সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: x কে চলক ধরে a²x + b = 0 সমীকরণে x এর ঘাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
কোনো সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ শক্তিকে ঘাত বলে। 
প্রদত্ত সমীকরণ: a²x + b = 0 
বা, a²x¹ + bx⁰ = 0 

∴ x চলকের ঘাত = 1   ।

প্রশ্ন: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ........... ধারাটির 11তম পদটি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
ধারাটির প্রতিটি পদ তার পূর্বের দুটি পদের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, ধারাটি একটি ফিবোনাক্কি ধারা, 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ............ 
∴ ধারাটির 11তম পদ = 89  ।

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিতে প্রতি বেঞ্চে 6 জন করে ছাত্র বসলে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসলে 6 জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
মনেকরি, ছাত্র সংখ্যা = x
6 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x/6) + 3 
আবার, 3 জন করে ছাত্র বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x - 6)/3 

প্রশ্নমতে, 
∴ (x/6) + 3 = (x - 6)/3 
⇒ (x + 18)/6 = (x - 6)/3 
⇒ 6x - 36 = 3x + 54 
⇒ 6x - 3x = 54 + 36 
⇒ 3x = 90 
⇒ x = 90/3 
∴ x = 30 

∴ ছাত্র সংখ্যা = 30 জন ।

প্রশ্ন: 4 + 16 + p + 256 + ......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে p এর মান কত? 

সমাধান: 
গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, a = 4
গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 16/4 = 4

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, p = ar^{(3 - 1)}
= ar²
= 4 × (4)²
= 4 × 16
= 64

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, p = 64  ।

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৫ । অঙ্ক দুটির সমষ্টি সংখ্যাটির ৫ ভাগের ১ ভাগ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একক স্থানীয় অঙ্ক = ৫

ধরি, 
সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক = x 
∴ সংখ্যাটি = ১০x + ৫

প্রশ্নমতে, 
⇒ x + ৫ = (১০x + ৫)/৫
⇒ ৫(x + ৫) = ১০x + ৫
⇒ ৫x + ২৫ = ১০x + ৫
⇒ ১০x - ৫x = ২৫ - ৫
⇒ ৫x = ২০
⇒ x = ২০/৫ = ৪

∴ সংখ্যাটি = (১০ × ৪) + ৫
= ৪৫ ।

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 19টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1) 
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি = 19 × (19 + 1)
= (19 × 20)
= 380

প্রশ্ন: x + 2y = 14 এবং 2x - 3y = 7 হলে x এবং y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 2y = 14............. (1)
2x - 3y = 7............ (2)
(1) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
2x + 4y = 28............(3)

এখন, (3) নং - (2) নং সমীকরণ হতে পাই, 
2x + 4y = 28
2x - 3y = 7
__________________ 
⇒ 7y = 21
⇒ y = 21/7
∴ y = 3 

y এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 2 × 3 = 14 
⇒ x = 14 - 6
∴ x = 8 

∴ (x, y) = (8, 3) ।

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + 32 +..... এই ধারাটির কততম পদ 256? 

সমাধান: 
ইহ একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2 

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
⇒ ar^{n - 1} = 256 
⇒ 2^{n - 1} = 256/4 
⇒ 2^{n - 1} = 64 
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6 
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b² - 4ac = 0 
⇒ p² - 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p² = 32 
⇒ p = √32
∴ p = 4√2

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ........... ধারাটির n তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1  
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 =  4
পদসংখ্যা = n

∴ ধারাটির n তম পদ = a + (n - 1) d
= 1 + {(n - 1) × 4}
= 1 + (4n - 4) 
= 1 + 4n - 4 
= 4n - 3

প্রশ্ন: a - [2b - {3c - (a - 2b + 3c)}] = কত? 

সমাধান: 
a - [2b - {3c - (a - 2b + 3c)}] 
= a - [2b - {3c - a + 2b - 3c}] 
= a - [2b - {- a + 2b}] 
= a - [2b + a - 2b] 
= a - [a] 
= a - a 
= 0

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ........ ধারাটির অসীম সংখ্যক পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/3)/1 = 1/3 

আমরা জানি, 
ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r) 
= 1/{1 - (1/3)} 
= 1/{(3 - 1)/3} 
= 1/(2/3) 
= 3/2

প্রশ্ন: ১ + ২ + ৩ + ............ ধারাটির ১০০ তম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১ 
সাধারণ অন্তর, d = ২ - ১ = ১ 
পদসংখ্যা, n = ১০০

ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) d
∴ ধারাটির ১০০ তম পদ = a + (১০০ - ১) d 
= ১ + (৯৯ × ১)
= ১ + ৯৯ 
= ১০০ ।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 40% এর সাথে 45 যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
x এর 40% + 45 = x 
বা, x × (40/100) + 45 = x 
বা, (40x/100) + 45 = x 
বা, (40x + 4500)/100 = x 
বা, 40x + 4500 = 100x 
বা, 100x - 40x = 4500
বা, 60x = 4500 
বা, x = 4500/60 
∴ x = 75 

∴ সংখ্যাটি = 75  ।

প্রশ্ন: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
১ম পদ, a = 1 
∴ সাধারণ অনুপাত, r = (1/2) ÷ 1
= 1/2 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, = a/(1 - r)
= 1 ÷ (1 - 1/2)
= 1 ÷ {(2 - 1)/2}
= 1 ÷ (1/2)
= 1 × 2
= 2

প্রশ্ন: নিচের কোনটির ক্ষেত্রে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে? 

