নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

∴ √27/3 = 3√3/3 = √3 = 1.732....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: সুমন, রিফাত ও শাওনের মাসিক খরচের অনুপাত ৬ : ৩ : ৪। সুমনের মাসিক খরচ ১৮,০০০ টাকা হলে, শাওনের মাসিক খরচ কত হবে?

সমাধান:
সুমন, রিফাত ও শাওনের খরচের অনুপাত = ৬ : ৩ : ৪
∴ শাওনের খরচ/সুমনের খরচ = ৪/৬
⇒ শাওনের খরচ/১৮,০০০ = ৪/৬
∴ শাওনের খরচ = ৪ × (১৮,০০০/৬)
= ১২,০০০ টাকা

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ২৪, ৩৬, ৪৮ এবং ৬০ সারিতে গাছ লাগালে একটিও কম বা বেশি হবে না?

সমাধান:
২৪, ৩৬, ৪৮ এবং ৬০ এর ল.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় গাছের সংখ্যা।
২৪, ৩৬, ৪৮ এবং ৬০ এর ল.সা.গু = ৭২০

∴ সর্বমোট ৭২০ টি গাছ লাগাতে হবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৫% হারে ৫০০০ টাকার ৩ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

সমাধান:
সরল মুনাফা = আসল × সময় × মুনাফার হার
= ৫০০০ × ৩ × (৫/১০০)
= ৭৫০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = আসল × {(১ + মুনাফার হার)^৩ - ১}
= ৫০০০ × {(১ + ০.০৫)^৩ - ১}
= ৭৮৮.১২৫ টাকা

∴ ৩ বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য = ৭৮৮.১২৫ - ৭৫০
= ৩৮.১২৫ টাকা

প্রশ্ন: ৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৩ + ক)/(৭ + ক) = ২/৩
⇒ ৯ + ৩ক = ১৪ + ২ক
⇒ ৩ক - ২ক = ১৪ - ৯
⇒ ক = ৫

∴ সংখ্যাটি = ৫

প্রশ্ন: ৮০ এর ২৫% এর ২০% = কত?

সমাধান:
৮০ এর ২৫% এর ২০% = ৮০ × (২৫/১০০) × (২০/১০০)
= ৮০ × (১/৪) × (১/৫)
= ৪

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে ২০০০ টাকার ৪ বছরের সুদাসল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সুদের হার × সময়)/১০০
= (২০০০ × ১০ × ৪)/১০০
= ৮০০ টাকা

∴ সুদাসল = সুদ + আসল
= ৮০০ + ২০০০
= ২৮০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি অ্যাকুরিয়াম ৮৩২ টাকা বিক্রয় করলে যত লাভ হয় ৪৪৮ টাকা বিক্রয় করলে তত ক্ষতি হয়। ২০% লাভ করতে অ্যাকুরিয়ামটি কত টাকা বিক্রয় করতে হবে?

সমাধান:
ধরি,
৪৪৮ টাকায় বিক্রয় করলে ক্ষতি হয় = ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৪৪৮ + ক টাকা

আবার, ৮৩২ টাকায় বিক্রয় করলে লাভ হয় = ক টাকা
তাহলে ক্রয়মূল্য = ৮৩২ - ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৪৪৮ + ক = ৮৩২ - ক
⇒ ২ক = ৩৮৪
∴ ক = ১৯২
ক্রয়মূল্য = ৪৪৮ + ১৯২ = ৬৪০ টাকা

২০% লাভে,
বিক্রয়মূল্য = (৬৪০ × ১২০)/১০০
= ৭৬৮ টাকা

প্রশ্ন: ক একটি জোড় সংখ্যা এবং খ একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারে?

সমাধান:
• ক + খ : জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ + ৩ = ৫]
• ক - খ : জোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ - ১ = ১]
• কখ/২ : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা)/২ = জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩)/২ = ৩; (৪ × ৩)/২ = ৬]
• কখ + ৫ : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা) + ৫ = জোড় সংখ্যা + ৫ = বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩) + ৫ = ১১]

প্রশ্ন: দুইটি ঘণ্টা যথাক্রমে ১৫ মিনিট ও ২০ মিনিট অন্তর অন্তর বাজে। সকাল ৭:২০ টায় দুইটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর আবার কখন তারা একত্রে বাজবে?

