Math Master

প্রশ্ন: y = cosθ হলে θ এর সর্বোচ্চ মান কত? মূল প্রশ্নটি হবে - "y = cosθ হলে y এর সর্বোচ্চ মান কত?"
লাইভ পরীক্ষায় প্রশ্নের ভাষা ভুল থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
y = cosθ
cosθ-এর পরিসর হলো [-1, 1]
অতএব y-এর সম্ভাব্য মান: -1 ≤ y ≤ 1
cosθ-এর সর্বোচ্চ মান (maximum value) হলো 1 (যখন cosθ = 1)

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি θ একটি সূক্ষ্মকোণ হয় এবং 7sin²θ + 3cos²θ = 4 তাহলে tanθ এর মান কত?

সমাধান: 
7sin²θ + 3cos²θ = 4
⇒ 7sin²θ + 3(1 - sin²θ) = 4
⇒ 7sin²θ + 3 - 3sin²θ = 4
⇒ 4sin²θ = 1
⇒ sin²θ = 1/4
⇒ sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
∴ θ = 30°

প্রদত্ত রাশি, 
tanθ = tan30° = 1/√3

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: যদি secA = 13/5 এবং A সূক্ষ্মকোণ হয়, তাহলে sinA এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secA = 13/5

আমরা জানি, 
cos A = 1/sec A = 1/(13/5)
∴ cos A = 5/13

আবার,
sin²A + cos²A = 1 
⇒ sin²A = 1 - cos²A
⇒ sin²A = 1 - (5/13)2 = 1 - (25/169) = (169 - 25)/169
⇒ sin²A = 144/169
⇒ sinA = √(144/169)
∴ sinA = 12/13 (যেহেতু A সূক্ষ্মকোণ, sin A ধনাত্মক)

সঠিক উত্তর sin A = 12/13

প্রশ্ন: যদি tan 53° = 4/3 হয় তবে tan8°-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tan 53° = 4/3

আমরা জানি,
8° = 53° - 45°
tan8° = tan(53° - 45°)
⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)  ; [tan(x - y) = (tanx - tany)/(1 + tanx . tany)]
⇒ tan8° = {(4/3) - 1){/{(1 + (4/3)}
⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)
⇒ tan8° = (1/3) × (3/7)
∴ tan8° = 1/7

প্রশ্ন: যদি sec⁴θ - sec²θ = 3 হয় তবে, tan⁴θ + tan²θ এর মান কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
sec²θ = 1 + tan²θ

প্রদত্ত রাশি,
sec⁴θ - sec²θ = 3
⇒ (sec²θ)² - sec²θ = 3
⇒ (1 + tan²θ)² - (1 + tan²θ) = 3
⇒ (1 + 2tan²θ + tan⁴θ) - (1 + tan²θ) = 3
⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ - 1 - tan²θ = 3
∴ tan⁴θ + tan²θ = 3

প্রশ্ন: A = 60° হলে, 2sinAcosA/(sin²A + cos²A) = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = 60°

প্রদত্ত রাশি, 
2sinAcosA/(sin²A + cos²A) 
= 2sinAcosA   ; [sin²A + cos²A = 1]
= 2 × sin60° × cos60°
= 2 × (√3/2) × (1/2)   ; [sin60° = √3/2, cos60° = 1/2]
= √3/2

প্রশ্ন: sinθ + cosθ = √2 হলে, θ = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sinθ + cosθ = √2
⇒ (sinθ + cosθ)² = (√2)²
⇒ sin⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ + cos⁡²θ = 2
⇒ sin⁡²θ +  cos⁡²θ + 2sin⁡θcos⁡θ
⇒ 1 + 2sin⁡θcos⁡θ = 2  ; [sin⁡²θ +  cos⁡²θ = 1]
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 2 - 1
⇒ 2sin⁡θcos⁡θ = 1
⇒ sin⁡2θ = 1   ; [2sin⁡θcos⁡θ = sin⁡2θ ]
⇒ sin⁡2θ = sin⁡90°
⇒ 2θ = 90°
⇒ θ = 90°/2
∴ θ = 45°

প্রশ্ন: cos{(7π/2) - θ} = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
cos{(7π/2) - θ}
= cos{7 × (π/2) - θ}
= cos{7 × 90° - θ}
যেহেতু, 90° করে 7 বার ঘুরে তৃতীয় চতুর্ভাগে আসে এবং এই চতুর্ভাগে cosine এর মান ঋণাত্মক। তাই এর চিহ্ন হবে ঋণাত্মক।
আবার,
যেহেতু π/2 বা 90° এর বিজোড় গুণিতক (odd multiple) রয়েছে, তাই cosine অনুপাতটি sine অনুপাত-এ পরিবর্তিত হবে।

অর্থাৎ, cos{7 × 90° - θ} = - sinθ
∴ cos{(7π/2) - θ} = - sinθ.

