Math Master

প্রশ্ন: cos30°.sin60° + sin30°.cos60° = ?

সমাধান:
cos30°.sin60° + sin30°.cos60°
= (√3/2).(√3/2) + (1/2).(1/2)
= 3/4 + 1/4
= (3 + 1)/4
= 4/4 
= 1

আমরা জানি,
⇒ sin²θ + cos²θ = 1
⇒ sec²θ - tan²θ = 1
⇒ cosec²θ - cot²θ = 1
⇒ tanθ = sinθ/cosθ

প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanA = 3/4 

অতএব, A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3
অতিভুজ =√(4² + 3²)
= √25
= 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5

প্রশ্ন: secθ.cosecθ = ?

সমাধান:
secθ.cosecθ
= (1/cosθ).(1/sinθ)
= 1/sinθ.cosθ
= (sin²θ + cos²θ)/sinθ.cosθ [যেহেতু sin²θ + cos²θ = 1]
= (sin²θ/sinθ.cosθ) + (cos²θ/sinθ.cosθ)
= (sinθ/cosθ) + (cosθ/sinθ)
= tanθ + cotθ

প্রশ্ন: যদি A = 30° হয়, তবে 2tanA/(1 - tan²A) = কত?

সমাধান:
2tanA/(1 - tan²A)
= 2tan30°/{1 - {tan30°)²}
= {2.(1/√3)} / {1 - (1/√3)²}
= (2/√3) / {1 - (1/3)}
= (2/√3) / (2/3)
= (2/√3) × (3/2)
= √3

প্রশ্ন: sin2θ = √3/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = √3/2 
⇒ sin2θ = sin60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 30°

প্রশ্ন: xsin45° = ycosec30° হলে x² : y² = ?

সমাধান:
xsin45° = ycosec30°
⇒ x/y = cosec30/sin45°
⇒ x/y = 2/(1/√2)
⇒ x/y = 2√2
⇒ x²/y² = (2√2)²
⇒ x²/y² = 8
⇒ x² : y² = 8 : 1

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোনমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে:
⇒ sin(- θ) = - sinθ
⇒ cos(- θ) = cosθ
⇒ tan(- θ) = - tanθ
⇒ cosec(- θ) = - cosecθ
⇒ sec(- θ) = secθ
⇒ cot( - θ) = - cotθ

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 24 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?

সমাধান:
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 24 মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB =45° 
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
 

tan∠ACB = AB/BC
⇒ tan 45° = 24/BC
⇒ 1 = 24/BC
⇒ BC = 24

ছায়ার দৈর্ঘ্য = 24 মিটার

প্রশ্ন: cos(nπ)/6 অনুক্রমটির চতুর্থ পদের মান কত?

সমাধান:
cos(nπ)/6 অনুক্রমটির চতুর্থ পদ = cos(4π)/6 [এখানে, n = 4]

এখন,
cos(4π)/6
= cos(4 × 180°)/6
= cos120°
= cos(90° + 30°)
= - sin30°
= - 1/2

প্রশ্ন: θ + ϕ = π/2 এবং sinθ = 1/2 হলে ϕ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 sinθ = 1/2
⇒ sinθ = sin30°
⇒ θ = 30°

এবং
θ + ϕ = π/2
⇒ θ + ϕ = 90°
⇒ 30° + ϕ = 90°  [θ = 30°]
⇒ ϕ = 60°

প্রশ্ন: cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3 হলে sin²θ = কত?

সমাধান:
cos⁴θ - sin⁴θ = 2/3
⇒ (cos²θ - sin²θ) (cos²θ + sin²θ) = 2/3
⇒ cos²θ- sin²θ = 2/3
⇒ 1 - sin²θ - sin²θ = 2/3
⇒ 1 - 2sin²θ = 2/3
⇒ 2sin²θ = 1 - 2/3
⇒ 2sin²θ = 1/3
⇒ sin²θ = 1/6

প্রশ্ন: সমাধান করুন: sinθ + cosθ = √2 [ যেখানে 0 < θ < π/2]

সমাধান:
sinθ + cosθ = √2
⇒ sinθ = √2 - cosθ
⇒ sin²θ = (√2 - cosθ)²
⇒ 1 - cos²θ = (√2)² - 2.√2.cosθ + cos²θ
⇒ 1 - cos²θ = 2 - 2√2cosθ + cos²θ
⇒ 2cos²θ - 2√2cosθ + 1 =0
⇒ (√2cosθ - 1)² = 0
⇒ √2cosθ - 1 = 0
⇒ √2cosθ = 1
⇒ cosθ = 1/√2
⇒ cosθ = cos(π/4)
⇒ θ = π/4

বিভিন্ন ধরণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান:

প্রশ্ন: যদি sec²θ + tan²θ = 7/12 হলে, sec⁴θ - tan⁴θ = ?

সমাধান;
দেওয়া আছে,
sec²θ + tan²θ = 7/12

এখন,
sec⁴θ - tan⁴θ
⇒ (sec²θ - tan²θ) (sec²θ + tan²θ)
⇒ 1 × (sec²θ + tan²θ) [যেহেতু sec²θ - tan²θ = 1]
⇒ 1 × (7/12)
⇒ 7/12

প্রশ্ন: ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি লাঠি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে লাঠিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, লাঠির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:


মনে করি,
লাঠির দৈর্ঘ্য = BC
গাছের গোড়া থেকে AB = 7 মি।
অবনতি কোণ, ∠DBC = 30°

∴ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ হিসেবে]

ΔABC থেকে পাই,
sin∠ACB = AB/BC
⇒ sin30° = 7/BC
⇒ 1/2 = 7/BC
⇒ BC = 14