সমাধান:
১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু হবে ঘণ্টা দুইটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।
১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০
তাহলে, ঘণ্টাগুলো ৬০ মিনিট বা ১ ঘণ্টা পর পুনরায় একত্রে বাজবে।

অতএব, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে ৮ টা ২০ মিনিটে।

প্রশ্ন: ৫০০ টাকায় ৩ বছরের সুদ এবং ৬০০ টাকার ৪ বছরের সুদ একত্রে ৭৮০ টাকা হলে, সুদের হার কত?

সমাধান:
৫০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৫০০ × ৩) বা ১৫০০ টাকার ১ বছরের সুদ
৬০০ টাকার ৪ বছরের সুদ = (৬০০ × ৪) বা ২৪০০ টাকার ১ বছরের সুদ

এখন,
(১৫০০ + ২৪০০) বা ৩৯০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭৮০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৭৮০/৩৯০০ টাকা।
∴ ১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = (৭৮০ × ১০০)/৩৯০০ টাকা।
= ২০ টাকা বা ২০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে ৮৮০ এবং ৭২০ এর যোগফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল, ঐ সংখ্যা দুটির পার্থক্যের তিনগুণ হয় এবং ভাগশেষ ৪৫ পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
যোগফল = ৮৮০ + ৭২০ = ১৬০০
ভাগফল = ৩(৮৮০ - ৭২০) = ৩ × ১৬০ = ৪৮০

∴ সংখ্যাটি = (৪৮০ × ১৬০০) + ৪৫
= ৭৬৮০০০ + ৪৫
= ৭৬৮০৪৫

প্রশ্ন: ৩ : ৫ এবং ৭ : ৯ এর মিশ্র অনুপাত কত?

সমাধান:
মিশ্র অনুপাত:
একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

সুতরাং,
৩ : ৫ এবং ৭ : ৯ এর মিশ্র অনুপাত হলো,
(৩ × ৭) : (৫ × ৯)
= ২১ : ৪৫
= ৭ : ১৫

প্রশ্ন: ট্রেনের ভাড়া ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায় যাত্রী সংখ্যা ২০% কমে গেল। এর ফলে ট্রেন কর্তৃপক্ষের আয়ের শতকরা পরিবর্তন কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
যাত্রী সংখ্যা ১০০ জন
১০০ জন যাত্রীর ভাড়া ১০০ টাকা
২০% বৃদ্ধিতে বর্তমান ভাড়া ১২০ টাকা
২০% কমে যাত্রী সংখ্যা = (১০০ - ২০) টাকা = ৮০ টাকা

পূর্বমূল্য ১০০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য ৮০ টাকা
∴ পূর্বমূল্য ১ টাকা হলে বর্তমান মূল্য = ৮০/১০০ টাকা
∴ পূর্বমূল্য ১২০ টাকা হলে বর্তমান মূল্য = (৮০ × ১২০)/১০০ টাকা
= ৯৬ টাকা

∴ আয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = (১০০ - ৯৬)%
= ৪%

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% সরল সুদে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ টাকার ৬ বছরের সুদ ঐ টাকার অর্ধেক। টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ক টাকা
সরল সুদ = ক/২ টাকা

প্রশ্নমতে,
(ক × ৮ × ৬)/১০০ = ক/২
⇒ ১২ক/২৫ = ক/২
এই সমীকরণ থেকে ক এর মান নির্ণয় করা যাবেনা।
সরল সুদের পরিমাণ না জানা থাকায় উল্লিখিত প্রশ্ন থেকে টাকার পরিমাণ নির্ণয় করা যাবেনা।

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানে ৭ আছে তাদের মধ্যে সবচেয়ে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
১০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭,
সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১৭, ৩৭, ৪৭ এবং ৬৭ 

∴ তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মৌলিক সংখ্যার অন্তর = ৬৭ - ১৭ = ৫০

প্রশ্ন: আলম নামের এক অসাধু ব্যবসায়ী বলে যে, সে ৪% ক্ষতিতে চা পাতা বিক্রয় করে। কিন্তু সে বিক্রির সময় ১ কেজির স্থলে ৮৪০ গ্রাম দেয়। তার শতকরা লাভ বা ক্ষতি কত?

