শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: যদি a - b = 7 এবং ab = 60 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a - b = 7 এবং ab = 60

আমরা জানি, 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (7)² + 2 × 60
= 49 + 120
 = 169

প্রশ্ন: a - 1, a² - 1 এবং a³ - 1 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = a - 1

২য় রাশি = a² - 1
= a² - 1²
= (a + 1)(a - 1)

এবং
৩য় রাশি = a³ - 1
= a³ - 1³
= (a - 1)(a² + a + 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (a - 1)

প্রশ্ন: সরল করুন: (5a - 7b)² + 2(5a - 7b)(9b - 4a) + (9b - 4a)²

সমাধান:
ধরি, (5a - 7b) = x
এবং 9b - 4a = y

∴ প্রদত্ত রাশি = x² + 2xy + y²
= (x + y)²
= (5a - 7b + 9b - 4a)² ; [[x এবং y এর মান বসিয়ে]] 
= (a + 2b)² 
= a² + 4ab + 4b²

প্রশ্ন: যদি x² - x - 12 এবং x² - 16 এর গ.সা.গু x - a হয়, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(x + 3)

এবং
২য় রাশি,
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

∴ গ.সা.গু = x - 4

প্রশ্নমতে, 
x - a = x - 4
∴ a = 4

সঠিক উত্তর:খ) 7 ও ঘ) 11
অপশনে দ্বৈত উত্তর থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।

প্রশ্ন: যদি x + y = 18 এবং xy = 77 হয়, তাহলে x এর ধনাত্মক মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 18 ......(১)  এবং xy = 77

আমরা জানি, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= 18² - 4 × 77
= 324 - 308
⇒ (x - y)² = 16 = 4²
∴ x - y = 4 ......(২) 

এখন, (১) ও (২) নং যোগ করে পাই, 
x + y + x - y = 18 + 4
⇒ 2x = 22
⇒ x = 22/2
∴ x = 11

প্রশ্ন: x² - y², 2(x + y) এবং 2x²y + 2xy² এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান:
১ম রাশি,
x² - y²
= (x - y)(x + y)

২য় রাশি, 
2(x + y)

৩য় রাশি,
2x²y + 2xy²
= 2xy(x + y)

সুতরাং, রাশি তিনটি ল.সা.গু = 2xy(x + y)(x - y)

প্রশ্ন: a + b = 4 এবং ab = 3 হলে, a² - ab + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a + b = 4 এবং ab = 3

প্রদত্ত রাশি, 
a² - ab + b²
= a² + b² - ab
= (a + b)² - 2ab - ab
= (a + b)² - 3ab
= 4² - (3 × 3)
= 16 - 9
= 7

প্রশ্ন: একটি বইয়ের দাম একটি কলমের দামের 3 গুণ। যদি 2টি বই ও 3টি কলমের মোট দাম 180 টাকা হয়, তাহলে একটি কলমের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কলমের দাম = x টাকা
তাহলে একটি বইয়ের দাম = 3x টাকা

প্রশ্নমতে,
2টি বই ও 3টি কলমের মোট দাম = 180 টাকা
⇒ 2(3x) + 3x = 180
⇒ 6x + 3x = 180
⇒ 9x = 180
⇒ x = 180/9
∴ x = 20

সুতরাং, একটি কলমের দাম 20 টাকা। 

প্রশ্ন: x + y = 5 এবং xy = 4 হলে (x³ + y³)² = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5 এবং xy = 4

আমরা জানি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy( x + y)
= 5³ - 3 × 4 × 5
= 125 - 60
= 65

এখন, (x³ + y³)² = 65² = 4225

প্রশ্ন: (a - 1)(a² + a + 1) এর গুণফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(a - 1)(a² + a + 1)
= (a - 1)(a² + a . 1 + 1²)
= a³ - 1³
= a³ - 1

প্রশ্ন: (x/y) + (y/x) = - 1 হলে, x³ - y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x/y) + (y/x) = - 1
⇒ (x² + y²)/xy = - 1
⇒ x² + y² = - xy
∴ x² + xy + y² = 0

আমরা জানি,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
= (x - y) × 0
= 0

প্রশ্ন: x² - 16 এবং x² - 8x + 16 এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
১ম রাশি, 
x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4)(x - 4)

২য় রাশি, 
x² - 8x + 16
= x² - 2 . x. 4 + 4²
= (x - 4)²
= (x - 4)(x - 4)

