১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: রায়তুল ও জাহিদ একত্রে একটি কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। জাহিদ একা কাজটি ৩০ দিনে করতে পারে। রায়তুল একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১৫ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
রায়তুল ও জাহিদ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের = ১/১৫ অংশ

জাহিদ একা ৩০ দিনে করতে পারে = ১ টি কাজ
জাহিদ একা ১ দিনে করতে পারে কাজটির = ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১ দিনে করতে পারবে
= কাজের (১/১৫) - (১/৩০) অংশ
= (২ - ১)/৩০ অংশ
= ১/৩০ অংশ

∴ রায়তুল একা ১/৩০ অংশ করতে পারে = ১ দিনে
∴ রায়তুল একা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ৩০ দিনে

প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৬০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১৩০। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
তিনটি সংখ্যার গড় = ১৬০
∴ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ১৬০ × ৩ = ৪৮০

আবার, 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গড় = ১৩০
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির সমষ্টি = ১৩০ × ২ = ২৬০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪৮০ - ২৬০ = ২২০

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 7, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 17, 12, 7, 19, 16, 18, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19
 
এখানে উপাত্তগুলোর মধ্যে 7 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ প্রচুরক হলো 7

প্রশ্ন: যদি ৭ টি গরু ৫ দিনে ৩৫ সের ছোলা খায়, তবে ১০টি গরু ঐ সময়ে কত সের ছোলা খাবে?

সমাধান:
৭ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় ৩৫ সের
১ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় ৩৫/৭ সের
১০ টি গরু ৫ দিনে ছোলা খায় (৩৫ × ১০)/৭ সের
= ৫০ সের

প্রশ্ন: একটি অফিসে ৩০ জন কর্মীর গড় বেতন ৩০০০০ টাকা। যদি ১৪ জনের গড় বেতন ৩৫০০০ টাকা হয়, বাকি ১৬ জনের গড় বেতন কত?

সমাধান: 
৩০ জন কর্মীর মোট বেতন = ৩০ × ৩০০০০ = ৯০০০০০ টাকা।

আবার,
১৪ জন কর্মীর মোট বেতন = ১৪ × ৩৫০০০ = ৪৯০০০০ টাকা।

এখন, 
বাকি ১৬ জন কর্মীর মোট বেতন = মোট বেতন - ১৪ জন কর্মীর মোট বেতন
= ৯০০০০০ - ৪৯০০০০ = ৪১০০০০ টাকা।

∴ বাকি ১৬ জন কর্মীর গড় বেতন = ৪১০০০০/১৬ জন = ২৫৬২৫ টাকা।

প্রশ্ন: ১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৭০ পর্যন্ত ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০, ৩৩, ৩৬, ৩৯, ৪২, ৪৫, ৪৮, ৫১, ৫৪, ৫৭, ৬০, ৬৩, ৬৬, ৬৯ = ২৩ টি সংখ্যা

এখানে যেহেতু মোট ২৩টি সংখ্যা রয়েছে, এটি একটি বিজোড় সংখ্যা। তাই,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ।
= (২৩ + ১)/২ = ২৪/২ = ১২তম পদ

সুতরাং, ১২তম পদ হলো ৩৬।

প্রশ্ন: ২৮ জন লোক কোনো কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। কাজ আরম্ভের ১০ দিন পর ১৪ জন লোক চলে গেলে বাকী লোক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে? 

সমাধান: 
১০ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২৪ - ১০) দিন 
= ১৪ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (২৮ - ১৪) জন 
= ১৪ জন 

২৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১৪ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১৪ × ২৮ দিনে 
∴ ১৪ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (১৪ × ২৮)/১৪ দিনে 
= ২৮ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ২৮ দিনে। 

প্রশ্ন:  ৮ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৮ টি সংখ্যার গড় ১৩
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮ × ১৩ = ১০৪ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় = ১২
∴ বাকি ৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ১২ = ৮৪ 

∴  বাতিলকৃত সংখ্যাটি = ১০৪ - ৮৪ = ২০ 

প্রশ্ন: প্রথম ১৫ টি জোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান:
প্রথম ১৫টি জোড় সংখ্যা হলো- ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০, ২২, ২৪, ২৬, ২৮, ৩০

এখান,
যেহেতু মোট ১৫টি সংখ্যা আছে (যা একটি বিজোড় সংখ্যা), তাই মধ্যক হবে ঠিক মাঝের সংখ্যাটি। এক্ষেত্রে
মধ্যক = {(১৫ + ১)/২} তম পদ  = ৮ম পদ।  

∴ ৮ম স্থানে থাকা সংখ্যাটি হলো ১৬।  

অতএব, প্রথম ১৫টি জোড় সংখ্যার মধ্যক হলো ১৬

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৬ ও ১২ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
৬ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ 