সমাধান:
ধরি,
চা পাতার পরিমাণ = ১ কেজি
চা পাতার দাম = ১০০ টাকা

৪% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = ৯৬ টাকা
৮৪০ গ্রাম চা পাতার ক্রয়মূল্য = (৮৪০/১০০০) × ১০০ = ৮৪ টাকা

লাভ = ৯৬ - ৮৪ = ১২ টাকা
শতকরা লাভ = (১২/৮৪) × ১০০
= ১৪.২৯ টাকা বা ১৪.২৯%

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
ছোট সংখ্যাটি = ক

এখন,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩ক × ক = ৬০ × ২০
⇒ ৩ক^২ = ১২০০
⇒ ক^২ = ৪০০
∴ ক = ২০

বড় সংখ্যাটি = ৩ × ২০ = ৬০

প্রশ্ন: মুনাফা-আসল একত্রে ১৭৯০ টাকা। মুনাফা, আসলের ১/৪ হলে, মুনাফা কত টাকা?

সমাধান:
ধরি, মুনাফা = ক টাকা
আসল = ৪ক টাকা
∴ মুনাফা-আসল = ক + ৪ক = ৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৫ক = ১৭৯০
বা, ক = ১৭৯০/৫
= ৩৫৮ টাকা
∴ মুনাফা = ৩৫৮ টাকা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
১৫/২২ = ০.৬৮
১২/১৫ = ০.৮
১৭/২৩ = ০.৭৪
১৯/২৫ = ০.৭৬

অতএব, বৃহত্তম ভগ্নাংশটি ১২/১৫

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায়ে তিনজন অংশীদারের লাভের অনুপাত ৫ : ৭ : ৬। তারা যথাক্রমে ৭ মাস, ৫ মাস ও ১৪ মাস ব্যবসা করে। তাদের বিনিয়োগের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
তাদের বিনিয়োগের অনুপাত = ক : খ : গ

প্রশ্নমতে,
৭ক : ৫খ : ১৪গ = ৫ : ৭ : ৬

এখানে,
৭ক/৫খ = ৫/৭
⇒ ক/খ = ২৫/৪৯
⇒ ক : খ = ২৫ : ৪৯

আবার,
৫খ/১৪গ = ৭/৬
⇒ খ/গ = ৯৮/৩০
⇒ খ/গ = ৪৯/১৫
⇒ খ : গ = ৪৯ : ১৫

∴ ক : খ : গ = ২৫ : ৪৯ : ১৫

প্রশ্ন: আরিফ সাহেব একটি ল্যাপটপ স্ট্যান্ড কিনে ২০% ভ্যাট সহ মোট ২৯৬০ টাকা বিল দিল। শুধুমাত্র ল্যাপটপ স্ট্যান্ডের দাম কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভ্যাট = ২০%
চার্জসহ মোট বিল = ১০০% + ২০% = ১২০%

প্রশ্নমতে,
১২০% = ২৯৬০
বা, ১% = ২৯৬০/১২০
∴ ১০০% = (২৯৬০ × ১০০)/১২০
= ২৪৬৬.৬৭
∴ শুধুমাত্র ল্যাপটপ স্ট্যান্ডের দাম ২৪৬৬.৬৭ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৩/৪ অংশ কমলা পরীক্ষা করার পর ৫টি কমলা ত্রুটিযুক্ত এবং বাকি ২৫টি ক্রটিমুক্ত পাওয়া গেল। ৭৫% কমলা ক্রটিমুক্ত পেতে হলে অবশিষ্ট কমলার মধ্যে কতটি কমলা ক্রটিমুক্ত পেতে হবে?

