 ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ x + 2 - 2 ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4
⇒ - 24 ≤ 3x ≤ 12
⇒ - 24 - 4 ≤ 3x - 4 ≤ 12 - 4
⇒ - 28 ≤ 3x - 4 ≤ 8

যেখানে, p ≤ 3x - 4 ≤ q
∴ p = - 28 এবং q = 8

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 = 0  হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
a² - 6a + 8 = 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 = 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) = 0
⇒ (a - 4)(a - 2) = 0
∴ a = 4 অথবা 2

∴ a এর মান = 2 অথবা 4

প্রশ্ন: x² + 6x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + 6x + 9 = 0
এখানে,
a = 1, b = 6 এবং c = 9

∴ নিশ্চায়ক= b² - 4ac
= (6)² - 4 × 1 × 9
= 36 - 36
= 0
যেহেতু, b² - 4ac = 0 সুতরাং, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: x² - 5x + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে  c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2 
অর্থাৎ, x = 2

এখন,
x² - 5x + c = 0
⇒ (2)² - 5 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 10 + c = 0
⇒ - 6 + c = 0
∴ c = 6

প্রশ্ন: 3a + 9 >18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3a + 9 > 18
⇒ 3a + 9 - 9 > 18 - 9
⇒ 3a > 9
⇒ 3a/3 > 9/3
⇒ a > 3

∴ নির্ণেয় সমাধান: a > 3
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {a ∈ R : a > 3}

প্রশ্ন:  সমীকরণ দুটি থেকে (x, y) এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
x/2 + y/3 = 1
⇒ (3x + 2y)/6 = 1
⇒ 3x + 2y = 6 ---------------- (1)

আবার,
x/3 + y/2 = 1
⇒ (2x + 3y)/6 = 1
⇒ 2x + 3y = 6  ---------------- (2)

(1) × 2 ও  (2) × 3 করে বিয়োগ করি,
6x + 4y - 6x - 9y = 12 - 18
⇒ - 5y = - 6
∴ y = 6/5

y এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,
3x + 2 . (6/5) = 6
⇒ 15x + 12 = 30
⇒ 15x = 30 - 12
⇒ 15x = 18
⇒ x = 18/15
∴ x = 6/5

∴ (x, y) = (6/5, 6/5)

প্রশ্ন: - 6 ≤ 3x + 3 < 27 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 6 ≤ 3x + 3 < 27
⇒ - 6 - 3 ≤ 3x + 3 - 3 < 27 - 3
⇒ - 9 ≤ 3x < 24
⇒ (- 9/3) ≤ (3x/3) < (24/3)
⇒ - 3 ≤ x < 8

∴ অসমতাটির সমাধান: [- 3, 8)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 4 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 5 গুণ সমান 35 হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = a

প্রশ্নমতে,
(a - 4) × 5 = 35
⇒ 5a - 20 = 35
⇒ 5a = 35 + 20
⇒ 5a = 55
⇒ a = 55/5
∴ a = 11

অতএব, সংখ্যাটি = 11

প্রশ্ন: 1/।1 - 2a। ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/।1 - 2a। ≥ 5
⇒ 1 - 2a ≤ 1/5

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
1 - 2a ≤ 1/5
⇒ 1 - 2a - 1 ≤ - 1 + (1/5)
⇒ - 2x ≤ (- 5 + 1)/5
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5
⇒ 2/5 ≤ a

 ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই,
- (1 - 2a) ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a ≤ 1/5
⇒ - 1 + 2a + 1 ≤ 1 + (1/5)
⇒ 2a ≤ (5 + 1)/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান = (2/5) ≤ a ≤ (3/5)

প্রশ্ন: (2 + √3) ও (2 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
মনে করি,
মূলদ্বয়, α = 2 + √3 এবং β = 2 - √3
মূলদ্বয়ের যোগফল, α +  β = 2 + √3 + 2 - √3
∴ α +  β = 4

মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (2 + √3) . (2 - √3)
= (2)² - (√3)²
= 4 - 3
∴ αβ = 1

∴ নির্ণেয় সমীকরণ x² - (α +  β) x + αβ = 0
⇒ x² - 4x + 1 = 0

∴ নির্ণেয় সমীকরণ, x² - 4x + 1 = 0

প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকা দরে x টি পেনসিল এবং 8 টাকা দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম 5x টাকা
এবং (x + 4) টি খাতার দাম 8(x + 4) টাকা।

প্রশ্নমতে,
5x + 8(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 8x + 32 ≤ 97
⇒ 13x ≤ 65
⇒ x ≤ 65/13
∴ x ≤ 5

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 5 টি পেনসিল কিনেছে।

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
⇒ x = y - 2
⇒ x - y = - 2.............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 2y -x + y = - 7 + 2
⇒ - y = - 5
∴ y = 5

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
⇒ x = - 2 + 5
∴ x = 3

∴ ভগ্নাংশটি = 3/5

প্রশ্ন: (x - 3)(x - 4) < 0 এর সমাধান কত?

সমাধান:
(x - 3)(x - 4) < 0 সত্য হবে, যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।

এখন,
x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
(x - 3)(x - 4) < 0 সত্য হবে, যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0 হয়।

এখন,  
x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.  

∴ নির্ণেয় সমাধান: 3 < x < 4