১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/৬) + (১/১২) অংশ
=(২ + ১)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৪ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৪)/১  = ৪ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: নয়টি সংখ্যার গড় ৮। যদি প্রত্যেকটি সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
নয়টি সংখ্যার গড় ৮
৯ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৯ × ৮ = ৭২ 

আবার, 
প্রত্যেক সংখ্যা থেকে ৪ বিয়োগ করলে নতুন নয়টি সংখ্যার সমষ্টি হবে = ৭২ - (৯ × ৪) = ৭২ - ৩৬ = ৩৬ 

∴ নতুন নয়টি সংখ্যার গড় = ৩৬ ÷ ৯ = ৪ 

প্রশ্ন: ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫  
এখানে,২ আছে ৩ বার এবং ৫ আছে ২ বার

∴ ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: ৮টি মেশিন ৬ ঘণ্টায় ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে পারে। যদি ৪টি মেশিন একই গতিতে কাজ চালায়, তবে ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান: 
৮টি মেশিন ২৪০ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = ৬ ঘণ্টায়
∴ ১ টি মেশিন ১ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = (৬ × ৮)/২৪০ ঘণ্টায়
∴ ৪ টি মেশিন ২৪০ টি পণ্য তৈরি করতে পারে = (৬ × ৮ × ২৪০)/(২৪০ × ৪)  = ১২ ঘণ্টায়

সুতরাং, ৪টি মেশিন একই গতিতে কাজ চালালে ২৪০টি পণ্য তৈরি করতে ১২ ঘণ্টা লাগবে।

প্রশ্ন: একজন ব্যাটসম্যান প্রথম তিনটি T-20 খেলায় ৮২, ৮৫ ও ৯২ রান করেন। চতুর্থ খেলায় কত রান করলে, তার গড় রান ৮৭ হবে?

সমাধান: 
তিনটি খেলায় মোট রান = ৮২ + ৮৫ + ৯২ = ২৫৯
চারটি খেলায় মোট রান = ৮৭ × ৪ = ৩৪৮

∴ চতুর্থ খেলায় রান করতে হবে = ৩৪৮ - ২৫৯ = ৮৯

সুতরাং, চতুর্থ খেলায় ৮৯ রান করতে হবে। 

প্রশ্ন: ২২, ৩৫, ৪৮, ১৮, ৫০, ২৫, ৫৯, ৪০, ১৬,  ৫৬  উপাত্ত গুলোর পরিসর নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১৬ 
প্রদত্ত তথ্যের সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৯

আমরা জানি, 
পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১
= (৫৯ - ১৬) + ১
= ৪৩ + ১
= ৪৪ 

সুতরাং, উপাত্তগুলোর পরিসর ৪৪।

প্রশ্ন: কোনো ছাত্রাবাসে ৭২০ জন ছাত্রের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছ। ১০ দিন পর কিছু নতুন ছাত্র আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন ছাত্র এসেছিল?

সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন 

১০ দিনের খাবার আছে = ৭২০ জন ছাত্রের 
∴ ১  দিনের খাবার আছে  = (১০ × ৭২০) জন ছাত্রের
∴ ৮  দিনের খাবার আছে = (১০ × ৭২০) /৮
 = ৯০০ জন 

∴  নতুন ছাত্র এসেছিলো = (৯০০ - ৭২০)  = ১৮০ জন

সুতরাং, নতুন ছাত্র এসেছিলো = ১৮০ জন

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীর ২৪ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৪ বছর। যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে বয়সের গড় এক বছর বৃদ্ধি পায়। শিক্ষকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
২৪ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ২৪ জন ছাত্রের বয়সের সমষ্টি = ১৪ × ২৪ = ৩৩৬ বছর।

আবার, 
যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে বয়সের গড় হয় = ১৪ + ১ = ১৫ বছর।
যদি একজন শ্রেণী শিক্ষকের বয়স তাদের বয়সের সাথে যোগ করা হয় তবে তাদের বয়সের সমষ্টি হয় = ১৫ × ২৫ = ৩৭৫ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = ৩৭৫ - ৩৩৬ = ৩৯ বছর

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: সোহেল ও মাসুম যথাক্রমে ২০ দিন ও ৩০ দিনে একটি জমির ধান কাটতে পারে। তারা একত্রে ৭ দিন কাজ করার পর উভয়েই চলে গেল। বাকি কাজ রতন ১০ দিনে শেষ করল। এখন রতন সম্পূর্ণ কাজটি একা কত দিনে করতে পারে?