সমাধান:
৩/৪ অংশ কমলা = (২৫ + ৫)টি = ৩০টি
∴ ১ অংশ বা (সম্পূর্ণ) = ৩০ × (৪/৩) = ৪০টি

এখন,
৪০ এর ৭৫% = ৪০ × (৭৫/১০০) = ৩০টি
∴ ক্রটিমুক্ত পেতে হবে = ৩০ - ২৫ = ৫টি

অতএব, অবশিষ্ট কমলার মধ্যে ৫টি কমলা ক্রটিমুক্ত পেতে হবে।

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩। সংখ্যা দুটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
ছোট সংখ্যা = (বর্গের অন্তর - ১)/২
= (২৩ - ১)/২
= ১১

আবার, বড় সংখ্যা = (বর্গের অন্তর + ১)/২
= (২৩ + ১)/২
= ১২

∴ সংখ্যা দুটির সমষ্টি = ১১ + ১২ = ২৩

প্রশ্ন: একটি ব্যবসায়ে A, B এবং C তিনজন অংশীদার। তারা সবাই মিলে মোট ১৪০০০ টাকা বিনিয়োগ করলো। বছর শেষে A ৩৩৭.৫০ টাকা, B ১১২৫ টাকা এবং C ৬৩৭.৫ টাকা মুনাফা পেলো। B এবং A এর বিনিয়োগের পার্থক্য কত?

সমাধান:
A, B এবং C এর বিনিয়োগের অনুপাত = A, B এবং C এর লাভের অনুপাত
= ৩৩৭.৫০ : ১১২৫ : ৬৩৭.৫
= ৯ : ৩০ : ১৭
 
∴ যোগফল = (৯ + ৩০ + ১৭) = ৫৬

এখন,
A এর বিনিয়োগ = {১৪০০০ × (৯/৫৬)} = ২২৫০ টাকা
B এর বিনিয়োগ = {১৪০০০ × (৩০/৫৬)} = ৭৫০০ টাকা

∴ A এবং B এর বিনিয়োগের পার্থক্য = (৭৫০০ - ২২৫০) টাকা
= ৫২৫০ টাকা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তির ৭২টি সবুজ এবং ১০৮টি লাল মার্বেল আছে। সে সিদ্ধান্ত নিলো যে সমান মার্বেলের প্যাকেট করা হবে যাতে প্রতি প্যাকেট সব সবুজ অথবা সব লাল মার্বেল থাকে। সে প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ কত মার্বেল রাখতে পারবে?

সমাধান;
৭২ এবং ১০৮ এর গসাগু'ই হবে নির্ণেয় মার্বেলের সংখ্যা।
৭২ এবং ১০৮ এর গসাগু = ৩৬
∴ প্রতি প্যাকেটে সর্বোচ্চ ৩৬ টি মার্বেল রাখতে পারবে।

[সবুজ মার্বেলের জন্য = ৭২/৩৬ = ২ প্যাকেট,
লাল মার্বেলের জন্য = ১০৮/৩৬ = ৩ প্যাকেট।]

প্রশ্ন: একটি টি-শার্টের উপর দোকানদার ৮% ডিসকাউন্ট দেয়। যদি সে ১০% ডিসকাউন্ট দেয়, তবে সে ১৫ টাকা কম লাভ করে। টি-শার্টটির তালিকা মূল্য কত?

সমাধান:
কম লাভ করলে শতকরা ডিসকাউন্টের পার্থক্য = ১০ - ৮ = ২%

২ টাকা কম লাভ হলে তালিকা মূল্য = ১০০ টাকা
∴ ১ টাকা কম লাভ হলে তালিকা মূল্য = ১০০/২ টাকা
∴ ১৫ টাকা কম লাভ হলে তালিকা মূল্য = (১০০ × ১৫)/২ টাকা
= ৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: রেস্টুরেন্টের একজন কর্মচারি এক সপ্তাহে বখশিস থেকে আয় করে তার সাপ্তাহিক বেতনের ৪/৫ অংশ। সাপ্তাহিক বেতন ৫০০ টাকা হলে ঐ সপ্তাহে তার মোট আয়ের কতভাগ বখশিস থেকে এসেছে?