প্রশ্ন: secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x .....(1)

এখন, 
⇒ secθ - cosθ = 14
⇒ secθ - (1/secθ) = 14   ; [cosθ = 1/secθ]
⇒ (sec²θ - 1)/secθ = 14
⇒ sec²θ - 1 = 14secθ
⇒ tan²θ = x   ; [sec²θ - 1 = tan²θ, 14 secθ = x] 
∴ x = tan²θ

প্রশ্ন: যদি tanθ + cotθ = √3 হয়, তবে tan⁶θ + cot⁶θ -এর মান কত হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ + cotθ = √3
⇒ (tanθ + cotθ)³ = (√3)3  ; [উভয়দিকে ঘন করে] 
⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3  ; [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)] 
⇒ tan³θ + cot³θ + 3√3  = 3√3
⇒ tan³θ + cot³θ = 3√3 - 3√3 = 0  
⇒ (tan³θ + cot³θ)2 = 0   ; [উভয় দিকে বর্গ করে]
⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan³θ × cot³θ = 0  ; [a² + b² = (a + b)² - 2ab] 
⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 = 0  ; [tanθ = 1/cotθ]    
∴ tan⁶θ + cot⁶θ = - 2

প্রশ্ন: একটি খাড়া খুঁটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে বিচ্ছিন্ন না হয়ে অন্যপ্রান্ত ভূমিতে 12 মিটার দূরত্বে স্পর্শ করলে খুঁটির উচ্চতা কত?

সমাধান:

মনেকরি,
খুঁটির মোট উচ্চতা, AE = x মিটার
যেহেতু খুঁটিটি মাটি থেকে 5 মিটার উপরে ভেঙে গেছে,
তাই ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (x - 5) মিটার

এখন, 
ΔABD- এ
(x - 5)² = 5² + 12²
⇒ x² - 10x + 25 = 25 + 144
⇒ x² - 10x + 25 = 169
⇒ x² - 10x - 144 = 0
⇒ x² - 18x + 8x - 144 = 0
⇒ x(x - 18) + 8(x - 18) = 0
⇒ (x - 18)(x + 8) = 0
সুতরাং, x - 18 = 0 অথবা x + 8 = 0
⇒ x = 18 অথবা x = - 8
যেহেতু খুঁটির উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x = 18 মিটার।
∴ খুঁটিটির মোট উচ্চতা 18 মিটার।

প্রশ্ন: যদি cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a হয়, তবে a² এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
cos²θ + (1/cosec²θ) + 17 = a
⇒ cos²θ + sin²θ + 17 = a   ; [1/cosecθ = Sinθ]
⇒ 1 + 17 = a  ; [sin²θ + cos²θ = 1] 
⇒ a² = 18² = 324

∴ a² -এর মান 324

প্রশ্ন: tan 15° + cot 15° এর মান নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
cot15° + tan15°
= (cos15°/sin15°) + (sin15°/cos15°)
= (cos²15° + sin²15°)/(sin15° cos 15°)    ; [sin²θ + cos²θ = 1]
= 1/(sin15° cos15°)
= 2/(2sin15° cos15°)   ; [লব ও হরে 2 দ্বারা গুণ করে পাই এবং (2sinθ cosθ = sin2θ)
= 2/sin30°
= (2/1/2)  ; [sin30° = 1/2)]
= 2 × 2
= 4 

প্রশ্ন: sin30° + cos60° এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
sin30° + cos60°
= (1/2) + (1/2)  ; [sin 30° এবং cos 60° এর মান হলো 1/2]
= 1

প্রশ্ন: যদি 1 + sinθ = mcosθ হয় তবে cotθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
1 + sinθ = m cos θ
⇒ (1 + sinθ)/cosθ = m
⇒ (1/cosθ) + (sinθ/cosθ) = m
⇒ secθ + tanθ = m .......(i)

আমরা জানি
(secθ + tanθ) (secθ - tanθ) = 1
⇒ m(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/m ........(ii)

এখন, (i) - (ii) ⇒
secθ + tanθ - (secθ - tanθ) = m - (1/m)
⇒ secθ + tanθ - secθ + tanθ = (m² - 1)/m
⇒ 2tanθ = (m² - 1)/m
⇒ tanθ = (m² - 1)/2m
⇒ 1/cotθ = 1/{(m² - 1)/2m}
∴ cotθ = 2m/(m² - 1)