প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: x - {x - x - (x - 1)} + 1 এর মান কত? 

সমাধান: 
x - {x - x - (x - 1)} + 1
= x - {x - x - x + 1)}  + 1
= x - {- x + 1} + 1
= x + x - 1 + 1
= 2x - 1 + 1
= 2X

প্রশ্ন: (2 + a) + 3 = 3(a + 2) হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(2 + a) + 3 = 3(a + 2)
বা, 2 + a + 3 = 3a + 6
বা, 3a + 6 = a  + 5
বা, 3a - a = 5 - 6
বা, 2a = - 1
∴ a = - 1/2

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 4 এবং 1/ab = 1/2 হয়, তবে a = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/ab = 1/2
বা, ab = 2
b = 2/a

এখন,
a + 2(2/a) = 4
বা, a + (4/a) = 4
বা, a² + 4 = 4a
বা, a² - 4a + 4 = 0
বা, a² - 2 . a . 2 + 22 = 0
বা, (a - 2)² = 0
বা, a - 2 = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান: 
log_a√(a³) × 4 
= log_a(a³)^1/2 × 4 
= log_aa^3/2 × 4 
= (3/2)log_aa × 4 
= (3/2) × 4 
= 3 × 2
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:
(1/a + 1) ÷ (1 - 1/a²) = (1/a + 1) ÷ (1 + 1/a)(1 - 1/a)
= 1 ÷ (1 - 1/a)
= {1 - (1/a)}^{- 1}
= {(a - 1)/a}- 1
= a/(a - 1)

প্রশ্ন: - ৫, - ৮, - ১১, ….. সমান্তর ধারাটির ১২ তম পদ কত?   

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = - ৫
সাধারণ অন্তর, d = - ৮ - (- ৫)
= - ৮ + ৫
= - ৩
পদ সংখ্যা, n = ১২

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১২ তম পদ = - ৫ + {(১২ - ১) × (- ৩)} 
= - ৫ + {১১ × (- ৩)} 
= - ৫ - ৩৩
= - ৩৮

∴ সমান্তর ধারাটির ১২ তম পদ - ৩৮।

প্রশ্ন: a³ - 6a² + 12a - 9 এর একটি উৎপাদক (a - 3) হলে অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a³ - 6a² + 12a - 9
= a³ - 3 . a² . 2 + 3 . a . 2² - 2³ - 1
= (a - 2)³ - 1³
= (a - 2 - 1) {(a - 2)² + (a - 2) . 1 + 1²}
= (a - 3) (a² - 4a + 4 + a - 2 + 1)
= (a - 3) (a² - 3a + 3)

প্রশ্ন: 5x - 5y + 7z, 2x + 7y - 3z এবং 8x + 2y - 3z এর যোগফল কত?

সমাধান:
5x - 5y + 7z
2x + 7y - 3z
8x + 2y - 3z
15x + 4y + z

নির্ণেয় যোগফল: 15x + 4y + z

প্রশ্ন: কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 2 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশটির লব = x
ভগ্নাংশটির হর = y

∴ ভগ্নাংশটি = x/y,  y ≠ 0

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
বা, x + 7 = 2y
বা, x - 2y = - 7 ---------- (1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 2) = 1
বা, x = y - 2
বা, x - y = - 2  ---------- (2)

(1) - (2) হতে পাই,
x - 2y = - 7
x - y = - 2
- y = - 5
∴ y = 5

y এর মান (2) নং বসিয়ে পাই,
x - 5 = - 2
বা, x = - 2 + 5
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 3/5

প্রশ্ন: যদি (a + 3)² = 225 হয় তবে (a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(a + 3)² = 225
বা, (a + 3)² = 15²
বা, a + 3 = 15
বা, a = 15 - 3
∴ a = 12

∴ a + 1 = 12 + 1 = 13

প্রশ্ন: ‍a^{- 3} = 0.2 হলে a¹² = কত?

সমাধান:
‍a^{- 3} = 0.2
বা, 1/a³ = 2/10
বা, a³ = 10/2
বা, a³ = 5
বা, (a³)⁴ = 5⁴
∴ a¹² = 625

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ...... ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = 7 - 3 = 4
৩য় পদ - ১ম পদ = 11 - 7 = 4
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 3 + (n - 1)× 4
= 3 + 4n - 4
= 4n - 1

প্রশ্ন: x = 15 এবং y = 6 হলে 9x² - 48xy + 64y² এর মান কত? 

সমাধান: 
9x² - 48xy + 64y² 
= (3x)² - 2. (3x). (8y) + (8y)² 
= (3x - 8y)² 
= {3 × (15) - 8 × (6)}² 
= (45 - 48)² 
= (- 3)² 
= 9

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9

∴ অনুপাত, r = 9/27
= 1/3

∴ পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1} = ar⁴
= 27 × (1/3)⁴
= 27/81
= 1/3

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ 1/3.

প্রশ্ন: a³ = 64 হলে, log₂a এর মান কত?

সমাধান: 
a³ = 64
⇒ a³ = 4³
∴ a = 4

log₂a 
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: x + y = 10 এবং xy = 24 হলে (x - y)² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 x + y = 10 
xy = 24 

এখন, 
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
(x - y)² = (10)² - 4 × 24
= 100 - 96
= 4

প্রশ্ন: x² - 1 - y (y + 2) এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
x² - 1 - y (y + 2)
= x² - 1 - y² - 2y
= x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y . 1 + 1²)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1)(x - y - 1)

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে, এর প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a 
সাধারণ অন্তর, d 

সমান্তর ধারার 10 তম পদ 80 হলে,
a + 9d = 80

প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = (19/2) {2a + (19 - 1)d}
= (19/2) {2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × 80
= 1520

প্রশ্ন: 3x - 2y = 5 এবং 2x + 3y = 12 হলে, (x , y) = ?

সমাধান: 
3x - 2y = 5 .............(1)
2x + 3y = 12 ............(2)

(1)নং × 3 + (2) নং × 2 হতে পাই,
9x - 6y + 4x + 6y = 15 + 24
বা, 13x = 39
∴ x = 3 

x  এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
2 × 3 + 3y = 12
বা, 3y = 12 - 6
বা, 3y = 6
∴ y = 2 

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: m - এর মান কত হলে 4x² - mx + 9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান: 
4x² - mx + 9
= (2x)² - 2 . 2x . 3 + 3² - mx + 2 . 2x . 3
= (2x - 3)² + 12x - mx

রাশিটি পূর্ণবর্গ হলে,
12x - mx = 0
বা, mx = 12x
∴ m = 12