সমাধান:
 বখশিস পায় = ৫০০ এর ৪/৫ অংশ
= ৫০০ × (৪/৫)
= ৪০০ টাকা

মোট আয় = ৫০০ + ৪০০ = ৯০০ টাকা
ঐ সপ্তাহে তার মোট আয়ের বখশিস থেকে এসেছে = ৪০০/৯০০ অংশ
= ৪/৯ অংশ

প্রশ্ন: ৫০ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণের অনুপাত ৪ : ১। ওই মিশ্রণে আর কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত ১ : ৪ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত = ৪ : ১
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৪ + ১ = ৫
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৫০ এর ৪/৫ = ৪০ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৫০ এর ১/৫ = ১০ লিটার

ধরি,
পানি মিশাতে হবে = ক লিটার

প্রশ্নমতে,
৪০/(১০ + ক) = ১/৪
বা, ১০ + ক = ১৬০
বা, ক = ১৬০ - ১০
∴ ক = ১৫০ লিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ২, ৩, ৪ এবং ৫ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
প্রতি ক্ষেত্রে অবশিষ্ট থাকে,
৩ - ২ = ১
৪ - ৩ = ১
৫ - ৪ = ১
৬ - ৫ = ১
∴ ৩, ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি (৬০ - ১) = ৫৯

প্রশ্ন: বিক্রয় করসহ একটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য ৩০৮ টাকা। বিক্রয় করের হার ১০%। যদি দ্রব্যটি বিক্রয়ে দোকানদারের ১২% লাভ হয়, তবে দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
বিক্রয় কর ১০% হলে, কর সংযোজন মূল্য = ১০০ + ১০ = ১১০ টাকা

কর সংযোজন মূল্য ১১০ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ১ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = ১০০/১১০ টাকা
∴ কর সংযোজন মূল্য ৩০৮ টাকা হলে কর বাদে মূল্য = (১০০ × ৩০৮)/১১০ টাকা
= ২৮০ টাকা

১২% লাভে, বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১২ টাকা
∴ বিক্রয়মূল্য ২৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ২৮০)/১১২ টাকা
= ২৫০ টাকা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৯ গুণ থেকে ১৫ গুণ ৫৪ বেশি?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
১৫ক = ৯ক + ৫৪
⇒ ১৫ক - ৯ক = ৫৪
⇒ ৬ক = ৫৪
∴ ক = ৯

∴ সংখ্যাটি = ৯

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৮ ও ৫০ হলে, মধ্য সমানুপাতী কত হবে?

সমাধান:
তিনটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ২য় ও ৩য় রাশির অনুপাত পরস্পর সমান হলে, সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে।
রাশি তিনটিকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৮ × ৫০
বা, (মধ্য রাশি)^২ = ৪০০
বা, মধ্য রাশি = √৪০০ = ২০

প্রশ্ন: তেলের দাম ১৫% বৃদ্ধি পেলে খরচ ঠিক রাখতে একজন গৃহিণীকে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে?

সমাধান:
ধরি,
তেলের মূল্য = ১০০ টাকা

১৫% বৃদ্ধিতে,
তেলের বর্তমান মূল্য = ১০০ + ১৫ = ১১৫ টাকা

১১৫ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ১৫ টাকা
∴ ১ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = ১৫/১১৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে = (১৫/১১৫) × ১০০ টাকা
= ১৩.০৪%

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ৩৫,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ

১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ৩৫,০০০ টাকা
∴১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (৩৫,০০০ × ৮) টাকা = ২৮০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪৫৪ থেকে যত কম, ৩৯৮ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৪৫৪ - ক = ক - ৩৯৮
⇒ ২ক = ৪৫৪ + ৩৯৮
⇒ ২ক = ১১৫২
⇒ ক = ৮৫২/২
∴ ক = ৪২৬