∴ নির্ণয়ে গ.সা.গু = (x - 4)

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11 হয়, তবে a² + b² + c² =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং ab + bc + ca = 11

আমরা জানি,
a² + b² + c² =  (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
= (6)² - 2 × 11
= 36 - 22
= 14

প্রশ্ন: a² - 4a + 3 এবং a² - 5a + 6 এর ল.সা.গু = কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = a² - 4a + 3
= a² - 3a - a + 3
= a(a - 3) - 1(a - 3)
= (a - 3)(a - 1)

২য় রশি = a² - 5a + 6
= a² - 2a - 3a + 6
= a(a - 2) - 3(a - 2)
= (a - 2)(a - 3)

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = (a - 1)(a - 2)(a - 3)

প্রশ্ন: x³ - y³ = 513 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x³ - y³ = 513 এবং x - y = 3 

আমরা জানি, 
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y)
⇒ 513 = 3³ + 3xy × 3
⇒ 9xy = 513 - 27
⇒ xy = 486/9
∴ xy = 54

প্রশ্ন: যদি a = 2 এবং b = - 1 হয়, তবে 27a³ - 27a²b + 9ab² - b³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 এবং b = - 1

প্রদত্ত রাশি, 
27a³ - 27a²b + 9ab² - b³
= (3a)³ - 3 . (3a)² . b + 3 . (3a) . b² - b³
= (3a - b)³
= {3(2) - (- 1)}³
= (6 + 1)³
= 7³
= 343

প্রশ্ন: x² - 2x - 3 এবং x² + 2x - 3 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 2x - 3
= x² - 3x + x - 3 
= x(x - 3) + 1(x - 3)
= (x - 3)(x + 1)

২য় রাশি = x² + 2x - 3
= x² + 3x - x - 3
= x(x + 3) - 1(x + 3) 
= (x + 3)(x - 1)

গ.সা.গু. হলো রাশিদ্বয়ের সাধারণ উৎপাদক।
এখানে কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই, তাই গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: যদি x² - √3x + 1 = 0 হয়, তবে x + 1/x = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - √3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √3x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √3x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
∴ x + 1/x = √3

প্রশ্ন: x²y³z, x³y²z⁴ এবং xy⁴z² এই তিনটি রাশির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
১ম রাশি = x²y³z = x. x. y. y. y. z
২য় রাশি = x³y²z⁴ = x. x. x. y. y. z. z. z. z
৩য় রাশি = xy⁴z² = x. y. y. y. y. z. z

এখানে,
x, y এবং z গুণনীয়ক সমূহের সর্বোচ্চ ঘাত যথাক্রমে x³, y⁴ এবং z⁴

∴ ল.সা.গু = x³y⁴z⁴

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি √6 হলে, ঐ সংখ্যার ঘন ও ঘন-এর গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 1/x = √6

এখন
x³ + (1/x)³ = (x + 1/x)³ - 3. x. (1/x)(x + 1/x)
= (√6)³ - 3√6
= 6√6 - 3√6
= 3√6

প্রশ্ন: x³ + 2x²y - xy + y² - 5 এর পদসংখ্যা কয়টি?

সমাধান: 
দেওয়া বহুপদী, 
x³ + 2x²y - xy + y² - 5
প্রতিটি পদ আলাদা করে দেখি, 
x³, 2x²y, - xy, y², - 5

সুতরাং, এখানে 5টি পদ আছে। 

প্রশ্ন: যদি 1/a = 4 - a হয়, তবে a³ + 1/a³ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/a = 3 - a
∴ a + 1/a = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . (1/a)(a + 1/a)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: যদি a⁴ - 2a² + 1 = 0 এবং a > 0 হয়, তাহলে a এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2 . a² . 1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
⇒ a = √1
∴ a = ± 1

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে a > 0 (অর্থাৎ a ধনাত্মক),
∴ a = 1

প্রশ্ন: যদি a + b = 6 এবং a - b = 2 হয় , তাহলে 2(a² + b²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 6 এবং a - b = 2

∴ 2(a² + 2b²)
= {(a + b)² + (a - b)²}
= (6)² + (2)²
= 36 + 4 
= 40

প্রশ্ন: যদি x - (1/x)= p হলে, c/x(x - p) এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x)= p
⇒ (x² - 1)/x = p
⇒ x² - 1 = xp
⇒ x² - xp = 1 
⇒ x(x - p) = 1 

এখন,
c/x(x - p)
= c/1 
= c