১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: (১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) = কত?

সমাধান: 
(১ + ২^৩ + ৩^৩ + ৪^৩ + ....... + ১০^৩)/(১ + ২ + ৩ + ....... + ১০) 
= {১০(১০ + ১)/২}^২/{(১০ × (১০ + ১)/২}
= {(১০ × ১১)/২}^২/{(১০ × (১১/২)}
= (৫৫)^২/৫৫ 
= (৫৫ × ৫৫)/৫৫
= ৫৫ 

প্রশ্ন: 81 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
log₃81
= log₃3⁴
= 4log₃3  [∵ log_am^r = rlog_am]
= 4 × 1  [∵ log_aa = 1]
= 4

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
∴ সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3 

∴ পঞ্চম পদ = ar^{(5 - 1)}
= ar⁴
= 27 × (1/3)⁴
= 27/81
= 1/3 

∴ ধারাটির পঞ্চম পদ = 1/3.

প্রশ্ন: 3^{x + 3} = 81 হলে, 3^{x - 1} = কত? 

সমাধান: 
3^{x + 3} = 81
বা, 3^{x + 3} = 3⁴
বা, x + 3 = 4
বা, x = 4 - 3
∴ x = 1

এখন, 
3^{x - 1} = 3^{1 - 1}
= 3⁰
= 1  [∴ a⁰ = 1]

প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ - 5?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 19 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (17 - 19) = - 2
ধারাটির n তম পদ = - 5 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ - 5.

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5log₂2 + 3log₂2 [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (3 × 1) [∵ log_aa = 1]
= 5 + 3
= 8

প্রশ্ন: 2a, 4a + 1, 6a + 2, ..... একটি গুণোত্তর অনুক্রম হলে, a এর মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ 
বা, (4a + 1)/2a = (6a + 2)/(4a + 1) 
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 = 12a² + 4a
বা, 16a² + 4a + 4a + 1 - 12a² - 4a = 0
বা, 4a² + 4a + 1 = 0
বা, (2a)² + 2.2a.1 + 1² = 0
বা, (2a + 1)² = 0
বা, 2a + 1 = 0
বা, 2a = - 1
∴ a = - 1/2

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4a^{x - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
2^{x - 4} = 4a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2².a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/a^{x - 6} = 1
⇒ (2/a)^{x - 6} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰ = 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77 

ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে, 
a + 11d = 77 

এখন, 
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d} 
∴ প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d} 
= (23/2)(2a + 22d) 
= (23/2) × {2(a + 11d)}
= (23/2) × 2 × 77 [∴ a + 11d = 77]
= 23 × 77
= 1771

∴  সমান্তর ধারাটির প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি = 1771.

প্রশ্ন: log₃(1/27) = কত? 

সমাধান: 
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^{- 3} [∵ 1/a³ = a^{- 3}]
= - 3 × log₃3
= - 3 × 1 [∵ log_aa = 1]
= - 3

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = ar
= 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

প্রশ্ন: 5^{3a - 7} = 3^{3a - 7} হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
5^{3a - 7} = 3^{3a - 7}
⇒ 5^{3a - 7}/3^{3a - 7} = 1 
⇒ (5/3)^{3a - 7} = (5/3)⁰
⇒ 3a - 7 = 0
⇒ 3a = 7
∴ a = 7/3

প্রশ্ন: log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত? 

সমাধান: 
log 6 = log(2 × 3)
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781

প্রশ্ন: ০.৪ + ০.০৪ + ০.০০৪ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৪ 
= ৪/১০ = ২/৫

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৪/০.৪ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= ০.৪/(১ - ১/১০)
= ০.৪/(৯/১০)
= ৪/৯

প্রশ্ন: যদি x = m^p, y = m^q এবং m² = (x^qy^p)^r হয়, তবে pqr = কত?

সমাধান: 
m² = (x^qy^p)^r
বা, m² = {(m^p)^q (m^q)^p}^r
বা, m² = (m^pq . m^pq)^r
বা, m² = m^{(pq + pq)r}
বা, m² = m^2pqr
বা, 2 = 2pqr
বা, 2pqr = 2
বা, pqr = 2/2
∴ pqr = 1

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৬০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = ৪ 
শেষ পদ = ৬০ 
সাধারণ অন্তর, d = (৬ - ৪) = ২

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১ 
= {(৬০ - ৪)/ ২} + ১ 
= (৫৬/২) + ১ 
= ২৮ + ১ 
= ২৯ । 

প্রশ্ন: log_x3 = 2 হলে, x = কত?

সমাধান: 
log_x3 = 2
বা, x² = 3 [∵ log_am = n হলে, aⁿ = m]
বা, x² = (√3)²
∴ x = √3

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৪র্থ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৪র্থ পদ = ৪/(৪ + ১) 
= ৪/৫ । 

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

সমাধান: 
72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³
⇒ 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 8
⇒ 3^{3a - 5} = 8/72
⇒ 3^{3a - 5} = 1/9
⇒ 3^{3a - 5} = 1/3²
⇒ 3^{3a - 5} = 3^{- 2}
⇒ 3a - 5 = - 2
⇒ 3a = - 2 + 5
⇒ 3a = 3
⇒ a = 3/3
∴ a = 1 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং পঞ্চম পদটি 42 হলে দ্বাদশ পদটি কত হবে?

সমাধান: 
ধরি, 
প্রথম পদ = a
এবং
সাধারণ অন্তর, d = 10 

∴ পঞ্চম পদটি = a + (5 - 1) × 10
বা, 42 = a + 40
বা, a = 42 - 40
∴ a = 2

∴ দ্বাদশ পদটি = a + (12 - 1) × 10
= 2 + (12 - 1) × 10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112

প্রশ্ন: log₂√6 + log₂√(2/3) = কত? 

সমাধান: 
log₂√6 + log₂√(2/3)
= log₂{√6 × √(2/3)} 
= log₂{(√6 × √2)/√3}
= log₂{(√3 × √2 × √2)/√3}
= log₂(√2 × √2)
= log₂(√2)²
= log₂2
= 1

প্রশ্ন: ৬৪ + ৩২ + ১৬ + ৮ + ....... ধারাটির অষ্টম পদের মান কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ a = ৬৪ 
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = ৩২/৬৪ 
= ১/২ 

আমরা জানি, 
ধারাটির n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ধারাটির অষ্টম পদ = ar^{৮ - 1}
= ৬৪ × (১/২)^{৮ - ১} 
= ৬৪ × (১/২)^৭ 
= ৬৪ × (১/১২৮)
= ১/২

প্রশ্ন: 16^3/4 ÷ 16^1/2 = কত?

সমাধান: 
16^3/4 ÷ 16^1/2
= 16^{(3/4) - (1/2)}
= 16^{(3 - 2)/4}
= 16^1/4
= 2^{4 × (1/4)}
= 2¹
= 2

প্রশ্ন: 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = 15
শেষ পদ = 55
সাধারণ অন্তর = 1

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1 
= {(55 - 15)/1} + 1 
= 40 + 1
= 41 

এখন, 
সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ )/2} × পদ সংখ্যা 
= {(55 + 15)/2} × 41
= (70/2) × 41
= 35 × 41 
= 1435

∴ 15 থেকে 55 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি 1435.