সমাধান: 
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি: 
1. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
4.  যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: ২ - ৫ - ১২ - ১৯ - ............ ধারাটির ১২-তম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ২  
সাধারণ অন্তর, d = - ৫ - ২ =  - ৭ 
পদসংখ্যা, n = ১২ 

ধারাটির n তম পদ = a + (n - ১) d
∴ ধারাটির ১২ তম পদ = a + (১২ - ১) d 
= ২ + (১২ - ১) × - ৭ 
= ২ + {১১ ×( - ৭)} 
= ২ + (- ৭৭) 
= ২ - ৭৭ 
= - ৭৫  ।

প্রশ্ন: মীরার বয়স অপুর বয়সের 4 গুণ। অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর। যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে তখন মীরার বয়স কত বছর হবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
অপুর বর্তমান বয়স = 4 বছর 
তাহলে, মীরার বর্তমান বয়স হবে = (4 × 4) বছর = 16 বছর 

ধরি,
x বছর পরে মীরার বয়স হবে অপুর বয়সের দ্বিগুণ। 
∴ অপুর বয়স হবে = 4 + x
∴ মীরার বয়স হবে = 16 + x

শর্তমতে,
16 + x = 2(4 + x) 
বা, 16 + x = 8 + 2x 
বা, 16 - 8 = 2x - x 
∴ x = 8 

∴ মীরার বয়স = (16 + 8) বছর 
= 24 বছর।

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135  গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 5 

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r 
∴ চতুর্থ পদ = 135
বা, ar^{4 - 1} = 135
বা, 5. r³ = 135
বা, r³ = 135/5
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
∴ r = 3

এখানে, y হলো তৃতীয় পদ  
∴ y = ar^{3 -1}
= 5 × 3^{3 - 1}
= 5 × 3²
= 5 × 9
= 45  ।

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে, সমীকরণটি হবে- 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল - 2 ও 5 হলে,
সমীকরণটি নিম্নরূপ: 
x² - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (- 2 + 5)x + (- 2 × 5) = 0 
⇒ x² - 3x - 10 = 0

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং দ্বিতীয় পদ 5 হলে ধারাটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = (5 - 3) = 2 
এবং পদসংখ্যা, n = 16 

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার 16 তম পদের সমষ্টি, S₁₆ = (16/2) {2. a + (16 - 1)d}
= 8 {2 × 3 + 15 × 2}
= 8 (6 + 30)
= 8 × 36
= 288  । 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার 8 গুণ থেকে 2 গুণ বিয়োগ করলে 72 হয়? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে, 
8x - 2x = 72
বা, 6x = 72
বা, x = 72/6
∴ x = 12 

∴ সংখ্যাটি = 12  ।

প্রশ্ন: 3x + 1, 14, 28 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ 14/(3x + 1) = 28/14 
⇒ 14/(3x + 1) = 2
⇒ 14 = {2 × (3x + 1)} 
⇒ 6x + 2 = 14 
⇒ 6x = 14 - 2
⇒ 6x = 12
⇒ x = 12/6
∴ x = 2

প্রশ্ন: (x/2) + 3 = (x/3) + 4 এই সমীকরণে x এর মান কত?

সমাধান: 
(x/2) + 3 = (x/3) + 4
বা, (x/2) - (x/3) = 4 - 3 
বা, (3x - 2x)/6 = 1 
বা, x/6 = 1
∴ x = 6

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ২২ এবং ২য় পদ ২৭ হলে ৫ম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ২২ 
সাধারণ অন্তর, d = ২য় পদ - ১ম পদ
= (২৭ - ২২) = ৫ 
n তম পদ, n = ৫ 

∴ ৫ম পদ = a + (৫ - ১) d
= ২২ + (৪ × ৫) 
= ২২ + ২০ 
= ৪২ ।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের দুই-তৃতীয়াংশ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত কোনটি? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাদ্বয় যথাক্রমে x এবং y, যেখানে x > y

শর্তমতে, 
x - y = (x + y) × 2/3 
বা, 3x - 3y = 2x + 2y 
বা, 3x - 2x = 2y + 3y 
বা, x = 5y
বা, x/y = 5/1
∴ x : y = 5 : 1  ।

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে? 

সমাধান: 
ধারাটি গুণোত্তর ধারা, কারণ এদের সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ = 1/(1/√2) = √2 
১ম পদ a = 1/√2 
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2^{- 1}) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{- 1 + n - 1} = 8√2 
⇒ (√2)^{n - 2} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 2³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = {(√2)²}³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁶ × √2¹
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)^{6 + 1}
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁷
⇒ n - 2 = 7
∴ n = 9

প্রশ্ন: যদি x³ + hx + 10 = 0 এর একটি সমাধান 2 হয়। তবে h এর মান কত?

সমাধান: 
x = 2 হলে, 
x³ + hx + 10 = 0 
∴ 2³ + h × 2 + 10 = 0
⇒ 8 + 2h + 10 = 0
⇒ 2h = - 18
∴ h = - 9

প্রশ্ন: প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025  ।