সমাধান: 
সোহেল ১ দিনে কাজের পরিমাণ = ১/২০ অংশ
মাসুম ১ দিনে কাজের পরিমাণ = ১/৩০ অংশ​
তারা একত্রে ৭ দিন কাজ করেছে

সোহেল ও মাসুম একত্রে ১ দিনে কাজের পরিমাণ = (১/২০) + (১/৩০) অংশ
= (৩ + ২)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ
∴ ৭ দিনে সোহেল ও মাসুম একত্রে কাজের পরিমাণ = ৭/১২ অংশ
 
∴ বাকি কাজ = ১ - (৭/১২) = ৫/১২ অংশ

∴ ৫/১২ অংশ কাজ করতে রতনের সময় লাগে = ১০ দিন।
অতএব, পুরো কাজ (১ অংশ) করতে রতনের সময় লাগবে = (১০ × ১২)/৫ দিন = ২৪ দিন

সুতরাং, রতন একা সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ২৪ দিন

প্রশ্ন: কোন শ্রেণীতে ১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি। এর মধ্যে ৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি হলে ১০ম ছাত্রের উচ্চতা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি

সুতরাং,
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৬ = ৬৬ ইঞ্চি
এবং, ৫ ফুট ৫ ইঞ্চি = (৫ × ১২) + ৫ = ৬৫ ইঞ্চি

এখন, 
১০ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৬ ইঞ্চি
∴ ১০ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৬ × ১০ = ৬৬০ ইঞ্চি

আবার, 
৯ জন ছাত্রের গড় উচ্চতা = ৬৫ ইঞ্চি
∴ ৯ জন ছাত্রের মোট উচ্চতা = ৬৫ × ৯ = ৫৮৫ ইঞ্চি

∴ ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬৬০ - ৫৮৫ = ৭৫ ইঞ্চি
 = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

সুতরাং, ১০ম ছাত্রের উচ্চতা = ৬ ফুট ৩ ইঞ্চি

প্রশ্ন: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58 উপাত্তগুলোর শ্রেণিব্যাপ্তি 9 হলে, শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: 10, 25, 30, 45, 50, 65, 72, 18, 40, 58

সর্বোচ্চ উপাত্ত = 72
সর্বনিম্ন উপাত্ত = 10
শ্রেণিব্যাপ্তি = 9

পরিসর = (সর্বোচ্চ উপাত্ত - সর্বনিম্ন উপাত্ত) + 1
= (72 - 10) + 1
= 62 + 1
= 63

∴ শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণিব্যাপ্তি
= 63/9
= 7

প্রশ্ন: ৮ জন পুরুষ একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুইজন পুরুষ চলে গেলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী প্রয়োজন?

সমাধান: 
বাকি পুরুষ = ৮ - ২ = ৬ দিন
৮ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ১২ × ৮ = ৯৬ দিনে
∴ ৬ জন পুরুষ কাজটি করতে পারে = ৯৬ ÷ ৬ = ১৬ দিনে

∴ দিন বেশী লাগে = ১৬ - ১২ = ৪ দিন
∴ শতকরা দিন বেশী লাগে = (৪/১২) × ১০০% = (১/৩) × ১০০% = ৩৩.৩৩%

প্রশ্ন: ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

প্রশ্ন: 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
তিনটি সংখ্যা X₁, X₂ এবং X₃ এর গুণোত্তর গড় (GM) হলো:
GM = (X₁ × X₂ × X₃)^1/3

সুতরাং, 3, 8 এবং 9 এর গুণোত্তর গড় = (3 × 8 × 9)^1/3
= (24 × 9)^1/3
= (216)^1/3
= (6³)^1/3
= 6

∴ গুণোত্তর গড় = 6

প্রশ্ন: একটি খামারে কিছু সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার আছে। যদি আরও ২০টি মুরগি ক্রয় করা হয়, তবে ঐ একই পরিমাণ খাবার ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। প্রথমে খামারে কতগুলো মুরগি ছিল?
 
সমাধান:
ধরি,
প্রথমে খামারে মুরগি ছিল 'ক' টি

শুরুতে, ক সংখ্যক মুরগির জন্য ৩০ দিনের খাবার ছিল।
এর অর্থ হলো, মোট খাবারের পরিমাণ ছিল = ৩০ক  [(মুরগি × দিন)]

আবার,
আরও ২০টি মুরগি কেনা হলে মোট মুরগির সংখ্যা দাঁড়ায় (ক + ২০)টি।
এখন, ঐ একই পরিমাণ খাবার (ক + ২০) টি মুরগির জন্য ২৫ দিনেই শেষ হয়ে যায়। 

যেহেতু খাবারের মোট পরিমাণ একই আছে,
⇒ ৩০ক = ২৫(ক + ২০)
⇒ ৩০ক = ২৫ক + ৫০০
⇒ ৩০ক - ২৫ক = ৫০০
⇒ ৫ক = ৫০০
∴ ক = ১০০ ​

সুতরাং, প্রথমে খামারে ১০০টি মুরগি ছিল।