∴ সংখ্যাটি = ৪২৬

প্রশ্ন: একটি পণ্য ২০% লাভে বিক্রয় করা হলে, বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
ক্রয়মূল্য = ১০০
২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২০ = ১২০

∴ বিক্রয়মূল্য : ক্রয়মূল্য = ১২০ : ১০০
= ৬ : ৫

প্রশ্ন: রাকিব তার সঞ্চয়ের এক-পঞ্চমাংশ দিয়ে একটি বাড়ি কিনে এবং বাড়ির মূল্যের এক-তৃতীয়াংশ কম দিয়ে একটি গাড়ি কিনে। বাড়ি ও গাড়ির জন্য সে তার মোট সঞ্চয়ের কত অংশ খরচ করল?

সমাধান:
ধরি,
রাকিরের মোট সঞ্চয় =x টাকা
বাড়ি কিনতে খরচ করেন = x/৫ টাকা
গাড়ি কিনতে খরচ করেন = x/৫ - (x/৫ এর ১/৩)
= (x/৫) - (x/১৫)
= ২x/১৫ টাকা

∴ মোট খরচ করেন= (x/৫) + (২x/১৫)
= (৩x + ২x)/১৫
= ৫x/১৫
= x/৩

অর্থাৎ, রাকিব তার মোট সঞ্চয়ের ১/৩ অংশ খরচ করেন।

প্রশ্ন: √৩ + √৩ এর বর্গ কত?

সমাধান:
(√৩ + √৩)^২
= (২√৩)২
= ২^২ × (√৩)^২
= ৪ × ৩
= ১২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ৫/২ হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাটি = ক
ক এর গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যা = ১/ক

এখন,
ক + (১/ক) = ৫/২
⇒ (ক^২ + ১)/ক = ৫/২
⇒ ২ক^২ - ৫ক + ২ = ০
⇒ ২ক^২ - ৪ক - ক + ২ = ০
⇒ ২ক(ক - ২) - ১(ক - ২) = ০ 
⇒ (২ক - ১)(ক - ২) = ০

হয় ২ক - ১ = ০ অথবা ক - ২ = ০
∴ ক = ১/২ অথবা ২

প্রশ্ন: বার্ষিক ৮% হার সুদে ষান্মাসিক চক্রবৃদ্ধিতে ১০০০ টাকা ১ বছরে কত টাকা হবে?

সমাধান:
সুদের হার, r = ৮% বার্ষিক = (৮/২)% ষান্মাসিক = ৪% ষান্মাসিক = ০.০৪
সময়, n = ১ বছর = ২ অর্ধবছর
আসল, P = ১০০০ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মূলধন = ১০০০ × (১ + ০.০৪)২ টাকা
= ১০০০ × ১.০৪ × ১.০৪ টাকা
= ১০৮১.৬ টাকা

প্রশ্ন: (৩/৮), (৯/১৬), (৬/২০) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলোর গ.সা.গু/হরগুলোর ল.সা.গু
= ৩, ৯, ৬ এর গ.সা.গু/৮, ১৬, ২০ এর ল.সা.গু
= ৩/৮০

প্রশ্ন: একটি পণ্যের নির্মাতা ও খুচরা বিক্রেতা উভয়ই ২৫% লাভে বিক্রয় করে, ঐ পণ্যের নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হলে খুচরা মূল্য কত?

সমাধান:
নির্মাতার ২৫% লাভে:
নির্মাণ খরচ ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ১ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫/১০০ টাকা
∴ নির্মাণ খরচ ৪০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫/১০০) × ৪০০ টাকা
= ৫০০ টাকা

খুচরা বিক্রেতার ২৫% লাভে:
ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (১২৫/১০০) × ৫০০ টাকা
= ৬২৫ টাকা

অতএব, খুচরা মূল্য হবে ৬২৫ টাকা।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে ও ১৫ ফুট পানির ওপরে আছে । মাটির নিচে খুঁটিটি কত ফুট আছে?

