১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

কোন শর্তে a⁰ = 1 হবে ?

সমাধান:
  a⁰= 1  ; (a ≠ 0)

প্রশ্ন: 4 + 9 + 14 + 19 +.................... ধারাটির কোন পদ 329?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা । 
যার ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 4 = 5

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, 
⇒ a + (n - 1)d = 329
⇒ 4 + (n - 1)5 = 329
⇒ 4 + 5n - 5 = 329
⇒ 5n = 329 + 5 - 4
⇒ 5n = 330
⇒ n = 330/5
∴ n = 66

প্রশ্ন: log₆a = 2 হলে a = কত?

সমাধান:
log₆a = 2
⇒ a = 6²
∴ a = 36

প্রশ্ন: 4^x + 4^x + 4^x + 4^x = কত?

সমাধান:
4^x + 4^x + 4^x + 4^x 
= 4^x ( 1 + 1 + 1 + 1 )
= 4^x . 4¹
= 4^{x + 1}
= (2²)^{x + 1}
= 2^{2x + 2}

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 18 তম পদ - 20 হলে, এর 35 তম পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা ।
যার ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d 
আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
18 তম পদ = a + (18 - 1)d

প্রশ্নমতে,
⇒ a + 17d = - 20 ...................(¡)
 
আমরা জানি, 
n তম পদের সমষ্টি, Sn  = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
35 তম পদের সমষ্টি, S₃₅
= (35/2){2a + (35 - 1)d}
= (35/2)(2a + 34d)
= (35/2) × 2(a + 17d)
= 35 × (- 20)
= - 700

প্রশ্ন: log_√8x = 2/3 হলে x এর মান কত ?

সমাধান:
log_√8x =2/3
⇒ x = (√8)^2/3
⇒ x = {(2³)^1/2}^2/3
⇒ x = (2^3/2)^2/3
⇒ x = 2¹
∴ x = 2

প্রশ্ন: 7 + 11 + 15 + 19 +.................. ধারাটির ৭ম তম পদের মান কত?

সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 7
সাধারণ পদ, d = 11-7 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1) d
 7ম তম পদ = 7 + (7 - 1) × 4
= 7 + (6 × 4)
= 7 + 24
= 31

প্রশ্ন: log(x^x.y^y.z^z) = 0 হলে x^x.y^y.z^z = ?

সমাধান:
⇒ log(x^x.y^y.z^z) = 0
⇒ log(x^x.y^y.z^z) = log1    ;[ log1 = 0 ]
∴ x^x.y^y.z^z = 1

প্রশ্ন: 11 + 12 + 13 + 14 +......... + 100 = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)/2

এখন,
11 + 12 + 13 + 14 +......... + 100 = (1 + 2 + 3 + ..............+ 100) - (1 + 2 + 3 + ........... + 10)
{n(n + 1)/2} - {n(n + 1)/2}
= {100(100 + 1)/2} - {10(10 + 1)/2}
= (100 × 101)/2 - (10 × 11)/2
= (50 × 101) - (5 × 11)
= 5050 - 55
= 4995

প্রশ্ন: a^-2 = 0.2 হলে a⁶ এর মান কত ? √

সমাধান:
a^-2 = 0.2
⇒ 1/a² = 2/10
⇒ a² = 10/2
⇒ a² = 5
⇒ (a²)³ = (5)³
⇒ a⁶ = 125

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² +.............. + n² ধারাটির পদ্গুলোর সমষ্টি ?

সমাধান: 
1² + 2² + 3² + ............... + n² = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
1 + 2 + 3 + ............. + n = n(n + 1)/2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম এবং ২য় পদ যথাক্রমে 64 এবং 16 হলে ধারাটির 10 পদ কত ? 

সমাধান: 
ধারার ১ম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত,r
= 16/64
= 1/4

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ,
= ar^{n - 1}
= 64 × (1/4)^{10 - 1}
= 4³ × 1/4⁹
= 43 × 1/(4³ × 4⁶)
= 1/4⁶
= 1/4096

প্রশ্ন: 27^{x + 5} = 9^{2x + 7} হলে x এর মান কত ?