সমাধান:
একটি খুঁটির অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে আছে।
পানির ওপরে আছে = ১ - (১/২) - (১/৩)
= ১ - ৫/৬
= ১/৬

প্রশ্নমতে,
১/৬ অংশ = ১৫
সম্পূর্ণ অংশ = ১৫ × ৬
= ৯০ ফুট

মাটির নিচে আছে = ৯০/২ = ৪৫ ফুট

প্রশ্ন: জয়, রনি ও সাগর একটি অংশীদারী ব্যবসায় যথাক্রমে ১২০০০ টাকা, ১৫০০০ টাকা এবং ১৮০০০ টাকা বিনিয়োগ করে। বছর শেষে ৩৬০০ টাকা লাভ হয়। যদি মূলধন অনুপাতে লাভ বণ্টন হয় তাহলে জয় কত টাকা লাভ পাবে?

সমাধান:
জয়, রনি ও সাগরের বিনিয়োগের অনুপাত = ১২০০০ : ১৫০০০ : ১৮০০০
= ১২ : ১৫ : ১৮

অনুপাতের যোগফল = ১২ + ১৫ + ১৮ = ৪৫
∴ জয়ের লাভের অংশ = ৩৬০০ × (১২/৪৫) টাকা
= ৯৬০ টাকা

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৩৭০ জনের মধ্যে ৭০% গণিতে, ৬০% ইংরেজিতে এবং ৪০% উভয় বিষয়ে পাস করেছে। এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে কত জন?

সমাধান:
শুধু গণিতে পাস করেছে = ৭০ - ৪০ = ৩০%
শুধু ইংরেজিতে পাস করেছে = ৬০ - ৪০ = ২০%
এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৩০ + ২০ + ৪০ = ৯০%

১০০ জনের মধ্যে এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৯০ জন
∴ ১ জনের মধ্যে এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাস করেছে = ৯০/১০০ জন
∴ ২৪০ জনের মধ্যে পাস করেছে = (৯০ × ৩৭০)/১০০ জন
= ৩৩৩ জন

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ মূলধন সরল সুদে ২০ বছরে দ্বিগুণ হলে বার্ষিক সুদের হার কত?

সমাধান:
ধরি,
মূলধন (P) = ক
সুদমূল = ২ক
সুদ (I) = ২ক - ক = ক
সময় (n) = ২০ বছর

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ ক = ক × ২০ × (r/১০০)
⇒ r = ১০০/২০
∴ r = ৫

∴ বার্ষিক সুদের হার ৫%

প্রশ্ন: পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৯ হলে। ১ম ও শেষ সংখ্যার গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
৫ টি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে X, X + ১, X + ২, X + ৩, X + ৪

প্রশ্নমতে,
X + X + ১ + X + ২ + X + ৩ + X + ৪ = ১৯ × ৫
⇒ ৫x + ১০ = ৯৫
⇒ ৫x = ৮৫
∴ x = ১৭

∴ ১ম ও শেষ সংখ্যার গুণফল = ১৭ × (১৭ + ৪) 
= ৩৫৭

প্রশ্ন: একটি পণ্যের উপর শতকরা ১৫ টাকা কর কমালে, পণ্যের ব্যবহার শতকরা কত করে বৃদ্ধি হলে সরকার পণ্য থেকে শতকরা ১২ টাকা বেশি কর পাবে?

সমাধান:
১৫% কর কমালে পণ্যের মূল্য = ১০০ - ১৫ = ৮৫ টাকা
১২% কর বেশি হলে পণ্যের মূল্য = ১০০ + ১২ = ১১২ টাকা

এখন,
৮৫ টাকায় পণ্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে (১১২ - ৮৫) = ২৭ টাকা
১ টাকায় পণ্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে = ২৭/৮৫ টাকা
∴ ১০০ টাকায় পণ্যের ব্যবহার বৃদ্ধি করতে হবে = (২৭ × ১০০)/৮৫ টাকা
= ৩১.৭৬ টাকা