সমাধান:
27^{x + 5} = 9^{2x + 7}
⇒ (3³)^{x + 5} = (3²)^{2x + 7}
⇒ 3^{3x + 15} = 3^{4x +14}
⇒ 3x +15 = 4x + 14
⇒ 3x - 4x = 14 - 15
⇒ -x = -1
∴ x = 1

প্রশ্ন: 72 + 36 + 18 + 9 + ....... ধারাটির ৮ম তম পদ কত ? 

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ , a = 72
সাধারণ অনুপাত , r = 36/72 = 1/2
আমরা জানি ,

n তম পদ = ar^{n - 1}
৮ম তম পদ = 72 × (1/2)^{8 - 1}
= 72 × (1/2)⁷
= 72 × 1/128
= 72/128
∴  9/16

প্রশ্ন: 2^{5x - 2} = 256 হলে x এর মান নির্ণয় কর 

সমাধান:
⇒ 2^{5x - 2} = 256
⇒ 2^{5x - 2} = 2⁸
⇒ 5x - 2 = 8
⇒ 5x = 8 + 2
⇒ 5x = 10 
⇒ x = 10/5
∴ x = 2

প্রশ্ন: 4 - 4 + 4 - 4 + ............... ধারাটির (2n + 2) টি পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ, a = 4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = - 4/4 = -1   ; r < 1

n তম পদের সমষ্টি, S_n = a( 1 - rⁿ )/( 1 -r )
(2n + 2 ) তম পদের সমষ্টি,S_n
= 4{ 1 - (- 1 )^{2n + 2}}/{ 1 - ( - 1 )}
= 4( 1 - 1 )/ ( 1 + 1 )
=( 4 × 0)/2
= 0

অথবা,
যেহেতু , ধারাটির ১ম দুটি পদের যোগফল = (4 - 4) = 0 এবং ধারাটি এই ভাবে অগ্রসর হচ্ছে । তাই ধারাটি যেকোনো সংখ্যক জোড়া পদের সমষ্টি = 0 হবে। এখানে (2n + 2 ) দ্বারা জড়া পদ বুঝানো হয়েছে । তাই ধারাটির (2n + 2 ) সংখ্যক জোড়া পদের সমষ্টি  = 0

প্রশ্ন: (7^{- 2} ÷ 49^{- 1})^{- 2} এর মান কত ? 

 সমাধান:
(7^{- 2} ÷ 49^{- 1})^{- 2}
= (1/7² ÷ 1/49)^{- 2}
= (1/49 × 49)^{- 2}
= (1)^{- 2}
= 1/1²
= 1

প্রশ্ন: 16^a = 64^b হয় , তবে a/b এর মান কত ?

সমাধান:
16^a = 64^b
⇒ (2⁴)^a = (2⁶)^b
⇒ 2^4a = 2^6b
⇒ 4a = 6b
⇒ a/b = 6/4
∴ a/b = 3/2

প্রশ্ন:  a + ar + ar² ............... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত কী ?

সমাধান:
প্রদত্ত  অসীম গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকাবে যদি,। r । < 1 অর্থাৎ  - 1 < r < 1

প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + 8 + ........... + 120 = ?

 সমাধান:
ইহা একটি সমান্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 4 - 2 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,  
a + (n - 1)d = 120
2 + ( n - 1 )2 =120
2 + 2n - 2 = 120
2n =120
n = 120/2
∴ n = 60

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি, S_n  = n/2 × {2a + ( n - 1 )d}
60 তম পদের সমষ্টি,S₆₀ 
= 60/2 × ( 2.2 + 59.2)
= 30 × ( 4 + 118)
= 30 × 122
= 3660

প্রশ্ন: log₅(√5 × 25) এর মান কত ? 

সমাধান: 
= log₅(√5 × 25)
= log₅(5^½ × 5²)
= log₅5^{(½ + 2)}
= (1/2 + 2 ) log₅5
= (1 + 4 )/ 2
= 5/2

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 ÷ 1 = 1/3  ; r < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি
S_n = a(1 - rⁿ)/( 1 - r)
S₆ = 1 × {1 - (1/3)⁶}/ (1 - 1/3)
= (1 - 1/3⁶) / 2/3
= (1 - 1/729) / (2/3)
= 728/729 × 3/2
= 364/243